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合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）

本科生毕业论文（设计）

题目：

行列式计算及其应用研究

系部数学系

学科门类理学

专业数学与应用数学

学号0707140157

姓名张大儒

指导教师王吟

2011年5月15日

行列式计算及其应用研究

摘要

行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学和现实生活中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文阐述行列式的定义及基本性质，介绍了利用行列式的性质计算、化三角形法、代数余子式法、加边法（升阶法）、范德蒙得行列式法等5种基本计算方法和数学归纳法、递推法、利用矩阵特征值计算、拆项法、因式分解法等5种特殊计算方法.本文也介绍了行列式在解析几何、代数中的理论应用和在工程建设、经济管理中的实践应用.这些行列式的计算方法及其应用可以提高我们对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入.

关键词：

行列式；因式分解；化三角形法；解析几何

ABSTRACT

Determinantofhigheralgebracurriculumcontentofbasicandimportantoneinmathematicsandreallifehasawiderangeofapplications,knowhowtocalculatethedeterminantisveryimportant.Thispaperdescribesthedefinitionandbasicpropertiesofdeterminant,thedeterminantofthenaturedescribedbycalculationofthetrianglemethod,algebraicmethod,addingedgemethod（AscendingOrder）,Vandermondedeterminantmethodof5basiccalculationmethodsandmathematicalinduction,recursion,theuseofeigenvaluecalculation,thedissolutionofentrymethod,suchasthefactorizationmethodof5specialcalculationmethods.Thisarticlealsodescribesthedeterminantinanalyticgeometry,algebratheoryisappliedandengineeringconstruction,thepracticalapplicationofeconomicmanagement.Thedeterminantofthecalculationmethodanditsapplicationscanimproveourunderstandingofthedeterminant,tofacilitatethedeterminantofresearchdepth.

Keywords:

determinant;factorization;trianglemethod;analyticgeometry.

1行列式的定义及性质 1

1.1行列式的定义 1

1.1.1排列 1

1.1.2定义 1

1.2行列式的相关性质 2

2行列式的计算方法 4

2.1行列式计算的基本方法 4

2.1.1利用行列式的性质计算 4

2.1.2化三角形法 5

2.1.3代数余子式法 5

2.1.4加边法（升阶法） 7

2.1.5范德蒙得行列式法 9

2.2行列式计算特殊方法 12

2.2.1数学归纳法 12

2.2.2递推法 13

2.2.3利用矩阵特征值计算 16

2.2.4拆项法 17

2.2.5因式分解法 18

3行列式的应用 19

3.1行列式的理论应用 19

3.1.1在解析几何中的应用 19

3.1.2在代数中的应用 21

3.2行列式在实践中的应用 24

参考文献 1

1行列式的定义及性质

行列式的定义及性质是计算行列式的基础有必要进行介绍.

1.1行列式的定义

1.1.1排列

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列.

1.1.2定义

阶行列式

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积

（1-1）

的代数和，这里是的一个排列，每一项（1-1）都按下列规则带有符号：

当是偶排列时，（1-1）带有正号，当是奇排列时，（1-1）带有负号.这一定义可以写成

（1-2）

这里表示对所有级排列求和.

1.2行列式的相关性质

记

，

行列式称为行列式的转置行列式.

性质1行列式与它的转置行列式相等.

证:

记

，

即　，按行列式定义

性质2:

互换行列式的两行（列），行列式反号.

证:

，

交换第两列得行列式

将与按（1.6）式计算，对于中任一项

其中为排列的逆序数，在中必有对应一项

（当时，第列元素取，第列元素取，第列元素取），其中为排列的逆序数，而

与

只经过一次对换，由定理1知，与相差一个符号，又因

所以对于中任一项，中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又与的项数相同，所以.

交换行列式两行记作，交换行列式两列，记作.

推论若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零.

性质3:

行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式.

第行（列）乘以数，记作..

性质4:

行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零.

性质5:

若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如

，

则行列式等于下列两个行列式之和：

性质6:

把行列式某一行（列）的元素乘以数，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.

例如，以数乘以第行上的元素加到第行对应元素上记作，有

2行列式的计算方法

这一部分阐述两个方面内容:

2.1行列式计算的基本方法，2.2行列式计算特殊方法.

2.1行列式计算的基本方法

基本的行列式解法包括：

性质法、化三角形法、代数余子式法、升阶法、范德蒙的行列式法.

2.1.1利用行列式的性质计算

例1：

一个阶行列式的元素满足则称为反对称行列式,证明：

奇数阶反对称行列式为零.

