北京市海淀区初三上数学期末试题.docx
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北京市海淀区初三上数学期末试题
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研
数学2018.1
本试卷共8页,共三道大题,28道小题,满分100分。
考试时间120分钟。
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.抛物线
的对称轴是
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中,∠C
90°.若AB
3,BC
1,则
的值为
A.
B.
C.
D.
3.如图,线段BD,CE相交于点A,DE∥BC.若AB
4,AD
2,DE
1.5,
则BC的长为
A.1B.2
C.3D.4
4.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段
BC的延长线上,则
的大小为
A.30°B.40°
C.50°D.60°
5.如图,△OAB∽△OCD,OA:
OC
3:
2,∠A
α,∠C
β,△OAB与△OCD的面积分别是
和
,△OAB与△OCD的周长分别是
和
,则下列等式一定成立的是
A.
B.
C.
D.
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A从(3,4)出发,绕点O顺时针旋转一周,则点A不经过
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
7.如图,反比例函数
的图象经过点A(4,1),当
时,x的取值
范围是
A.
或
B.
C.
D.
8.两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A出发沿线段AB运动到点B,小兰从点C出发,以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C,两人的运动路线如图1所示,其中AC
DB.两人同时开始运动,直到都停止运动时游戏结束,其间他们与点C的距离y与时间x(单位:
秒)的对应关系如图2所示.则下列说法正确的是
图1图2
A.小红的运动路程比小兰的长
B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C.当小红运动到点D的时候,小兰已经经过了点D
D.在4.84秒时,两人的距离正好等于⊙O的半径
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.方程
的根为.
10.已知∠A为锐角,且
,那么∠A的大小是°.
11.若一个反比例函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,则此反比例函数表达式可以是.(写出一个即可)
12.如图,抛物线
的对称轴为
,点P,点Q是抛物线与x
轴的两个交点,若点P的坐标为(4,0),则点Q的坐标为.
13.若一个扇形的圆心角为60°,面积为6π,则这个扇形的半径为.
14.如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,点C,若∠P
60°,PA
,则AB的长为.
15.在同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离.如图,在一个路口,一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处,小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶.设小张距大巴车尾xm,若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m,红灯下沿高于小张的水平视线3.2m,若小张能看到整个红灯,则x的最小值为.
16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.
已知:
平面内一点A.
求作:
∠A,使得∠A
30°.
作法:
如图,
(1)作射线AB;
(2)在射线AB上取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C;
(3)以C为圆心,OC为半径作弧,与⊙O交于点D,作射线AD.
∠DAB即为所求的角.
请回答:
该尺规作图的依据是.
三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算:
°
°
.
18.已知
是关于x的方程
的一个根,求
的值.
19.如图,在△ABC中,∠B为锐角,AB
,AC
5,
,求BC的长.
20.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.轮船到达目的地后开始卸货,记平均卸货速度为v(单位:
吨/天),卸货天数为t.
(1)直接写出v关于t的函数表达式:
v=;(不需写自变量的取值范围)
(2)如果船上的货物5天卸载完毕,那么平均每天要卸载多少吨?
21.如图,在△ABC中,∠B
90°,AB
4,BC
2,以AC为边作△ACE,∠ACE
90°,AC=CE,延长BC至点D,使CD
5,连接DE.求证:
△ABC∽△CED.
22.古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究:
如图(图1中
为锐角,图2中
为直角,图3中
为钝角).
图1图2图3
在△ABC的边BC上取
,
两点,使
,则
∽
∽
,
,
,进而可得
;(用
表示)
若AB=4,AC=3,BC=6,则
.
23.如图,函数
(
)与
的图象交于点A(-1,n)和点B(-2,1).
(1)求k,a,b的值;
(2)直线
与
(
)的图象交于点P,与
的图象交于点Q,当
时,直接写出m的取值范围.
24.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EF
DE.
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若AD
4,DE
5,求DM的长.
