随机振动分析基础.ppt

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随机振动分析基础,1随机振动的特点,对某振动运动，其规律显示出相当的随机性而不能用确定性的函数来表达，使得只能用概率和统计的方法来描述，这种振动被称为随机振动。

随机振动可以由系统构成参数本身有随机性而导致，但在多数情况下主要由激振源的随机性所引起。

本节主要研究这后一种情况，即确定性系统在随机激励下的振动响应。

汽车方面的典型例子是路面的随机凹凸不平使行驶的汽车产生随机振动；被切削工件表层软硬不均使车刀及刀架产生随机振动；风对建筑结构的随机激励；地震对结构的随机激励；浪使船舶产生随机振动；大气湍流使机翼产生随机振动等等。

下图为一随机振动的时间历程样本函数表示。

所谓样本函数是指随机振动本身是以时间t为过程参变量的函数过程。

随机振动时间历程样本函数,从随机性的物理性质出发，这样各不相同的函数应有无穷多个，每一个只是一个样本，最后构成集合xi（t）,i=1,2,3,;t0,）。

取尽各种可能性的无穷多个样本函数的集合称为样本函数空间。

取t=tk时刻各样本函数瞬时值构成一个序列X（s,tk）=xi（tk）,i=1,2,3,;tk0,）；s用于表记对应不同的样本函数。

每个xi（tk）是tk时刻的瞬时振动幅值，称为是随机变量X（s,tk）的在s=si的一个样本点；所有样本点的集合Ssi就是随机变量X（s,tk）的样本空间；,随机变量X（s,tk）随样本点的不同随机地取不同的值，即X（s,tk）是样本点sS的函数。

同时注意它也是过程参变量tk0,）的函数。

当随机变量蕴含的是样本点的函数的意义明显且希望强调它是过程参变量t的函数时，简记此随机变量为X（t）。

当tk取不同值时，可得不同时刻的随机变量X（tk）；从原理上看，对于各样本函数是时间的连续函数的随机振动，只有t连续变化为无穷多个时刻而得出无穷多组随机变量X（t）才能完整地描述一个随机振动。

这样实际形成的是以时间为过程参数的一族随机变量，这样定义的随机变量族就被称为随机过程。

随机振动是一种典型的随机过程。

另外，也可以选用其它参数为随机过程的过程参数。

2相关函数和功率谱密度函数,1.相关函数掌握随机变量的性质是通过了解它的概率结构，最自然是通过其概率密度函数p（x）或概率分布函数P（x）。

完整地掌握p（x）或P（x）通常比较困难，因此常用的统计描述是讨论随机变量的各低阶矩数字特征，如数学期望（均值），均方值和方差等。

作为增加了过程参数t的随机变量族的随机过程，可通过对随机变量数字特征（矩函数）对过程参数的扩展定义来研究其统计特性。

对图1.5-1所示随机振动，取离散时刻t1,t2,tn可得一族随机变量X1,X2,Xn。

这些随机变量的概率结构可由概率密度函数及不同时刻的随机变量间的联合概率密度函数表达为p（x1,t1），p（x2,t2），p（x1,t1;x2,t2），p（x2,t2;x3,t3），（1.5-1），p（x1,t1;x2,t2;x3,t3;xn,tn）,上述表达的n维概率密度函数能够近似描述原连续的随机过程的统计特性，n越大近似程度越高，当n趋于无穷大时，（1.5-1）就完全表达了该随机过程的统计特性。

类似于研究随机变量统计性质时对各阶矩的定义，可定义随机过程的各阶矩函数如下：

k=1,2,3,nk,j=1,2,3,nk,i,j=1,2,3,n,（1.5-2）,可以证明，用矩函数或用概率密度函数（或概率分布函数）来描述随机过程数学上是等价的。

理论上完整地确定一个随机过程，需要确定所有各阶矩函数，明显这对实际应用来说又是一个过分的苛求。

因此，实践上特别强调运用低阶矩即1，2阶矩函数。

1阶矩函数称为均值函数，定义为（1.5-3）2阶矩函数称为相关函数，定义为（1.5-4）,（1.5-4）针对的是一个随机过程，因而可更细分地称为自相关函数，以双下标xx代表；如果研究的对象包括有两个随机过程X（t）,Y（t），可以类似地定义出互相关函数如（1.5-5）,均值函数和相关函数虽然只是随机过程的矩函数表达系列中的两个低阶矩函数，但它们却表征了随机过程许多重要统计特征。