证：

由知，即

故行列式可表示为

，由行列式的性质，

当为奇数时，得=，因而得=0.

2.1.2化三角形法

此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号

例2计算阶行列式

解：

2.1.3代数余子式法

在一个级行列式中,把元素所在的行与列划去后，剩下的个元素按照原来的次序组成的一个阶行列式,称为元的余子式，带上符号称为的代数余子式,记作

定理1:

行列式等于其第行诸元素与各自代数余子式的乘积之和,即

证：

先证特殊情况元素位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;

而,故;

（2）

将中第行依次与前行对调，调换次后位于第一行;

将中第列依次与前列对调，调换次后位于第一列;

经次对调后，就位于第一行、第一列，即

（3）一般地

同理有:

例3计算四阶行列式.

证:

按第1行展开，有

对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得

2.1.4加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法.

它要求：

1保持原行列式的值不变；2新行列式的值容易计算.根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列.加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，

例4计算阶行列式.

解：

例5计算阶行列，其中.

解：

先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：

显然，.

将的第一行乘以后加到其余各行，得

因，将上面这个行列式第一列加第列的倍，得：

2.1.5范德蒙得行列式法

根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：

提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种.这种变形法是计算行列式最常用的方法.

例1计算行列式

解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第行的－1倍加到第行，便得范德蒙行列式

例2计算阶行列式

．其中．

解这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，…，n．即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是，又因，若在第行（1，2，…，n）提出公因子，则可化为一个转置的范德蒙得行列式

例3计算行列式.

解：

例4计算行列式

解：

作如下行列式,使之配成范德蒙行列式

易知等于中的系数的相反数,而中的系数为,因此,

例5计算阶行列式

解：

显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型.

先将的第行依次与第行，行，…,行，行对换，再将得到到的新的行列式的第行与第行，行，…,行对换，继续仿此作法，直到最后将第行与第行对换，这样，共经过次行对换后，得到

上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：

2.2行列式计算特殊方法

在2.1中介绍了一些行列式基本计算方法，但基本方法只能处理一些较为简单的行列式，不能满足实际应用的需要.下面将在基本方法的基础上介绍一些较为复杂的方法.

2.2.1数学归纳法

当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之.一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明.因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式.

例6计算行列式.

解：

结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解

当时，

假设时，有

则当时，把按第一列展开，得

由此，对任意的正整数，有

2.2.2递推法

2.2.2.1基本概念

定义1：

形为

（2-1）

的关系式称为阶齐次线性递推关系式，其中，均为常数，并且≠0，对应的方程

（2-2）

称为（2-1）的特征方程.

定义2：

对于序列定义,为序列的母函数.

2.2.2.2二阶常系数齐次递推表达式的解

已知递推表达式

（，为常数且不为零）（2-3）

对应的特征方程为

（2-4）

的值已知.

下面来解递推表达式（2-3）满足初始条件的特解：

对于序列

令

为序列的母函数

则

从而

再令

以下分三种情况来讨论：

a）特征方程有两个相异实根:

时

其中

所以

故

特征方程有两个共轭复根:

时

这种情况下（5）式也正确，但其中含有复数形式，以下来消除复数形式，其中

根据欧拉公式得（2-5）

（2-6）

把（2-6）、（2-7）代入（2-5）得

（2-7）

特征方程有两个相等实根:

时

故（2-8）

2.2.2.3举例

例7求阶行列式的值

解：

利用行列式的性质，按第一行展开得递推关系式

（2-9）

对应的.计算得

对于（2-10）令,得=1,（无实际意义）

递推关系（2-10）对应的特征方程为

（2-10）

得两个不同实特征解为

代入（2-5）得

例2求阶行列式的值

解利用行列式的性质用第一行展开得递推关系式

（2-11）

对应的.计算得

对于（2-11）令,得=1,（无实际意义）

递推关系（2-11）对应的特征方程为

（2-12）

得两个相同实特征解为

把,=1,以及代入（2-9）得

2.2.3利用矩阵特征值计算

1.特征值的定义

设是阶方阵，如果存在数和非零维列向量，使得成立，则称是的一个特征值.非零维列向量称为矩阵的属于（对应于）特征值的特征向量，简称的特征向量.

求矩阵特征值的方法：

，等价于求，使得其中是单位阵，0为零矩阵，求得的值即为值.

定理2:

如果阶矩阵的全部特征值为，则.

定理3:

设为方阵的特征值，为的多项式，则为的特征值.

