八下数学-正方形培优专题.doc

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正方形专题培优

（1）

专题一旋转的思想与正方形问题

一利用边作为旋转的入手点

1、如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、、能否构成三角形的三边长？

若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。

N

F

M

E

B

D

A

C

2、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：

CE=CF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？

为什么？

（3）根据你所学的知识，运用

（1）、

（2）解答中积累的经验，完成下列各题：

①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；

②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，求△ABC的面积。

3、正方形ABCD中，E为直线AB上任意一点，DF⊥DE交直线BC的延长线于点F，直线EF、AC交于点H，连接DH

（1）如图1当，点E在AB上时:

①判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；②AH-HC与AE之间的数量关系，并证明；

③求证：

AB+AE=AH.

（2）当点E在AB的反向延长线上时，如图2。

①判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；

②AH-HC与AE之间的数量关系，并证明；3求证：

AB+AE=AH

（3）当点E在AB的延长线上时，完成图3，1、判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；2、AH、HC与AE之间是否存在类似的数量关系，并证明；3、AB、AE与AH之间是否存在类似的数量关系，写出你的结论并证明

4、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：

EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．

问

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

5

（1）已知：

如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为DC上一点，且∠1=∠2，求证：

AF=BC+FC；

（2）已知：

如图2，把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处，若旋转三角尺时，它的两条直角边与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N，试证：

MN2=BM2+DN2．

二利用对角线作为旋转的入手点

1、如图，正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．

（1）求证：

OM=ON；

（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连接PM．若正方形ABCD的边长为12，且PM=5，试求AM的长．

2、如图，在正方形ABCD中，O是两对角线的交点，E、F分别为BC、CD上一点，且FC+CE=AB。

点P为△EFC的内角平分线的交点

（1）求证：

OE=OP=OF

（2）如图，线段CP，CB、EF之间存在一个等量关系式，写出你的结论，并证明。

（3）若FC=3，EF=EC+1，直接写出PC的长_____________。

3、如图，在正方形ABCD中，点O是正方形对角线的交点，∠MON=45°。

（1）如图1，当点M在BC边上，ON与CD的延长线交于N点，写出BM、MN、CN之间的数量关系并证明你的结论。

（2）如图2，当点M在BC边上，ON与CD交于点N，写出BM、MN、CN之间的数量关系，并证明。

（3）在

（2）中，若正方形的边长为4，MC=1，求CN的长。

4、如图，正方形ABCD中对角线AC、BD交于点O，直线a经过点A，过D作DE⊥a于E点，连接OE。

（1）如图1，当直线a在正方形内部时，求证：

AE-DE=OE

（2）如图2，当直线a在正方形外部时，DE⊥a于E点，连接OE，写出AE、DE、OE三者之间的数量关系____________________（不证明）

（3）在

（2）的条件下，若OE=,AE:

DE=4:

3,连接BE，求线段BE的长