勾股定理及常见题型分类.docx
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勾股定理及常见题型分类
勾股定理及常见题型分类
一、知识要点：
1勾股定理
2、勾股定理证明方法及勾股树
3、勾股定理逆定理
4、勾股定理常见题型回顾
二、典型题
右图是一株美丽的勾股所有的三角形都是
题型一：
“勾股树”及其拓展类型求面
1.
树，其中所有的四边形都是正方形，直角三角形•若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
图1
（）
A.13B.26C.47D.94
2.
如图，直线I上有三个正方形a,b,c,若a,c的边长分别为6和8,求b的面积。
3.如图，以ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的矢系.
4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是系是（S、S、S3,则它们之间的矢
）
正放置的四个正方形的面积依次是
题型二：
勾股定理与图形问题
1、已知△ABc是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角
边，画第二个等腰RtAACD再以RtAACD的斜边AD为直角边，画第三个
等腰RtAADE・・・，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是
2如图，求该四边形的面积
3.如图2,已知，在厶ABC中，ZA=45BC,AC=2,AB=.3+1，则边
的长为.
题型三：
在直角三角形中，已知两边求第三边
1在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm,2cm，则斜边长为
2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12,斜边上的高是
4、在RtAABC中，ZC=90°
1若a=5,b=12，贝UC=；
2若a=15,c=25，则b=；
3若c=61,b=60,则a=;
4若a：
b=3：
4,c=10贝URtAABC的面积是=。
5、如果直角三角形的两直角边长分别为n-1,2n（n>1），那么它的斜边长是（）
A、2n
Bn+1
2
Cn—1
D、rv1
6、已知Rt△ABC中，
ZC=90°，若a+b=14cm,c=10cm,则
Rt△ABC的面积是（
A、24cm2
、B36Cm
22
C48cm
D60cm^
7、已知X、y为正数，且|X2-4I+（y2-3
角形的斜边为边长的正方形的面积为（
2=0,如果以X、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三
）
B、25
D、15
题型四：
应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高
1、如图1所示，等腰一丄一'■中，4二「，丄：
是底边上的高，若J长；②厶ABC的面积.
「：
，求①AD的
题型五：
勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题
1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（
A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8
2、若线段a,b,C组成直角三角形，则它们的比为（）
）
15,17
D、4：
6：
7
中：
①厶ABC
ZC=ZA—ZB;
巾，
②厶ABC
中,
ZA：
ZB：
ZC=1:
2:
③厶ABC
a:
b：
c=3：
4:
5;
A、2:
3:
4B、3:
4:
6C、5：
12：
13
3、下面的三角形
r-4—t
④厶ABC中，三边长分别为8,15,17.其中是直角三角形的个数有（）・
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型六：
应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
2、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸
E1
1
）
门、小
C-©-0
:
0
V
T
—4U1
第5题图7
1
60
（单位：
mr）计算两圆孔中心A和B的距离为
6、如图：
有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另
棵树的树梢，至少飞了米.
题型八：
折叠问题
1如图所示，已知△ABC中，ZC=90°,AB的垂直平分线交BC?
于M交AB于N,若AC=4,MB=2MC求AB的长.
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM求CF和EG
4、如图，在长方形ABCD中，DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把厶ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为卩'若厶ABF的面积为30,求折叠的厶AED的面积
BFC
A
5、如图，矩形纸片ABCD勺长AD=9cm，宽AB=3cm,将其折叠，使点
C
D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少?
6、如图，在长方形ABCD中，将AABC沿AC对折至AAEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：
AF=FC
（2）如果AB=3,BC=4,求AF的长
C
、平面展开•最短路径冋题
1•如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒‘此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且
离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
2在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从C按如图A至所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为Cm.（结果保留71）
3•如图，圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC
2
上一点，且PC=BC・一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距
离是
4如图A,—圆柱体的底面周长为24cm,高BD为4cm,BC是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆
柱的表面爬行到点C的最短路程大约是
5•如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,—只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是
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