自动控制原理：第10讲（第三章 二阶系统性能改善及高阶系统性能分析）.pptx

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第10讲二阶系统性能改善及高阶系统性能分析2022-10-071例1：

同一个系统，输入信号分别为单位阶跃和斜坡，simulink建模仿真观察输出。

（1）F=5，K=200

（2）F=5，K=20（3）F=5，K=6改变开环增益就相当于改变系统阻尼比的数值。

但是，阶跃响应中的超调量和斜坡响应中的稳态误差对值的要求正好相反，要取得一个合适的折中方案比较困难。

在高精度控制系统中，需要采用高增益使死区、间隙和摩擦等非线性因素的影响减到最低程度，因此不能任意降低开环增益以换取较小的超调量。

有哪些性能指标？

3.3.6二阶系统性能改善或评价系统的响应速度同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标评价系统的阻尼程度稳态误差比例微分控制和测速反馈控制是两种常用的改善系统性能的方法。

1、比例微分控制（PD控制）比例项：

1微分项：

E（s）为误差信号，Td为微分器时间常数。

由图可见，系统输出量同时受误差信号及其速率的双重作用。

因而，比例一微分控制是一种早期控制，可在出现位置误差前，提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的。

（1）物理意义假定系统超调量大，且采用伺服电动机作为执行元件。

小未采用比例微分控制系统工作原理正向力矩过大超调整个过程类似于学驾驶！

保持匀速行驶。

刹车：

反向力矩；油门：

正向力矩。

反向力矩过大负超调正向修正，使e减小逐渐新手来说，整个过程是颠振荡衰弱（稳定系统）簸！

如何改善系统性能？

正向力矩慢慢减小，反向力矩增大。

正向力矩慢慢增大，反向力矩减小。

PD控制：

（2）理论分析简化，Td为微分时间常数，比例因子是1，E（s）为误差信号。

C（s）R（s）（-）dGo（s）E（s）Ts+1U（s）开环传递函数闭环传递函数阻尼比增大！

开环增益不变结论：

增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短。

不影响常值稳态误差及系统的自然频率。

改变开环增益就相当于改变系统阻尼比的数值。

采用微分控制后，允许选取较高的开环增益，因此在保证一定的动态性能条件下，可以减小稳态误差。

？

稳态误差减小超调量不变或减小或不变，微分器对于噪声，特别是对于高频噪声的放大作用，远大于对缓慢变化输入信号的放大作用，因此在系统输入端噪声较强的情况下，不宜采用比例一微分控制方式。

（3）性能指标分析*由3-42输出响应tr:

上升时间tr:

对响应求导，令其为零。

得峰值时间tp:

式中输出响应超调量调节时间ts:

令为实际响应与稳态输出之间的差，则下式成立取误差带=0.05,由上式解得由式（3-43）可知解:

由e（）=1/K0.2要求，取K=5。

闭环传递函数（4）举例比例微分控制改善了系统的动态性能，且满足对系统稳态误差的要求。

动态性能分析无零点二阶系统动态性能查图3-24，由式（3-47）,（3-49）及（3-50）闭环传递函数微分作用相当于增加一个闭环零点理论分析：

增大阻尼，超调量、上升时间、峰值时间（5）微分项对二阶系统的影响例2：

单位反馈开环传递函数附加微分环节对二阶系统的影响1K=5，Td=0，Td=0.05，Td=0.5，Td=5超调量、上升时间、峰值时间、调节时间零点有增大阻尼的作用零点越靠近原点该作用越明显当z=时，为无零点的二阶系统例3：

系统传递函数K=5，Td=0，Td=0.05，Td=0.5，Td=5附加闭环零点对二阶系统的影响2超调量、上升时间、峰值时间、调节时间？

零点有减小阻尼的作用零点越靠近原点该作用越明显当z=时，为无零点的二阶系统就超调量来说，例1和例2出现相反的结果？

注意：

例1增加的是开环零点例2增加的是闭环零点不管是哪种只要附加零点对闭环系统极点没有影响，则零点有减小阻尼的作用。

调节时间缩短；不影响常值稳态误差及系统的自然频率；在保证一定的动态性能条件下，可以减小稳态误差。

在系统输入端噪声较强的情况下，不宜采用比例一微分控制方式。

增大系统阻尼，阶跃响应的超调量下降；物理解释：

微分D的作用。

根据差值信号变化的速率，提前给出一个相应的调节动作，从而缩短了调节时间。

比例-微分控制对系统性能影响小结图中输出量的速度信号反馈到输入端，与误差信号E（s）比较后，改善系统的动态性能，即输出量的导数同样可以改善系统的性能。

R（s）（s）（-）C（s）（-）KtS2、测速反馈控制R（s）（s）（-）C（s）（-）KtS开环传递函数闭环传递函数开环增益K

（1）理论分析结论：

增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短。

减小了开环增益，增大了稳态误差。

不影响系统的自然频率。

采用测速反馈控制后，可以适当增大原系统的开环增益，以弥补稳态误差的损失，同时适当选择测速反馈系数Kt，使阻尼比在0.40.8之间，从而满足给定的各项动态性能指标。