特别对一类实际上很常见的高斯随机过程，其高阶矩函数可以由1，2阶矩函数表示，因此，对高斯随机过程，均值函数和相关函数完全表征了它的概率结构。

而对于非高斯过程，这两矩函数也代表了其统计性质中非常重要的一大部分。

高斯随机过程，又称为正态随机过程，是这样一种随机过程：

它在任意时刻tk的状态都服从正态分布，即是高斯随机变量。

定义为：

对于任意n，X（t）的n个样本为X（t1），X（t2），X（tn），记x=x1，x2，xnT，mX=mX（t1），mX（t2），mX（tn）T，X（t）的n维联合概率密度函数为,其中C为协方差矩阵记CX（ti,tj）=E（X（ti）mX（ti）（X（tj）mX（tj），i，j=1,2,，nE.为数学期望运算，有,高斯随机过程是最常见的随机过程之一。

因为根据中心极限定理，当某随机变量是有大量相互独立的随机因素的综合影响而形成，且每一个别因素所起作用都相对微小时，该随机变量往往近似服从正态分布。

实际中满足中心极限定理条件的随机现象很多，当现象也是过程参数t的函数时即形成高斯随机过程。

高斯随机过程的高阶统计函数可以由1，2阶函数表示的性质以及线性变换不改变其高斯分布特性的性质使它在理论和实践上都有很大重要性。

在常见的均值函数为常数（或简单函数）的情况下，习惯通过线性位移变换将考虑的运动静态工作点移到零，这导致均值函数为零，称为零均值化。

因此最关心的系统动态特性的统计特征就主要由2阶矩函数相关函数代表，这更加突出了相关函数在随机振动分析中的作用。

2.平稳随机过程如果一随机过程与过程参数t的起点无关，该随机过程即称为平稳随机过程；如果随机过程与过程参数t的起点有关，该随机过程则称为非平稳随机过程。

平稳随机过程的概率结构可表为,p（x1,t1）p（x1,t1+t），p（x1,t1;x2,t2）=p（x1,t1+t;x2,t2+t），p（x1,t1;x2,t2;xn,tn）=p（x1,t1+t;x2,t2+t;xn,tn+t）,（1.5-6）其中t为任意常数。

如果（1.5-6）各式都成立，随机过程称为强平稳；如果只有前2式成立，则称为弱平稳。

一般情况下，判断是否强平稳非常困难，所谓平稳指的是弱平稳，简称平稳。

对于高斯随机过程，因为高阶概率密度函数可由1，2阶概率密度函数表达，弱平稳即为强平稳。

对平稳随机过程，1阶概率密度函数与参数t无关，可写为p（x）。

由（1.5-3）可知它的均值函数与时间无关，记为mx。

2阶概率密度函数只与时间差t=t2-t1有关，可写为p（x1,x2,t）。

对于平稳随机过程的2阶矩函数相关函数，有下列性质:

（1）Rxx（t1,t2）=Rxx（t），Rxy（t1,t2）=Rxy（t），t=t2-t1。

（2）Rxx（t）=Rxx（-t）；当t=0时，有Rxx（0）=Ex（t）x（t）=sxx2，其中sxx2为均方值且与时间无关。

（3）Rxy（t）=Ryx（-t）。

（4）（5）（6）具体有特别,（7）如果Rxx（t）是关于t的衰减函数，且均值函数mx=0，有如果mx不等于零，则,（8）设Z（t）=X（t）+Y（t）为两个平稳随机过程X（t）和Y（t）之和，有Rzz（t）=Rxx（t）+Ryy（t）+Rxy（t）+Ryx（t）；如果X（t）和Y（t）不相关，就有Rzz（t）=Rxx（t）+Ryy（t）。

3.各态历经性,上述概率密度函数或矩函数都是在样本函数空间中定义的。

即使计算低阶矩函数也要求在样本函数空间中平均。

理论上，样本函数空间要求无穷多个样本函数才算完备。

实际上可以获取的试验样本函数的个数通常是非常有限的，这就为实际数字特征量计算要求的样本平均带来了困难。

为解决这个问题，并通过对实际的随机过程的大量观察分析，提出了对某些随机过程有各态历经性的假设。

所谓各态历经假设，是建筑在这样的物理观察和总结上的：

如果某一随机过程的概率结构与时间t的起点无关，对它的一个样本函数，如果演进时间无穷长，此样本函数可取得其样本函数空间所包含的所有概率可能性；即它可以经历系统所有的可能状态，这随机过程就被称为有各态历经性。

