综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧.docx
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综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧
综合运用多种方法解决较复杂
行程问题的技巧
综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧
教学目标：
1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；
2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；
3、变速变道问题的关键是如何处理“变”；
4、掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题.
知识精讲：
比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。
比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用V甲,v乙;t甲,t乙;s^.s乙来表示，
大体可分为以下两种情况：
1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
a"甲:
，这里因为时间相同，即1甲t乙t,
s乙V乙t乙7
所以由t甲^甲，t乙邑
V甲V乙
得到t竺乞，邑竺，甲乙在同一段时间t
V甲V乙s乙V乙
内的路程之比等于速度比
2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
a"甲：
甲，这里因为路程相同，即罚s乙s，
s乙V乙t乙7
由s甲V甲t甲,s乙V乙t乙
得sV甲t甲V乙t乙,业t乙,甲乙在同一段路程
V乙t甲
s上的时间之比等于速度比的反比。
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值.更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式
或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.
例题精讲：
模块一、时间相同速度比等于路程比
【例1】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:
3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千
米，则A、B两地相距多少千米？
【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4:
3.第一次相遇时甲走了全程的4/7;第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了4315个全程，与第一次相遇地点的距离为
7（14）7个全程.所以A、B两地相距
【例2】B地在A,C两地之间.甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。
【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：
AV10分钟《10分钟5C
10分钟
因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：
（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：
10*（3—1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信
5分钟
10分钟
5分钟
当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10+10+5+5=30（分钟）,同理丙追及时间为30-（3-1）=15（分钟）,此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信
在给乙送信，此时乙已经距B地：
10+
5+5+15+15=50（分钟）,
此时追及乙需要：
50-（3-1）=25（分钟）,返回B地需要25分钟
所以共需要时间为5+5+15+15+25+25=90（分钟）
（2）同理先追及甲需要时间为120分钟
【例3】（“圆明杯”数学邀请赛）甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的c处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距
【分析】
【例4】
【解析】
多少米？
甲、乙两人速度比为80:
604:
3,相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的号，乙走了全程的弓.第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的4，甲行了全程的3•由于甲、乙速度比为4:
3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了33，所以甲停留期间乙行了4731，所以A、B两点的距离为
6071=1680（米）.
甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.出发时，甲、乙的速度之比是5:
4,相遇后甲的速度减少20%，乙的速度
增加20%•这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米？
两车相遇时甲走了全程的勺，乙走了全程的
9
4，之后甲的速度减少20%，乙的速度增
加20%，此时甲、乙的速度比为5（120%）:
4（120%）5:
6，所以甲到达B地时，
乙又走了4E仝，距离A地？
空丄，所以
A、B两地的距离为10右450（千米）.
【例5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地.下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地.下午2点时两人之间的距离是15千米.下午3点时，两人之间的距离还是15千
米.下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地.小张是早晨几点出发？
【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块.下午2点时两人之间的距离是15千米•下午3点时，两人之间的距离还是15千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30千米•由下午3点开始计算，小王再有1小时就可走完全程，在这1小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时走了153045千米，故小张的速度是45七=15千米/时，小王的速度是15+30=45千米/时.全程是45為=135千米，小张走完全程用了135+15=9
小时，所以他是上午10点出发的
【例6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。
其中下坡路与上坡路的距离相等。
陈明开车从甲地到乙地共用了3小时，其中第一小时比第二小时多走15千米，第二小时比第三小时多走25千米。
如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30千米，走下坡路比走平路每小时快15千米。
那么甲乙两地相距多少千米？
【解析】⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定.
从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小
时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路.这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于
以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程（即第二小时走的路程）多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千
米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路.
如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路.
所以整个行程为：
第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路.
⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米.所以第二小时内用在走平
路上的时间为2530|小时，其余的6小时在走上坡路；
因为第一小时比第二小时多走了15千米，而1小时的下坡路比上坡路要多走
301567.5千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为157.5151小时，所以在第一小时中，有113小时是在下坡路上走的，剩余的丄小时是在平路上走
3
的.
因此，陈明走下坡路用了I小时，走平路用了162小时，走上坡路用了122小时.
⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是|：
「：
7.那么下坡路的速度为
36
3015—105千米/时，平路的速度是每小
74
时1051590千米，上坡路的速度是每小时
903060千米.
那么甲、乙两地相距105-90-60-245（千
366'
米）・
模块二、路程相同速度比等于时间的反比
【例7】
【分析】
【例8】
甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米•求A,B两地间的距离.
甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为4:
3，那么在3小时内的路程之比也是4:
3；又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为35匕20千米，即A，b两地间的距离为20千米.
在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？
【解析】
由题意知，甲行4分相当于乙行6分•（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12+8=20（分），
乙需20詔怡=30（分）.
【例9】上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地•那么，乙从B地出发时是8点几分.
【解析】甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的
速度提高到原来的3倍，又走了10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10X3=30分钟，所以前后两段路程的比为20:
30=2:
3，由于
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