25.如图,在△ABC中,
,
°,点D是线段BC上的动点,将线段AD绕点A顺时针旋转50°至
,连接
.已知AB
2cm,设BD为xcm,B
为ycm.
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小明的探究过程,请补充完整.(说明:
解答中所填数值均保留一位小数)
(1)通过取点、画图、测量,得到了
与
的几组值,如下表:
0.5
0.7
1.0
1.5
2.0
2.3
1.7
1.3
1.1
0.7
0.9
1.1
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
线段
的长度的最小值约为__________
;
若
,则
的长度x的取值范围是_____________.
26.已知二次函数
.
(1)该二次函数图象的对称轴是x
;
(2)若该二次函数的图象开口向下,当
时,
的最大值是2,求当
时,
的最小值;
(3)若对于该抛物线上的两点
,
,当
,
时,均满足
,请结合图象,直接写出
的最大值.
27.对于⊙C与⊙C上的一点A,若平面内的点P满足:
射线AP与⊙C交于点Q(点Q可以与点P重合),且
,则点P称为点A关于⊙C的“生长点”.
已知点O为坐标原点,⊙O的半径为1,点A(-1,0).
(1)若点P是点A关于⊙O的“生长点”,且点P在x轴上,请写出一个符合条件的点P的坐标________;
(2)若点B是点A关于⊙O的“生长点”,且满足
,求点B的纵坐标t的取值范围;
(3)直线
与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”,直接写出b的取值范围是_____________________________.
28.在△ABC中,∠A
90°,AB
AC.
(1)如图1,△ABC的角平分线BD,CE交于点Q,请判断“
”是否正确:
________(填“是”或“否”);
(2)点P是△ABC所在平面内的一点,连接PA,PB,且PB
PA.
①如图2,点P在△ABC内,∠ABP
30°,求∠PAB的大小;
②如图3,点P在△ABC外,连接PC,设∠APC
α,∠BPC
β,用等式表示α,β之间的数量关系,并证明你的结论.
图1图2图3
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研
数学参考答案及评分标准2018.1
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
B
D
C
A
D
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.
或
10.6011.
(答案不唯一)12.(
,0)
13.614.215.10
16.三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;
或:
直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,直角三角形两个锐角互余;
或:
直径所对的圆周角为直角,
,
为锐角,
.
三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)
17.解:
原式=
………………3分
=
=
………………5分
18.解:
∵
是关于x的方程
的一个根,
∴
.
∴
.………………3分
∴
.………………5分
19.解:
作AD⊥BC于点D,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵AC=5,
,
∴
.………………2分
∴在Rt△ACD中,
.………………3分
∵AB
,
∴在Rt△ABD中,
.………………4分
∴
.………………5分
20.解:
(1)
.………………3分
(2)由题意,当
时,
.………………5分
答:
平均每天要卸载48吨.
21.证明:
∵∠B=90°,AB=4,BC=2,
∴
.
∵CE=AC,
∴
.
∵CD=5,
∴
.………………3分
∵∠B=90°,∠ACE=90°,
∴∠BAC+∠BCA=90°,∠BCA+∠DCE=90°.
∴∠BAC=∠DCE.
∴△ABC∽△CED.………………5分
22.BC,BC,
………………3分
………………5分
23.解:
(1)∵函数
(
)的图象经过点B(-2,1),
∴
,得
.………………1分
∵函数
(
)的图象还经过点A(-1,n),
∴
,点A的坐标为(-1,2).………………2分
∵函数
的图象经过点A和点B,
∴
解得
………………4分
(2)
且
.………………6分
24.
(1)证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE.
∴∠CBD=∠BDE.………………1分
∵ED=EF,
∴∠EDF=∠EFD.
∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°,
∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.
∴OD⊥DF.………………2分
∵OD是半径,
∴DF是⊙O的切线.………………3分
(2)解:
连接DC,
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵∠ABD=∠CBD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD.
∴CD=AD=4,AB=BC.
∵DE=5,
∴
,EF=DE=5.
∵