第6章抽样与抽样分布_2.pptx

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6-1统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）你不必吃完整一头牛，才知道它的你不必吃完整一头牛，才知道它的肉是咬不动的。

肉是咬不动的。

SamelJohnson第第6章抽样与抽样分章抽样与抽样分布布6-2统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）第第6章抽样与抽样分布章抽样与抽样分布6.1概率抽样方法概率抽样方法6.2三种不同性质的分布三种不同性质的分布6.3一个总体参数推断时样本统计量的抽样一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布分布6.4两个总体参数推断时样本统计量的抽样两个总体参数推断时样本统计量的抽样分布分布6-3统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）学习目标学习目标1.1.了解概率抽样方法了解概率抽样方法2.2.区分总体分布、样本分布、抽样分布区分总体分布、样本分布、抽样分布3.3.理解抽样分布与总体分布的关系理解抽样分布与总体分布的关系4.4.掌握单总体参数推断时样本统计量的分布掌握单总体参数推断时样本统计量的分布5.5.掌握双总体参数推断时样本统计量的分布掌握双总体参数推断时样本统计量的分布6-4统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）6.1概率抽样方法概率抽样方法6.1.1简单随机抽样简单随机抽样6.1.2分层抽样分层抽样6.1.3系统抽样系统抽样6.1.4整群抽样整群抽样6-5统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）抽样方法抽样方法简单随机抽样分层抽样整群抽样系统抽样多阶段抽样概率抽样方便抽样判断抽样自愿样本滚雪球抽样配额抽样非概率抽样抽样方式6-6统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）概率抽样概率抽样（probabilitysampling）1.根据一个已知的概率来抽取样本单位，也称随机抽样2.特点n按一定的概率以随机原则抽取样本l抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中n每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的n当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率6-7统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）简单随机抽样简单随机抽样（simplerandomsampling）1.从总体N个单位（元素）中随机地抽取n个单位作为样本，使得总体中每一个元素总体中每一个元素都有相同的机会（概率）被抽中2.抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样3.特点n简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本n用样本统计量对目标量进行估计比较方便4.局限性n当N很大时，不易构造抽样框n抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难n没有利用其他辅助信息以提高估计的效率6-8统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）简单随机样本简单随机样本（simplerandomsample）1.由简单随机抽样形成的样本2.从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为每一个容量为n样本样本都有相同的机会（概率）被抽中3.参数估计和假设检验所依据的主要是简单随机样本6-9统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）简单随机抽样简单随机抽样（用用Excel对分类数据随机抽样）【例】某班级共有30名学生，他们的名单如右表。

用Excel抽出一个由5个学生构成的随机样本6-10统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）简单随机抽样简单随机抽样（用用Excel对分类数据随机抽样）第第1步：

步：

将30个学生的名单录入到Excel工作表中的一列第第2步：

步：

给每个学生一个数字代码数字代码，分别为1，2，30，并按顺序排列，将代码录入到Excel工作表中的一列，与学生名单相对应第第3步：

步：

选择【工具工具】下拉菜单，并选择【数据分析数据分析】选项，然后在【数据分析】选项中选择【抽样抽样】第第4步：

步：

在【抽样】对话框中的【输入区域】中输入学生代码区域，在【抽样方法】中单击【随机随机】。

在【样本数】中输入需要抽样的学生个数。

在【输出区输出区域域】中选择抽样结果放置的区域。

【确定】后即得到要抽取的样本用用Excel对分类数据抽样对分类数据抽样6-11统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）简单随机抽样简单随机抽样（用用Excel对数值型数据随机抽样）第第1步：

步：

将原始数据录入到Excel工作表中的一列第第2步：

步：

选择【工具工具】下拉菜单，并选择【数据分析数据分析】选项，然后在【数据分析】选项中选择【抽样抽样】第第3步：

步：

在【抽样】对话框中的【输入区域】中输入原始数据区域，在【抽样方法】中单击【随机随机】。

在【样本数】中输入需要抽样的数据个数。

在【输出区域】中选择抽样结果放置的区域。

【确定】后即得到要抽取的样本数据用用Excel对数值型数据抽样对数值型数据抽样6-12统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）分层抽样分层抽样（stratifiedsampling）1.将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本2.优点n保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度n组织实施调查方便n既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计6-13统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）系统抽样系统抽样（systematicsampling）1.将总体中的所有单位（抽样单位）按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位n先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位2.优点：

操作简便，可提高估计的精度3.缺点：

对估计量方差的估计比较困难6-14统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）整群抽样整群抽样（clustersampling）1.将总体中若干个单位合并为组（群），抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查2.特点n抽样时只需群的抽样框，可简化工作量n调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施n缺点是估计的精度较差6-15统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）多阶段抽样多阶段抽样（multi-stagesampling）1.先抽取群，但并不是调查群内的所有单位，而是再进行一步抽样，从选中的群中抽取出若干个单位进行调查n群是初级抽样单位，第二阶段抽取的是最终抽样单位。

