高中数学新教材必修第一册知识点总结 (1).docx

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高中数学新教材必修第一册知识点总结

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

1.集合的描述：

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.

2.集合的三个特性：

（1）描述性：

“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.

（2）整体性：

集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.

（3）广泛性：

组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.

3.集合中元素的三个特性：

（1）确定性：

对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.

（2）互异性：

一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.

（3）无序性：

集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.

4.集合的符号表示

通常用大写的字母，，，…表示集合，用小写的字母，，表示集合中的元素.

5.集合的相等

当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合与集合相等记作.

6.元素与集合之间的关系

（1）属于：

如果是集合中的元素，就说属于集合，记作，读作属于.

（2）不属于:

如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作，读作不属于.

7.集合的分类

（1）有限集：

含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程的实数根组成的集合.

（2）无限集：

含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式的解组成的集合.

8.常用数集及其记法

（1）正整数集：

全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作或.

（2）自然数集：

全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作.

（3）整数集：

全体整数组成的集合叫做整数集，记作.

（4）有理数集：

全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作.

（5）实数集：

全体实数组成的集合叫做实数集，记作.

9.集合表示的方法

（1）自然语言：

用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.

（2）列举法：

把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程的所有实数根”组成的集合表示为.

（3）描述法：

通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为，其中是集合中的元素代表，则表示集合中的元素所具有的共同特征.

例如，不等式的解集可以表示为

.

1.2集合间的基本关系

1.子集

一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为

或（）

读作集合包含于集合（或集合包含集合）.

集合是集合的子集可用图表示如下：

或

关于子集有下面的两个性质：

（1）反身性：

；

（2）传递性：

如果，且，那么.

2.真子集

如果集合，但存在元素，且，我们称集合

是集合的真子集，记为

（或），

读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.

集合是集合的真子集可用图表示如右.

3.集合的相等

如果集合，且，此时集合与集合的元素是

一样的，我们就称集合与集合相等，记为

.

集合与集合相等可用图表示如右.

4.空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即

（1）（是任意一个集合）；

（2）（）.

1.3集合的运算

1.并集

自然语言：

一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）.

符号语言：

.

图形语言：

理解：

或包括三种情况：

且；且；且.

并集的性质：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5），；

（6）.

2.交集

自然语言：

一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作（读作“交”）.

符号语言：

.

图形语言：

理解：

当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是.

交集的性质：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5），；

（6）.

3.补集

（1）全集的概念：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.

（2）补集的概念

自然语言：

对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为.

符号语言：

图形语言：

补集的性质

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

1.4充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出.这时，我们就说，由可推出，记作

，

并且说是的充分条件，是的必要条件.

在生活中，是成立的必要条件也可以说成是:

（表示不成立），其实，这与是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.

如果“若，则”为假命题，那么由推不出，记作.此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.

2.充要条件

如果“若，则”和它的逆命题“若则”均是真命题，即既有，又有就记作

.

此时，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.概括地说，如果，那么与互为充要条件.

“是的充要条件”,也说成“等价于”或“当且仅当”等.

1.5全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

（1）全称量词

短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为

，，

读作“对任意属于，有成立”.

（2）存在量词

短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为

，，

读作“存在中的元素，使成立”.

2.全称量词命题和存在量词命题的否定

（1）全称量词命题的否定

全称量词命题：

，，

它的否定：

，.

全称量词命题的否定是存在量词命题.

（2）存在量词命题的否定

存在量词命题：

，，

它的否定：

，.

存在量词命题的否定是全称量词命题.

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

1.比较原理

；

；

.

2.等式的基本性质

性质1如果，那么；

性质2如果，，那么；

性质3如果，那么；

性质4如果，那么；

性质5如果，，那么.

3.不等式的基本性质

性质1如果，那么；如果，那么.即

性质2如果，，那么.即

，.

性质3如果，那么.

由性质3可得，

.

这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.

性质4如果，，那么；如果，，那么.

性质5如果，，那么.

性质6如果，，那么.

性质7如果，那么（，）.

2.2基本不等式

1.重要不等式

，有

，

当且仅当时，等号成立.

2.基本不等式

如果，，则

，

当且仅当时，等号成立.

叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3.与基本不等式相关的不等式

（1）当时，有

，

当且仅当时，等号成立.

（2）当，时，有

，

当且仅当时，等号成立.

（3）当时，有

，

当且仅当时，等号成立.

4.利用基本不等式求最值

已知，，那么

（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；

（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

1.函数的概念

设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作

.

其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集.

2.区间：

设,是两个实数，而且，我们规定：

（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；

（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；

（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：

.

这里的实数，都叫做相应区间的端点.

这些区间的几何表示如下表所示.

定义

名称

符号

数轴表示

闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间

（4）实数集可以表示为,“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”

读作“正无穷大”.

满足，，，的实数的集合，用区间分别表示为，

，.

这些区间的几何表示如下表所示.

定义

符号

数轴表示

注意：

（1）“”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.

（2）以“”或“”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.

3.函数的三要素

（1）定义域；

（2）对应关系；

（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.

4.函数的相等

如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.

5.函数的表示方法

（1）解析法

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.

解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.

（2）图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.

图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.

说明：

将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域.

函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.

（3）列表法

通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.

6.分段函数

（1）分段函数的概念

有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如

（1），

（2）.

说明：

①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.

②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.

③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.

④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.

（2）分段函数的图象

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分

段函数的图象.

3.2函数的基本性质

函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.

1.单调性与最大（小）值

（1）增函数

设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.