在此假设下，各数字特征计算所要求的多个样本函数的样本平均就转化为只要求一个样本函数的时域平均。

建立数字特征量的时间平均表达。

对考察长度为T的一段样本函数x（t）进行时间平均，各阶矩函数的表达式为（1.5-7）,（1.5-7）各式中的s标明它们都是随所用样本函数不同而不同的随机变量，它们也与考察时间长度T有关。

如果有（1.5-8）,即（1.5-7）中的各式当T趋于无穷大时都有极限存在，并且这些极限还与选用那一个样本函数无关，则此随机过程X（t）是严格各态历经的；如果（1.5-8）中只有前两式成立，则称此随机过程X（t）是2阶各态历经。

一般情况下所讲的各态历经性，指的就是2阶各态历经。

很明显，各态历经随机过程一定是平稳随机过程；反之则不一定成立。

4.功率谱密度函数,设平稳随机过程X（t）的自相关函数为Rxx（t），Rxx（t）的傅立叶变换存在，记为（1.5-9）Sxx（w）称为X（t）的自功率谱密度函数，是w的非负实偶函数，w为圆频率。

Sxx（w）与Rxx（t）形成傅立叶变换对，即又有,要（1.5-9）和（1.5-10）的傅立叶变换对存在，对变换函数有一定数学性质的要求。

根据傅立叶变换存在性的绝对可积条件，可以证明，（1.5-9）存在的要求是（1.5-11）,（1.5-10）,（1.5-11）成立要求，这要求过程X（t）的均值mx=0，此对一般平稳随机过程成立（或可以通过零均值化成立）。

其物理基础是：

随着两时刻间隔t趋于无穷大，两时刻对应的随机过程值之间的相关性应趋于零。

如均值不等于零，可通过线性变换Y（t）=X（t）-mx来进行零均值化。

可以对照的是，对一般平稳随机过程X（t），由于平稳性的要求，肯定没有，因此不满足绝对可积条件使得X（t）的傅立叶变换并不存在。

因此直接对X（t）作傅立叶变换以讨论其频谱是要非常小心的。

对于工程常用的以Hz计的频率变量f，因为w=2pf，并考虑到e-jwt=coswt-jsinwt以及自相关函数的偶函数性质,有（1.5-12）（1.5-13）可以证明，有Sxx（f）=2pSxx（w）（1.5-14）,由于工程上负频率无意义，故分析中有时要使用单边谱密度，其定义为（1.5-15）对自相关函数有（1.5-16）,自功率谱密度函数的物理意义。

对（1.5-13）令t=0，有可见，过程X（t）的平均能量sxx2可由Sxx（f）在全频带（，）（或单边谱Gxx（f）在正频带（0，）上积分得到，由此说明Sxx（f）代表了随机振动过程X（t）的平均能量在频率域上的分布情况。

考察平稳随机振动位移X（t）功率谱密度函数与对速度和加速度的功率谱密度函数的关系。

设对X（t）功率谱密度函数为Sxx（w），则由自相关函数的微分性质，有,（1.5-17）（1.5-18）对应于考虑两平稳随机过程X（t）和Y（t）的互相关函数，可以定义互功率谱密度函数为（1.5-19）,其逆傅立叶变换为（1.5-20）（1.5-21）即Syx（w）是Sxy（w）的复共轭。

上标“*”代表复共轭。

可以证明（1.5-22）,5.平稳随机过程的谱特性分类,由于自功率谱密度函数Sxx（f）（或Gxx（f））反映了平稳随机过程的平均能量随频率分布的特性，可以根据它分类一些典型平稳随机振动过程，以便把握它们的本质特征。

