第三章抽样与抽样分布(第二部分).pptx

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3.3常用的抽样方法常用的抽样方法3.4抽样分布

（一）抽样分布

（一）（一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）3.5抽样分布

（二）抽样分布

（二）（两个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）3.6大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理第三章第三章（第二部分第二部分）抽样与抽样分布抽样与抽样分布学习目标1.1.了解抽样的概率抽样方法了解抽样的概率抽样方法2.2.理解抽样分布的意义理解抽样分布的意义3.3.了解抽样分布的形成过程了解抽样分布的形成过程4.4.理解中心极限定理理解中心极限定理5.5.理解抽样分布的性质理解抽样分布的性质3.3常用的抽样方法一、简单随机抽样一、简单随机抽样二、分层抽样二、分层抽样三、系统抽样三、系统抽样四、整群抽样四、整群抽样抽样方法简单随机抽样分层抽样整群抽样系统抽样多阶段抽样概率抽样方便抽样判断抽样自愿样本滚雪球抽样配额抽样非概率抽样抽样方式一、简单随机抽样（simplerandomsampling）1.从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得总体中每一个元素总体中每一个元素都有相同的机会（概率）被抽中2.抽取元素的具体方法有重复抽样重复抽样和不重复抽样不重复抽样3.特点n简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本n用样本统计量对目标量进行估计比较方便4.局限性n当N很大时，不易构造抽样框n抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难n没有利用其他辅助信息以提高估计的效率二、分层抽样（stratifiedsampling）1.将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本2.优点n保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度n组织实施调查方便n既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计三、系统抽样（systematicsampling）1.将总体中的各单位按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位n先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位2.优点：

操作简便，可提高估计的精度四、整群抽样（clustersampling）1.先将总体划分为若干个群，然后再以群作为调查单位从中抽取部分群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查。

2.特点n抽样时只需群的抽样框，可简化工作量n调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施n当群为总体的一个缩影时，抽样估计误差小，否则误差较大。