（2）性能指标分析与无零点二阶系统动态性能指标一样解：

系统（a）闭环传递函数（3）举例系统（b）闭环传递函数表明，测速反馈可以改善系统动态性能，但会增大稳态误差。

为了减小稳态误差，必须加大原系统的开环增益，而使Kt单纯用来增大系统阻尼。

例5分析：

1）该系统能否正常工作？

2）求=0.707，系统如何改进？

解：

1）=0无阻尼等幅不衰减振荡，工作不正常）增加测速反馈，闭环传递函数PD控制测速反馈控制附加阻尼来源输入端误差速度输出端响应速度，使用环境放大噪声对噪声有滤波作用？

无影响对动态性能的影响无零点3、比例微分控制与测速反馈控制的比较3.4高阶系统的时域分析在控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶系统，即用高阶微分方程描述的系统。

工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。

对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说，其动态性能指标的确定是比较复杂的。

工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，或直接应用MATLAB软件进行高阶系统分析。

原因：

高阶系统的计算比较困难；在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。

1、三阶系统的单位阶跃响应以s左半平面具有一对共扼复数极点和一个实极点的分布模式为例，分析三阶系统的单位阶跃响应。

其一般形式为单位阶跃响应拉氏变换单位阶跃响应分析：

三阶系统单位阶跃响应由三个部分组成：

稳态项、实数极点构成的衰减指数项、共轭复数极点构成的振荡分量b1表示实数极点位于共轭复数极点的左侧b1表示实数极点位于共轭复数极点的左侧，并且远离虚轴b1图形与二阶系统类似进行拉氏变换可得：

2、高阶系统的单位阶跃响应当已知高阶系统的各个极点后，可以将其化为部分分式和的形式描述非振荡过渡过程描述振荡过渡过程高阶系统时域响应可以看成是一阶、二阶系统的响应的叠加；特征根实部为正，相应分量的过渡过程为发散的（不稳定的）；特征根实部为负，相应分量的过渡过程为收敛的（稳定的）；衰减或发散的速度取决于根实部的大小。

进行拉氏反变换

（1）高阶系统单位阶跃响应利用MATLAB软件可以方便地求出式（3-61）所示高阶系统的单位阶跃响应。

即先建立其高阶系统模型，再直接调用step命令即可。

一般命令语句如下:

a2a3an）%高阶系sys=tf（b0b1b2b3bm，a0al统建模step（sys）;%计算单位阶跃响应其中，b0,bl,b2,b3,bm表示式（3-61）对应的分子多项式系数;a0,al,a2,a3,an表示式（3-61）对应的分母多项式系数。

（z,p,k）=tf2zp（num0,den0）%由传递函数得出零极点增益Sys=zpk（z,p,k）%给出闭环传递函数的零极点形式（r,p,k）=residue（num0,den）%部分分式展开结论（性能分析）：

结论1：

高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶振荡子系统的时间响应函数项组成；结论2：

如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，即闭环极点都位于左半平面，随着t的增长，响应的瞬态分量趋于零，即上式的后面三项都趋于0，系统是稳定的，其稳态输出为A0。

响应曲线的类型由闭环极点的性质和大小决定结论3：

c（t）不仅与闭环极点有关，而且与系数A0、Aj、Bk、Ck有关（这些系数与闭环极点零点都有关系）。

对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大（极点距虚轴愈远），则其对应的响应分量（模态）衰减的越迅速，否则，衰减的越慢。

（和极点有关）在留数的计算过程中，要用到C（s），而C（s）中包含有闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留数的数值实际上就是指数项的系数。

（和零点有关）响应曲线的形状与闭环极点和零点有关。

零点的影响：

零点影响各项的系数，零点若靠近某个极点，则该极点对应的系数就小？

此外，p与某个z接近，对应系数Ai就小

（2）闭环实数极点位置对系统的影响设三阶系统仿真分析实数极点s0越靠近虚轴时，对阶跃输出影响越大。

当极点s0越大时（远离虚轴），响应曲线越接近于二阶系统响应曲线，此时，极点s0的作用越来越小，起主要作用的是sb与sc两个极点；当极点s0越小时（靠近虚轴），起主要作用的是极点s0。

对系统动态性能的影响为:

增大峰值时间，使系统响应速度变缓，但可以使超调量减小（增大系统阻尼），且这种作用将随闭环极点接近虚轴而加剧。

设三阶系统理论分析单位阶跃输出实数极点s0越靠近虚轴时，此项衰减越慢，对阶跃输出影响越大，随着时间的推移实数极点的作用越来越明显。

结合结论3，对于稳定的高阶系统，闭环极点负实部的绝对值越大，其对应的响应分量衰减的越迅速；反之，则衰减缓慢。

当极点s0越大时（远离虚轴），阶跃输出第2项衰减明显快于第3、4项，影响响应曲线的主要是sb与sc两个极点，此时三阶系统接近于二阶系统响应曲线；而当极点s0越小时（靠近虚轴），起主要作用的是极点s0。

从仿真和理论分析可以看出：

高阶系统的瞬态特性如果由起主要作用的极点决定，称此类极点为主导极点。

3、高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析

（1）高阶主导极点定义在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点。

闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或者是它们的组合。

除闭环主导极点外，所有其他闭环极点由于其对应的响应分量随时间的推移迅速衰减，对系统的时间响应过程影响甚微，因而统称为非主导极点。

离虚轴近：

由此极点决定的指数项衰减缓慢，等其它闭环极点随时间的推移作用消失后，其作用仍然存在，并逐渐显现出来。

（2）闭环主导极点几点说明极点为-s0、-2、-1取周围没有闭环零点：

其输出响应的模态在总的响应中占的比重大（没有其它零点把它的作用抵消掉）闭环零点对系统性能的影响设三阶系统三阶无零点系统二阶无零点系统闭环零点对系统动态性能的影响为：

减小峰值时间使系统响应速度加快超调量增大表明闭环零点会减小系统阻尼，并且这种作用将随闭环零点接近虚轴而加剧。

因此，配置闭环零点时，要折中考虑闭环零点对系统响应速度和阻尼程度的影响。

主导极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的五倍以上）主导极点其它闭环极点远离虚轴：

其它闭环极点决定的模态和主导极点决定的模态相比衰减很快。

在控制工程实践中，通常要求控制系统既具有较快的响应速度，又具有一定的阻尼程度，此外，还要求减少死区、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影响，因此高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共扼主导极点。

这时，可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统性能。

解：

系统闭环传递函数绘制零极点分布图（matlabpzmap）sys=zpk（-2.1,-8-2-0.5+0.866*j-0.5-0.866*j,8）;pzmap（sys）;（3）例子主导极点非主导极点零点-0.5+0.866*j-0.5-0.866*j-8-2-2.1原系统近似简化为绘制原系统和近似系统的单位阶跃响应动态性能分析两个系统动态性能基本相同其它非主导极点对系统性能的影响三种情况：

闭环零点（类似结论见前面分析）闭环非主导极点（类似结论见前面分析）闭环零点与闭环非主导极点靠近，称为偶极子偶极子：

一对非常靠近的零、极点会使该极点的对应留数很小，其在系统动态响应中的作用近似相互抵消。

通过增加含有零点的微分环节使某些极点的作用减小；或者增加含有极点的惯性环节使某些零点的作用减小。

（4）偶极子对系统性能影响偶极子对动态性能影响可忽略的充分条件对于线性定常系统，偶极子对系统动态性能的影响可忽略的充分条件是：

偶极子不十分接近坐标原点。

而对于十分接近坐标原点的偶极子对动态性能的影响必须考虑。

简化思路：

1、去除传递函数中影响较小的极点；2、利用零极点抵消作用，最终降为二阶或三阶系统。

3、偶极子概念的4、保持系统稳态放大倍数不变，即（0）不变或A0不变（ts）4、高阶系统简化例7：

已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的可能性。

s=-1为主导极点，忽略极点s=-10的影响。

为了保持G（0）值不变，应将系统简化为：

例子例8：

已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的可能性。

指令：

P,Z=PZMAP（g）系统传递函数可近似为例10：

已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的可能性。

指令：

P,Z=PZMAP（g）P=-5.0000-1.6506-0.1747+1.5469i-0.1747-1.5469iZ=-4pzmap（g）去掉偶极子后的曲线与原曲线的比较：

去掉非主导极点和偶极子后的曲线与原曲线的比较：

保持G（0）不变例11：

2阶系统的传递函数为附加零点后的传函为附加极点后的传函为三个系统的稳态增益相等。

从变化中理解高阶系统的动态响应：

附加闭环零点使系统响应加快，tr减小，超调量增大。

相当于2阶系统的阻尼系数变小。

附加闭环极点使系统响应变慢，tr增加，超调量减小。

相当于2阶系统的阻尼系数增加。

特点1）高阶系统时间响应由简单函数组成。

2）如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。

3）时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。

分析方法：

1）可由系统主导极点估算高阶系统性能。

2）忽略偶极子的影响。

简化思路：

1）去除传递函数中影响较小的极点；2）利用零极点抵消作用，最终降为二阶或三阶系统。

3）偶极子概念的4）保持系统稳态放大倍数不变，即（0）不变或A0不变（ts=0）高阶系统分析小结