将该方法推广，使抽样的段数增多，就称为多阶段抽样2.具有整群抽样的优点，保证样本相对集中，节约调查费用3.需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开4.在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法6-16统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）统计量统计量1、统计量的概念2、常用统计量3、次序统计量4、充分统计量6-17统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）6.2三种不同性质的分布三种不同性质的分布6.2.1总体分布总体分布6.2.2样本分布样本分布6.2.3抽样分布抽样分布6-18统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.总体中各元素的观察值所形成的分布2.分布通常是未知的3.可以假定它服从某种分布总体分布总体分布（populationdistribution）总体6-19统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.一个样本中各观察值的分布2.也称经验分布3.当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布样本分布（sampledistribution）样本6-20统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.样本统计量的概率分布，是一种理论分布n在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布2.随机变量是样本统计量样本统计量n样本均值,样本比例，样本方差等3.结果来自容量相同容量相同的所有所有可能样本4.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据抽样分布抽样分布（samplingdistribution）6-21统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）抽样分布的形成过程抽样分布的形成过程（samplingdistribution）总体计算样本统计计算样本统计量量如：

样本均值、比例、方差样本6-22统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）三大抽样分布大家很快会看到，有很多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，它们被称为统计中的“三大抽样分布”。

6-23统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）2分布（卡方分布）定义设X1,X2,Xn,独立同分布于标准正态分布N（0,1），则2=X12+Xn2的分布称为自由度为n的2分布，记为22（n）。

当随机变量22（n）时，对给定（01），称满足P（212（n）的12（n）是自由度为n1的卡方分布的1分位数.分位数12（n）可以从附表3中查到。

6-24统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）该密度函数的图像是一只取非负值的偏态分布22,Var（）2Enn6-25统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）F分布定义设X12（m）,X22（n）,X1与X2独立，则称F=（X1/m）/（X2/n）的分布是自由度为m与n的F分布，记为FF（m,n），其中m称为分子自由度，n称为分母自由度。

当随机变量FF（m,n）时，对给定（01），称满足P（FF1（m,n）=1的F1（m,n）是自由度为m与n的F分布的1分位数。

由F分布的构造知F（n,m）=1/F1（m,n）。

6-26统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）该密度函数的图象也是一只取非负值的偏态分布6-27统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）t分布定义设随机变量X1与X2独立，且X1N（0,1）,X22（n）,则称t=X1/X2/n的分布为自由度为n的t分布，记为tt（n）。

6-28统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）t分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标准正态分布的大一些。

6-29统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）n1时,t分布的数学期望存在且为0；n2时，t分布的方差存在，且为n/（n2）；当自由度较大（如n30）时，t分布可以用正态分布N（0,1）近似。

自由度为1的t分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；6-30统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）当随机变量tt（n）时，称满足P（tt1（n）=1的t1（n）是自由度为n的t分布的1分位数.分位数t1（n）可以从附表4中查到。

譬如n=10,=0.05，那么从附表4上查得t10.05（10）=t0.95（10）=1.812.由于t分布的密度函数关于0对称,故其分位数间有如下关系t（n1）=t1（n1）6-31统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）一些重要结论定理设x1,x2,xn是来自N（,2）的样本，其样本均值和样本方差分别为和x=xi/ns2=（xix）2/（n1）（3）（n1）s2/22（n1）。

则有

（1）x与s2相互独立；

（2）xN（,2/n）；6-32统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）推论设x1,x2,xn是来自N（1,12）的样本，y1,y2,yn是来自N（2,22）的样本，且此两样本相互独立，则有特别，若12=22，则F=sx2/sy2F（m1,n1）221222/（1,1）/xysFFmns6-33统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）推论在推论的记号下，设12=22=2，并记则2）（）

（2）1（）1（1122222nmyyxxnmsnsmsminiiiyxw）2（11）（）（21nmtnmsyxw6-34统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）充分统计量充分性的概念例为研究某个运动员的打靶命中率，我们对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第三、六次未命中外，其余8次都命中。

这样的观测结果包含了两种信息：

（1）打靶10次命中8次；

（2）2次不命中分别出现在第3次和第6次打靶上。

6-35统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的。

一般地，设我们对该运动员进行n次观测，得到x1,x2,xn，每个xj取值非0即1，命中为1，不命中为0。

令T=x1+xn，T为观测到的命中次数。

在这种场合仅仅记录使用T不会丢失任何与命中率有关的信息，统计上将这种“样本加工不损失信息”称为“充分性”。

样本x=（x1,x2,xn）有一个样本分布F（x），这个分布包含了样本中一切有关的信息。

6-36统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）统计量T=T（x1,x2,xn）也有一个抽样分布FT（t），当我们期望用统计量T代替原始样本并且不损失任何有关的信息时，也就是期望抽样分布FT（t）像F（x）一样概括了有关的一切信息，这即是说在统计量T的取值为t的情况下,样本x的条件分布F（x|T=t）已不含的信息，这正是统计量具有充分性的含义。

6-37统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）定义设x1,x2,xn是来自某个总体的样本，总体分布函数为F（x;），统计量T=T（x1,x2,xn）称为的充分统计量，如果在给定T的取值后，x1,x2,xn的条件分布与无关.6-38统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）因子分解定理充分性原则：