1.多阶段抽样（Multistagesampling）：

是指将抽样过程分阶段进行，每个阶段使用的抽样方法往往不同，即将各种抽样方法结合使用，其在大型流行病学调查中常用。

其实施过程为，先从总体中抽取范围较大的单元，称为一级抽样单元，再从每个抽得的一级单元中抽取范围更小的二级单元，依此类推，最后抽取其中范围更小的单元作为调查单位。

2.非概率抽样：

又称为不等概率抽样或非随机抽样，就是调查者根据自己的方便或主观判断抽取样本的方法。

它不是严格按随机抽样原则来抽取样本，所以失去了大数定律的存在基础，也就无法确定抽样误差，无法正确地说明样本的统计值在多大程度上适合于总体。

虽然根据其它抽样方法介绍样本调查的结果也可在一定程度上说明总体的性质、特征，但不能从数量上推断总体.非概率抽样按抽样特点可分为：

方便抽样、判断抽样、空间抽样、滚雪球抽样、配额抽样等类型。

3.方便抽样：

样本限于总体中易于抽到的一部分。

最常见的方便抽样是偶遇抽样，即研究者将在某一时间和环境中所遇到的每一总体单位均作为样本成员。

“街头拦人法”就是一种偶遇抽样。

4.判断抽样又称立意抽样，研究人员从总体中选择那些被判断为最能代表总体的单位作样本的抽样方法。

当研究者对自己的研究领域十分熟悉，对研究总体比较了解时采用这种抽样方法，可获代表性较高的样本。

5.空间抽样：

对非静止的、暂时性的空间相邻的群体的抽样方法。

例如，游行与集会没有确定的总体，参加者从一地到另一地，一些人离去又有一些人进来，但这些事件是在一定范围内进行的。

对这样的总体在同一时间内抽样十分重要，以便样本组成不会经历时间上的太大变化。

6.滚雪球抽样：

以若干个具有所需特征的人为最初的调查对象，然后依靠他们提供认识的合格的调查对象，再由这些人提供第三批调查对象，依次类推，样本如同滚雪球般由小变大。

滚雪球抽样多用于总体单位的信息不足或观察性研究的情况。

7.配额抽样也称定额抽样，是将总体依某种标准分层（群）；然后按照各层样本数与该层总体数成比例的原则主观抽取样本。

定额抽样与分层概率抽样很接近，最大的不同是分层概率抽样的各层样本是随机抽取的，而定额抽样的各层样本是非随机的。

3.4抽样分布

（一）（一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）一、抽样分布的概念一、抽样分布的概念二、样本均值的抽样分布二、样本均值的抽样分布三、样本比率的抽样分布三、样本比率的抽样分布四、样本方差的抽样分布四、样本方差的抽样分布1.样本统计量的概率分布，是一种理论分布n在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布。

2.随机变量是样本统计量样本统计量n样本均值,样本比例，样本方差等3.结果来自容量相同容量相同的所有所有可能样本4.一、抽样分布的概念（samplingdistribution）抽样分布的形成过程（samplingdistribution）总体计算样本统计计算样本统计量量如：

样本均值、比例、方差样本1.在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.推断总体均值的理论基础二、样本均值的抽样分布1、样本均值的抽样分布（例题分析）【例】【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。

4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。

总体的均值、方差及分布如下总体分布总体分布14230.1.2.3均值和方差均值和方差5.21NxNii25.1）（122NxNii样本均值的抽样分布（例题分析）现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。

所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n=2的样本（共的样本（共16个）个）样本均值的抽样分布（例题分析）计算出各样本的均值，如下表。

并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P（x）1.53.04.03.52.02.5样本均值的分布与总体分布的比较（例题分析）=2.52=1.25总体分布总体分布14230.1.2.3抽样分布抽样分布P（x）1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x5.2x625.02x2、样本均值的抽样分布与中心极限定理=50=10X总体分布总体分布n=4抽样分布抽样分布xn=16当总体服从正态分布N（,2）时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x的数学期望为，方差为2/n。

即xN（,2/n）5x50x5.2x中心极限定理（centrallimittheorem）当样本容量足够大时（n30），样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：

中心极限定理：

设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布一个任意分布的总体xnxx中心极限定理（centrallimittheorem）x的分布趋的分布趋于正态分布于正态分布的过程的过程1.样本均值的数学期望2.样本均值的方差n重复抽样n不重复抽样3、样本均值抽样分布的数学特征（数学期望与方差）（xEnx22122NnNnx样本均值的抽样分布（数学期望与方差）比较及结论：

比较及结论：

1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n为样本数目MnMxnixix222122625.016）5.20.4（）5.20.1（）（5.2160.45.10.11Mxniix抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布4、标准误（standarderror）1.样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差，也称抽样标准差。

2.标准误衡量的是统计量的离散程度，它测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度3.以样本均值的抽样分布为例，在重复抽样条件下，样本均值的标准误为4、标准差的英文为：

standarddeviationnx估计的标准误（standarderrorofestimation）1.当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误2.以样本均值的抽样分布为例，当总体标准差未知时，可用样本标准差s代替，则在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为nsx三、样本比率的抽样分布o比率是指总体（或样本）中具有某种属性的单位与全部单位总数之比n不同性别的人与全部人数之比n合格品（或不合格品）与全部产品总数之比o总体比例可表示为o样本比例可表示为NNNN101或nnpnnp101或1.在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似4.推断总体比例的理论基础样本比例的抽样分布1.样本比例的数学期望2.样本比例的方差n重复抽样n不重复抽样样本比例的抽样分布（数学期望与方差）（pEnp）1（21）1（2NnNnp四、样本方差的抽样分布1.在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布2.对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为（n-1）的2分布，即）1（）1（222nsn22）1（sn1.由阿贝（Abbe）于1863年首先给出，后来由海尔墨特（Hermert）和卡皮尔逊（KPearson）分别于1875年和1900年推导出来2.设，则3.令，则Y服从自由度为1的2分布，即4.当总体，从中抽取容量为n的样本，则2分布（2distribution）,（2NX）1,0（NXz2zY）1（2Y）,（2NX）1（）（2212nxxnii1.分布的变量值始终为正2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称3.期望为E

