样本及抽样分布概述.pptx
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第一章样本及抽样分布,本章转入课程的第二部分数理统计,数理统计的特点是应用面广,分支较多。
社会的发展不断向统计提出新的问题。
从历史的典籍中,人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载,说明人们很早就开始了统计的工作。
但是当时的统计,只是对有关事实的简单记录和整理,而没有在一定理论的指导下,作出超越这些数据范围之外的推断。
到了十九世纪末二十世纪初,随着近代数学和概率论的发展,才真正诞生了数理统计学这门学科。
数理统计学是一门应用性很强的学科。
它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析受随机影响的数据,并对所考察的问题作出推断和预测,直至为采取决策和行动提供依据和建议。
数理统计不同于一般的资料统计,它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析。
在数理统计中,不是对所研究的对象全体(称为总体)进行观察,而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据(抽样),并通过这些数据对总体进行推断。
由于推断是基于抽样数据,抽样数据又不能包括研究对象的全部信息。
因而由此获得的结论必然包含不肯定性。
所以,在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法。
由此也可以说:
概率论是数理统计的基础,而数理统计是概率论的重要应用。
但它们是并列的两个学科,并无从属关系。
需要强调说明一点:
统计方法具有“部分推断整体”的特征。
因为我们是从一小部分样本观察值去推断该全体对象(总体)情况,即由部分推断全体。
这里使用的推理方法是“归纳推理”。
这种归纳推理不同于数学中的“演绎推理”。
它在作出结论时,是根据所观察到的大量个别情况,“归纳”起来所得,而不是从一些假设、命题、已知的事实等出发,按一定的逻辑推理去得出来的。
如果这一切都建立在可靠的科学基础上,则对总体下结论是可能的也是可靠的。
因为这里存在着样品(随机抽取的一个个体)个性(特殊性)和总体共性(普遍性)之间的一种内在的、对立统一的辩证关系。
但此时还应记住毕竟是由“局部”推断“整体”,因而仍可能犯错误,结论往往又是在某个“可靠性水平”之下得出的。
1.1随机样本,1.总体与个体,一个统计问题总有它明确的研究对象。
研究对象的全体称为总体(母体),,总体中每个成员称为个体。
然而在统计研究中,人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况。
这时,每个个体具有的数量指标的全体就是总体。
该批灯泡寿命的全体就是总体,某品牌轿车百公里耗油量的全体就是总体,某批灯泡的寿命,某品牌轿车百公里耗油量,由于每个个体的出现是随机的,所以相应的数量指标的出现也带有随机性。
从而可以把这种数量指标看作一个随机变量,因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布。
这样,总体就可以用一个随机变量及其分布来描述。
统计的任务,是根据从总体中抽取的样本,去推断总体的性质。
由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重,灯泡的寿命,汽车的耗油量),所谓总体的性质,无非就是这些指标值的集体的性质。
而概率分布正是刻划这种集体性质的适当工具。
因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来。
在数理统计中,总体这个概念的要旨是:
总体就是一个概率分布。
2.样本,为推断总体分布及各种特征,按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息,这一抽取过程称为“抽样”,所抽取的部分个体称为样本。
样本中所包含的个体数目称为样本容量。
从某品牌轿车中抽5辆进行耗油量试验,样本容量为5,但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的数(x1,x2,xn),称为样本的一次观察值,简称样本观察值。
由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断,为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息,必须考虑抽样方法。
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”,它要求抽取的样本满足下面两点:
1.代表性:
X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布。
2.独立性:
X1,X2,Xn是相互独立的随机变量。
由简单随机抽样得到的样本(子样)称为简单随机样本(子样)。
用(X1,X2,Xn)表示。
简单随机样本是应用中最常见的情形,今后,当说到(X1,X2,Xn)是取自某总体的样本时,若不特别说明,就指简单随机样本。
3.总体、样本、样本值的关系,总体(理论分布),样本,样本值,总体分布决定了样本取值的概率规律,也就是样本取到样本值的规律,因而可以由样本值去推断总体。
2.2抽样分布,1.统计量及其抽样分布,由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行“加工”,这就要构造一些样本的函数,它把样本中所含的(某一方面)的信息集中起来。
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。
它是完全由样本决定的量。
统计量的分布称为抽样分布。
2.样本均值及其抽样分布,样本均值,反映了总体均值的信息,分组样本场合:
其中k为组数;xi为第i组的组中值;fi为第i组的频率。
定理:
设是来自某总体的样本,为样本均值。
若总体分布为N(,2),则的精确分布为N(,2/n);,若总体分布未知或不是正态分布,则的渐近分布为N(,2/n);,样本方差与样本标准差,它反映了总体方差的信息,定理设总体X具有二阶矩,EX=,DX=2+,设X1,X2,Xn是从该总体得到的样本,则:
样本k阶原点矩,它反映了总体k阶矩的信息,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k阶中心矩的信息,统计量既然是依赖于样本的,而后者又是随机变量,故统计量也是随机变量,因而就有一定的分布,这个分布叫做统计量的“抽样分布”.,抽样分布,精确抽样分布,(小样本问题中使用),渐近分布,(大样本问题中使用),三大抽样分布,定义:
设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量:
所服从的分布为自由度为n的分布.,记为:
Person,分布的密度函数为:
c2分布演示,由分布的定义,不难得到:
2.设且X1,X2相互独立,则,这个性质叫分布的可加性.,若,则可以求得,EX=n,DX=2n,应用中心极限定理可得,若,的分布近似正态分布N(0,1).,2、t分布,记为:
Tt(n).,Student,T的密度函数为:
具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为:
E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对n2,t分布的密度函数关于x=0对称,且,当n充分大时,其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。
请看演示,t分布,不难看到,当n充分大时,t分布近似N(0,1)分布。
但对于较小的n,t分布与N(0,1)分布相差很大。
3、F分布,Fisher,由定义可见,,F(n2,n1),若XF(n1,n2),X的概率密度为,X的数学期望为:
若n22,即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.,F分布演示,分位数演示,例如:
1.645,2.326,-2.326,2.4469,-2.4469,14.449,1.237,计算,9.20,一般地,,证:
令:
则,=0.1605,四、几个重要的抽样分布定理,定理1(样本均值的分布),n取不同值时样本均值的分布,定理2(样本方差的分布),说明:
n取不同值时的分布,定理3,证明:
独立,定理4(两总体样本均值差的分布),其中,证明:
定理5(两总体样本方差比的分布),证明:
独立,课间休息,