在统计学中有一个基本原则-在充分统计量存在的场合，任何统计推断都可以基于充分统计量进行，这可以简化统计推断的程序。

定理设总体概率函数为p（x;），X1,Xn为样本，则T=T（X1,Xn）为充分统计量的充分必要条件是：

存在两个函数g（t;）和h（x1,xn），使得对任意的和任一组观测值x1,x2,xn，有p（x1,x2,xn;）=g（T（x1,x2,xn）;）h（x1,x2,xn）6-39统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）抽样分布抽样分布1、统计量2、样本均值分布3、中心极限定理6-40统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）6.3样本统计量的抽样分布样本统计量的抽样分布（一个总体参数推断一个总体参数推断时时）6.3.1样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布6.3.2样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布6.3.3样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布6-41统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布6-42统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布6-43统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析例题分析）【例】【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。

4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。

总体的均值、方差及分布如下总体分布总体分布14230.1.2.3均值和方差均值和方差5.21NxNii25.1）（122NxNii6-44统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析例题分析）现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。

所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n=2的样本（共的样本（共16个）个）6-45统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析例题分析）计算出各样本的均值，如下表。

并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P（x）1.53.04.03.52.02.56-46统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较（例题分析例题分析）=2.52=1.25总体分布总体分布14230.1.2.3抽样分布抽样分布P（x）1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x5.2x625.02x6-47统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布与中心极限定理与中心极限定理=50=10X总体分布总体分布n=4抽样分布抽样分布xn=16当总体服从正态分布N（,2）时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x的数学期望为，方差为2/n。

即xN（,2/n）5x50x5.2x6-48统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）中心极限定理中心极限定理（centrallimittheorem）当样本容量足够大时（n30），样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为，方差为2/n的正态分布一个任意分布的总体xnxx6-49统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）中心极限定理中心极限定理（centrallimittheorem）x的分布趋的分布趋于正态分布于正态分布的过程的过程6-50统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）抽样分布与总体分布的关系抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本小样本样本均值样本均值正态分布正态分布样本均值样本均值正态分布正态分布样本均值样本均值非正态分布非正态分布6-51统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.样本均值的数学期望2.样本均值的方差n重复抽样n不重复抽样样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（数学期望与方差数学期望与方差）（xEnx22122NnNnx6-52统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（数学期望与方差数学期望与方差）比较及结论：

比较及结论：

1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n为样本数目MnMxnixix222122625.016）5.20.4（）5.20.1（）（5.2160.45.10.11Mxniix6-53统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）统计量的标准误统计量的标准误（standarderror）1.样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差2.标准误衡量的是统计量的离散程度，它测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度3.以样本均值的抽样分布为例，在重复抽样条件下，样本均值的标准误为nx6-54统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）估计的标准误估计的标准误（standarderrorofestimation）1.当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误2.以样本均值的抽样分布为例，当总体标准差未知时，可用样本标准差s代替，则在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为nsx6-55统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布6-56统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.总体（或样本）中具有某种属性的单位与全部单位总数之比n不同性别的人与全部人数之比n合格品（或不合格品）与全部产品总数之比2.总体比例可表示为3.样本比例可表示为比例比例（proportion）NNNN101或nnpnnp101或6-57统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似4.推断总体比例的理论基础样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布6-58统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.样本比例的数学期望2.样本比例的方差n重复抽样n不重复抽样样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布（数学期望与方差数学期望与方差）（pEnp）1（21）1（2NnNnp6-59统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布6-60统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）样本方差的分布样本方差的分布1.在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布2.对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为（n-1）的2分布，即）1（）1（222nsn22）1（sn6-61统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.由阿贝（Abbe）于1863年首先给出，后来由海尔墨特（Hermert）和卡皮尔逊（KPearson）分别于1875年和1900年推导出来2.设，则3.令，则Y服从自由度为1的2分布，即4.5.当总体，从中抽取容量为n的样本，则2分布分布（2distribution）,（2NX）1,0（NXz2zY）1（2Y）,（2NX）1（）（2212nxxnii6-62统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）1.分布的变量值始终为正2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称3.期望为E

（2）=n，方差为D

（2）=2n（n为自由度）4.可加性：

若U和V为两个独立的服从2分布的随机变量，U2（n1），V2（n2）,则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2分布分布（性质和特点性质和特点）6-63统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）cc2分布分布（图示图示）选择容量为选择容量为n的的简单随机样本简单随机样本计算样本方差计算样本方差s2计算卡方值计算卡方值2=（n-1）s2/2计算出所有的计算出所有的2值值不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布cc22n=1n=4n=10n=20mmss总体总体6-64统计学统计学STATISTICS（第二版第二版）cc2分布分布（例题的图示例题的图示）16个样本方差的分布个样本方差的分布样本方差s2s2取值的概率0.04/160.56/1624/164.52/160.000.050.100.150.200.250.300.350.400.00.52.04.5s的取值s取值的概率6-65统计学统计学STATISTICS（第二版第