1）窄带平稳过程典型谱密度函数，相关函数和时域样本函数分别如下图（a），（b）和（c）。

谱带宽相比于它的中心频率wc大概要小一个数量级。

谱分量主要集中在中心频率附近，说明振动能量主要在wc附近。

图（a）窄带过程单边谱（b）相关函数Rx（t）（c）时域样本函数x（t）,一般随机振动经过缓冲系统后，响应往往是窄带随机振动。

例如汽车在凹凸不平的道路上行驶时，车身的振动即为窄带随机振动。

这是因为汽车具有缓冲系统，只有车身部件的固有频率附近频带的振动才能传至车身，使车身在比较窄的频带范围振动。

观察窄带随机振动的时域历程曲线可以发现，它的峰值变化是随机的，但却近似地具有周期性，好像是峰值随时间随机变化的正弦振动，所以有时也称它为准正弦振动。

2）宽带平稳过程宽带平稳过程的谱带宽分布于较宽的范围，带宽与中心频率相比是同数量级的，或更大。

其典型谱密度函数，相关函数和时域样本函数分别如下图。

图（a）宽带过程单边谱（b）相关函数Rx（t）（c）时域样本函数x（t）,3）理想白噪声过程白噪声过程是宽带平稳过程的极限特例。

对此过程有Sxx（f）=So（或Gxx（f）=2So），So为常数。

谱密度在整个频率轴（,）上均匀分布，即频带宽达整个频率轴。

白噪声过程的自相关函数为Rxx（t）=2pS0d（t），是集中在t=0处强度为2pSo的脉冲函数。

而t=0处等于无穷大，t0处都等于零的d函数性质说明白噪声过程“自己”与“自己”的相关性为无穷大，任何不是“自己”的两点间的相关性为零。

由于能量被要求均匀分布于整个频率轴，白噪声过程的均方值为sxx2=Ex2（t）=Rxx（0）=。

这要求其平均能量为无穷大，这在物理上是不可实现的。

因此理想白噪声只有理论上的意义。

在某一有限频带内有常数谱密度So的有限带宽白噪声过程物理上是可能实现；如果该有限频带带宽“相对”较大，可以一定程度上视为理想白噪声过程。

3线性系统在平稳随机激励下的响应,1.单自由度系统设系统是确定性的，激励为随机性的，对应的随机运动微分方程可写为,（1.5-23）,设Fr（t）为平稳随机激励力过程，X即为随机位移响应过程，z和wn如前定义为确定的系统特征参数。

假定初始时刻系统处于静止，即,（1.5-24）,线性系统随机响应分析研究的是随机微分方程的均方意义下的解过程，要获得该解过程的概率结构及建立它们与激励随机过程的概率结构之间的联系。

根据线性随机常微分方程解的构成理论，在线性情况下，对确定性系统，随机激励的均方解与确定性激励的解有相同的形式。

由此，根据前零初始条件下响应的杜哈梅积分表达式（1.2-28），有,h（t）为（1.2-25）定义的系统的单位脉冲响应函数。

考察响应过程的数字特征，如前所述，仍主要关心其1，2阶矩函数。

响应均值函数为,（1.5-25）,将（1.2-25）代入上式，有考虑稳态响应令t，有系统（1.5-23）的频率响应函数H（w）为,（1.5-26）,（1.5-27）,（1.5-28）,为激励的均值，如果它为零，则响应均值亦为零；否则，稳态响应的均值将以H（0）为乘数放大；对瞬态情况，（1.5-26）表明响应均值函数和时间有关，因此是非平稳的。

响应自相关函数为由（1.5-29）可见，即使激励是平稳随机过程，响应一般也不是平稳随机过程。

这对计算响应的数字特征带来麻烦，所幸的是可以通过考虑稳态情况使问题相对简化。

（1.5-29）,由定义可知将上代入相关函数（1.5-29），有,（1.5-30）,（1.5-31）,将（1.2-25）的h（t）代入（1.5-31），所得再代入（1.5-30），整理后考虑稳态情况令令t=t2-t1，对照定义,（1.5-32）,（1.5-33）,（1.5-33）是平稳随机激励与响应的功率谱密度函数之间的关系，注意它只适用于稳态情况。

以类似的方法，可以推导出响应和激励的自谱及互谱密度函数之间的关系，有,（1.5-34）,（1.5-35）,2.多自由度系统,对于线性振动多自由度系统，随机运动微分方程扩展为矩阵方程，即由于考虑的系统本身是确定性的，质量、阻尼及刚度矩阵与前（1.3-22）中定义的一样。