利用特征值的求法及定理2可以计算行列式的值，举例如下

例8已知三阶矩阵特征值为-1,1,2.设求：

解①由定理2得：

②因为由定理3得的特征值为：

所以

③的特征多项式为

令，得

故

例9　求阶矩阵的特征值及行列式．

解　，其中，．

由以上讨论的根是（重）和.于是的特征值中有个满足，另一个满足.所以的特征值为和．又

2.2.4拆项法

拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算.

例10计算行列式.

解：

2.2.5因式分解法

如果行列式是某个变数的多项式，可对行列式施行某些变换，求出的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为，则，再比较与的某一项的系数，求出值.

例11计算行列式.

解：

所以，.

同理均为的因式,又因为与各不相同，但的展开式中最高次项的系数为1，故.

计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法.

总的原则是：

充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值.学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算.

3行列式的应用

3.1行列式的理论应用

3.1.1在解析几何中的应用

例12设,是平面上两个不同的点，那么过，的直线方程是

＝0.

设直线的方程为

，

（1）

这里不全为零.由于，在直线上，故它们满足方程

（1），代入后得

（2）

将

（1）与

（2）合并，得到方程组

（3）

这是一个关于待定系数的齐次线性方程组，由于不全为零，所以（3）有非零解.于是方程组的系数行列式为零，即

（4）

凡是在直线上的点必须满足（4），反之，满足方程（4）的每一点必在经过，两点的直线上.因此，方程（4）是通过平面上两定点,的直线方程.

类似地有

例13设通过几何空间中不在同一直线上三点,与的平面方程为

把上述三点的坐标代入方程，得到关于的齐次线性方程组，它有非零解，因此系数行列式应等于零，即

＝0.（5）

这是一个由行列式表示的平面方程.

例14设

是三条不同的直线，若,,交于一点，试证

设交点为，则

（6）

由于齐次线性方程组

（7）

有非零解，故系数行列式

＝＝0.

根据行列式的性质

D=＝＝

＝

＝.

由于,,是三条不同的直线，所以不全为零.且均为实数，因此，由知

3.1.2在代数中的应用

3.1.2.1分解因式

利用行列式分解因式的关键,是把所给的多项式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则.下面列举几个例子来说明.

例15

＝

而

＝＝

＝

＝.

故有分解因式

例16分解因式.

原式＝

=-＋＝

=＝.（范德蒙行列式）

所以.

3.1.2.2证明不等式和恒等式

我们知道,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上,行列式不变;如果行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么这个行列式等于零.利用行列式的这些性质,我们可以构造行列式来证明等式和不等式.

例17已知,求证.

证明令,则

命题得证.

例18已知,求证.

证明令,则

而,则,命题得证.

例19“杨辉三角形”中的行列式问题.考察下面的行列式

＝,

它的结果等于1，同时不难发现

＝1,＝1,＝1.

这一现象并非偶然.经观察，发现这些行列式的元素从某一角度看构成“杨辉三角”的一部分，现表示如下：

…

规定＝1，上面的三角形可写成下面的形式：

…

于是，猜想有如下命题：

＝＝1.

下面证明这个猜想是对的.

我们用数学归纳法来证明.

（1）＝||＝1，命题成立；

（2）假设＝1，即

＝＝1.

对讲，

＝.

从最后一行起，每一行减去相邻的上一行，并根据组合数的性质-＝得

按照第1列展开，得

从最后一列起，每一列减去它相邻的前1列，并根据组合数的性质-＝得

＝＝＝1.

因此，由数学归纳法原理知=1.

3.2行列式在实践中的应用

例18江堤边一洼地发生了管涌，江水不断的涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台？

　　解：

设开始抽水前管涌已经涌出的水量为立方米，管涌每分钟涌出的水量为立方米，每台抽水机每分钟可抽水立方米（），由此再设台抽水机抽完水需分钟，则依题意，即得

这是一个关于为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系数行列式

＝

展开，得:

∵，

∴，

解之得:

，

所以如果在10分钟内抽完水，至少需要抽水机6台.行列式在诸如建筑小区的楼房排列、单片机设计等工程中，都有很大的用途.

参考文献

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8-10

[2]张禾瑞．郝新高等代数[M]．北京：

人民教育出版社,1996.

[3]王品超.高等代数新方法[M].济南,山东教育出版社，1989.

[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京:

高等教育出社,2003.

[5]同济大学数学教研室．工程数学线性代数（第三版）[M]．北京：

高等教育出版社，1999.

[6]王萼芳,石生明修订.高等代数（第三版）[M].北京:

高等教育出版社,2003.

[7]李宇寰.组合数学[M].北京：

北京师范大学出版社，1988.

[8]杨振

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