特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

（2）减函数

设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.

特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

（3）单调性、单调区间、单调函数

如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.

如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.

（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：

①设值：

设，且；

②作差：

；

③变形：

对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；

④判断符号，得出函数的单调性.

（5）函数的最大值与最小值

①最大值：

设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得.

那么我们称M是函数的最大值.

②最小值：

设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得.

那么我们称是函数的最小值.

2.奇偶性

（1）偶函数

设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.

关于偶函数有下面的结论：

①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；

②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；

③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.

（2）奇函数

设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.

关于奇函数有下面的结论：

①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；

②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；

③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；

④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.

3.3幂函数

1.幂函数的概念

一般地，形如（，为常数）的函数称为幂函数.

对于幂函数，我们只研究，，，，时的图象与性质.

2.五个幂函数的图象和性质

定义域

值域

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶

奇函数

单调性

增函数

在上递减

在上递增

增函数

增函数

在，上递减

定点

3.4函数的应用

（一）

略.

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

1.n次方根与分数指数幂

（1）方根

如果，那么叫做的次方根，其中，且.

①当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的方根是负数.这时，的方根用符号表示.

②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成（）.

负数没有偶次方根.

0的任何次方根都是0，记作.

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.

关于根式有下面两个等式：

；

.

2.分数指数幂

（1）正分数指数幂

（，，，）.

0的正分数指数幂等于0.

（2）负分数指数幂

（，，，）.

0的负分数指数幂没有意义.

（3）有理数指数幂的运算性质

①（，，）；

②（，，）；

③（，，）.

3.无理数指数幂及其运算性质

（1）无理数指数幂的概念

当是无理数时，是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是.所以无理数指数幂（，是无理数）是一个确定的数.

（2）实数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质.

①（，，）；

②（，，）；

③（，，）.

4.2指数函数

1.指数函数的概念

函数（，且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是.

2.指数函数的图象和性质

一般地，指数函数（，且）的图象和性质如下表所示：

图象

定义域

值域

性质

（1）过定点，即时，

（2）在上是减函数

（2）在上是增函数

4.3对数

1.对数的概念

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作

.

其中叫做对数的底数，叫做真数.

当，且时，.

2.两个重要的对数

（1）常用对数：

以10为底的对数叫做常用对数，并把记为.

（2）自然对数：

以（是无理数，…）为底的对数叫做自然对数，并把记作.

3.关于对数的几个结论

（1）负数和0没有对数；

（2）；

（3）.

4.对数的运算

如果，且，，，那么

（1）；

（2）；

（3）（）.

5.换底公式

（，且，，，）.

4.4对数函数

1.对数函数的概念

一般地，函数（，且）叫做对数函数，其中是自变量，定义域是.

2.对数函数的图象和性质

图

象

定义域

值域

性

质

（1）过定点，即当时，.

（2）增函数

（2）减函数

3.反函数

指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.

4.不同函数增长的差异

对于对数函数（）、一次函数（）、指数函数（）来说，尽管它们在上都是增函数，但是随着的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数（）的增长速度越来越慢；一次函数（）增长的速度始终不变；指数函数（）增长的速度越来越快.总之来说，不管（），（），（）的大小关系如何，（）的增长速度最终都会大大超过（）的增长速度；（）的增长速度最终都会大大超过（）的增长速度.因此，总会存在一个，当时，恒有

.

4.5函数的应用

（二）

1.函数的零点与方程的解

（1）函数零点的概念

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以

方程有实数解

函数有零点

函数的图象与轴有公共点.

（2）函数零点存在定理

如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.

2.用二分法求方程的近似解

对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：

（1）确定零点的初始区间，验证.

（2）求区间的中点.

（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：

①若（此时），则就是函数的零点；

②若（此时），则令；

③若（此时），则令.

（4）判断是否达到精确度：

若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤

（2）~（4）.

由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.

3.函数模型的应用

用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：

这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.

第五章三角函数

5.1任意角和弧度制

1.任意角

（1）角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从

一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

射线的端点叫做角的顶点，射线在起始

位置和终止位置分别叫做角的始边和终边.

（2）正角、负角、零角

按逆时针方向旋转所成的角叫正角；

按顺时针方向旋转所成的角叫负角；

一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.

这样，我们就把角的概念推广到了任意角.

（3）象限角

当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.

（4）终边相同的角

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.

终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；

终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍；

象限角的表示：

第一象限角的集合

第二象限角的集合

第三象限角的集合

第四象限角的集合

终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.

位置

表示

终边在轴非负半轴

终边在轴非正半轴

终边在轴

终边在轴非负半轴

终边在轴非正半轴

终边在轴

终边在坐标轴

2.弧度制

（1）弧度的概念

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么

.

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

（2）弧度与角度的换算

（3）关于扇形的几个公式

设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有

①；②；③.

5.2三角函数的概念

1.三角函数的概念

（1）三角函数的定义

一般地，任意给定一个角，它的终边

与单位圆相交于点.

把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作

，即

；

把点的横坐标叫做的余弦函数，记作

，即

；

把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即

（）.

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数，；

余弦函数，；

正切函数，（）.

设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点

重合）的坐标为，点与原点的距离为.

可以证明：

；

；

.

（2）几个特殊角的三角函数值

，，，的三角函数值如下表所示：

函数

不存在

不存在

（3）三角函数值的符号

（4）诱导公式

（一）

终边相同的角的同一三角函数值相等.

，

，

，

其中.

2.同角三角函数间的基本