（1.5-36）,和单自由度系统解法类似，随机响应向量的解法可以利用对确定性的线性多自由度系统的模态分析法。

设系统本身满足利用实模态分析法的条件，令,（1.5-37）,为系统的正则化实模态矩阵；Y为对应的随机模态坐标响应向量。

将（1.5-37）代入（1.5-36），左乘，由正交性得解耦的随机模态响应坐标方程为,（1.5-38）,假设系统初始条件为零，则各随机模态坐标响应的初始条件都为零。

对杜哈梅积分，可以证明它的一个等价形式为,（1.5-39）,（1.5-25）,在随机响应分析时，认为（1.5-39）与（1.5-25）是有差别的。

差别在于（1.5-39）的积分上下限扩展到正负无穷大是对应于系统的稳态响应；而（1.5-25）积分上下限在0,t之间而对应瞬态响应情况。

用（1.5-39）求取随机模态坐标响应Yi（t）的稳态解，为,利用（1.5-40）可求取各Yi（t）的均值函数，进而通过（1.5-37）求得各Xi（t）的均值函数。

（1.5-40）,计算对Y=Y1（t）Y2（t）Yn（t）T的相关函数矩阵。

由定义有,（1.5-41）,为nn维对角矩阵,对（1.5-41）两边进行傅立叶变换，有其中HF（w）=F（hF（t）。

对因为Q（t）=FTFr（t）所以,（1.5-42）,其中,（1.5-43）,（1.5-44）,由类似的推导，对互谱矩阵，有,（1.5-45）,可以利用复模态方法推导有非比例阻尼的线性多自由度系统的随机激励功率谱与随机稳态响应功率谱之间的关系，它们也有（1.5-43）和（1.5-45）形式。

但如前所述，实模态分析法在大多数情况下，已满足实际应用的需求。

例考虑如图的轿车模型，并增加C1，C2以代表轮胎和悬架的阻尼效应，设前后轮与地面接触处的不平度激励X1（t），X2（t）为零均值平稳随机过程，求随机响应X，Q的稳态统计特征。

轿车模型,解：

增加了阻尼效应的对随机基础激励的运动微分方程为其中,对上两式两边作傅立叶变换，可整理出频率响应函数矩阵H（w）为各量定义为,记Z（w）=X（w）Q（w）T，P（w）=X1（w）X2（w）T，由上有Z（w）=H（w）P（w）参照（1.5-43），有,（a）,设路面不平度激励X1（t），X2（t）为零均值平稳高斯随机过程，所以X1（t）与X2（t）之间仅相差一时差t0=l/v，v为车速，l为轮距，则路面激励的功率谱矩阵为,（b）,Szz（w）的对角线元素分别为随机响应X，Q的自功率谱密度函数。

由上（a）式有,响应的互谱密度为考虑（b）式，整理后有,上两式说明，当两个激励只相差一个时差t0时，系统两个自由度的响应相当于每个自由度在一个激励下的响应；其频率响应函数，分别为和。

这是在考虑简化车辆动力学模型时，近似地将车身的垂直自由度运动和俯仰自由度运动分别考虑的基础。

本章结束,习题,题1随机过程Xt的样本函数为：

式中a1，a2，w1，w2是常数，f1，f2为统计独立的在0，2p上均匀分布的随机变量，求自相关函数Rxx（t）。

题2某平稳随机过程的自相关函数为：

求其均值mx，方差，功率谱密度函数Sxx（f）和单边谱密度函数Gxx（f）。

题3已知某振动系统的输入为力，输出为位移，系统位移响应的y（t）的自功率谱为：

求响应y（t）的自相关函数和均方值。

题4系统示意如下图，设F1（t）为均值为零的白噪声，其自功率谱密度函数为SFF（w），求稳态情况下响应的自功率谱密度函数，互功率谱密度函数及各响应的均方值。

题5如下图，系统由主系统（m1，k1）和副系统（m2，C2，k2）组成，设作用在m1上的F1（t）为零均值白噪声，试以响应y1（t）的均方值最小为条件确定副系统的m2，C2，k2。

题6设线性系统随机运动方程为其中：

W（t）为平稳白噪声激励向量，有EW（t）=0，EW（t）WT（t+t）=Id（t），I为单位矩阵，用实模态分析法求响应的相关函数矩阵RXX（t）。