（2）=n，方差为D

（2）=2n（n为自由度）4.可加性：

若U和V为两个独立的服从2分布的随机变量，U2（n1），V2（n2）,则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2分布（性质和特点）c2分布（图示）选择容量为选择容量为n的的简单随机样本简单随机样本计算样本方差计算样本方差s2计算卡方值计算卡方值2=（n-1）s2/2计算出所有的计算出所有的2值值不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布cc22n=1n=4n=10n=20mmss总体总体3.5抽样分布

（二）（两个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）一、两个样本均值之差的抽样分布一、两个样本均值之差的抽样分布二、两个样本比例之差的抽样分布二、两个样本比例之差的抽样分布三、两个样本方差比的抽样分布三、两个样本方差比的抽样分布1.两个总体都为正态分布，即，2.两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差3.方差为各自的方差之和一、两个样本均值之差的抽样分布）,（2111NX）,（2222NX21xx2121）（xxE222121221nnxx1.两个总体都服从二项分布2.分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似3.分布的数学期望为4.方差为各自的方差之和二、两个样本比例之差的抽样分布2121）（ppE2221112）1（）1（21nnpp三、两个样本方差比的抽样分布1.两个总体都为正态分布，即X1N（1,12），X2N（2,22）2.从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本3.两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为（n1-1），分母自由度为（n2-1）的F分布，即）1,1（212221nnFss1.由统计学家费希尔（R.A.Fisher）提出的，以其姓氏的第一个字母来命名2.设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2（n1），V为服从自由度为n2的2分布，即V2（n2）,且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布（Fdistribution）21nVnUF）,（21nnFFF分布（图示）不同自由度的F分布F（1,10）（5,10）（10,10）一、大数定律3.6大数定律与中心极限定理大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理的总称。

1.独立同分布大数定律设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E（Xi）和方差D（Xi）2（i=1,2,），则对任意小的正数,有：

该定理给出了平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计总体均值（数学期望）提供了理论依据。

1|1|lim1niinXnP2.伯努力大数定律o设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，则对任意的0，有：

o它表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n依概率收敛于事件A发生的概率n阐明了频率具有稳定性，提供了用频率估计概率的理论依据。

1|limpnmPn二、中心极限定理独立同分布的中心极限定理o（也称列维一林德伯格定理）o设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列,且存在有限的和方差2（i=1,2,），当n时，或或）（21nnNXnii，）/（2nNX，o上述定理表明n独立同分布的随机变量序列不管服从什么分布，其n项总和的分布趋近于正态分布。

o可得出如下结论结论：

n不论总体服从何种分布，只要其数学期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样时，当样本量n充分大，就趋于正态分布。

n该定理为均值的抽样推断奠定了理论基础。

棣莫佛拉普拉斯中心极限定理o设随机变量X服从二项分布B（n,p）的，那么当n时，X服从均值为np、方差为np（1-p）的正态分布，即：

或：

或：

o上述定理表明：

n很大，np和np（1p）也都不太小时，二项分布可以用正态分布去近似。

）1（pnpnpNX，）10（）1（，NpnpnpXo例例8：

假设有一批种子的发芽率为0.7。

现有这种种子1000颗，试求其中有720颗以上发芽的概率。

o解：

设X发芽种子颗数，XB（1000，0.7）。

近似地XN（700，210）。

P（X720）P（Z1.38）1P（Z1.38）10.91620.0838中心极限定理的应用o教材P112例3-33o教材P113例3-34课程作业o教材P117第9、10、11、12题课堂作业1、从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25，样本均指的抽样标准差是多少？

2、从0.4的总体中，抽取一个容量为100的样本，问p的数学期望是多少？

P的标准差是多少？

P的分布是什么？

3、假定顾客在超市一次性购物的平均消费是85元，标准差是9元，从中随机抽取40名顾客，每个顾客消费金额大于87元的概率是多少？

4、教材P117第9题；