奇异值分解在图像压缩中的应用..docx

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矩阵分析课程作业

题目：

奇异值分解在图像压缩中的应用

专业：

学号：

姓名：

奇异值分解与图像压缩

一、问题描述与解决方案

（此处分两部分，第一部分介绍问题背景和具体问题描述，第二部分介绍此问题的解决方法，引出矩阵分析内容）

随着数码设备成像能力越来越强大，图像所占的内存需求也随之增大，伴随着图像传输也遇到相似问题，图像压缩是解决这些问题的一种办法。

图像压缩以矩阵论为基础，利用奇异值分解在图像处理中应用。

假定一幅图像有个像素，如果将这个数据一起传送，往往会显得数据量很大。

因此我们希望能够改传送另外一些比较少的数据，在接收端利用这些数据重构原图像。

假定对矩阵进行奇异值分解，便得到，其中，奇异值从大到小的顺序排列。

如果从中选取个大奇异值以及这些对应的左右奇异向量逼近原图像，便可以共使用个数值取代原来的个图像数据。

最终图像的压缩比率为：

二、奇异值分解

（此处介绍对应矩阵分析内容和使用方法）

对于矩阵进行奇异值分解（SVD分解），再利用SVD分解对于图像压缩的应用。

SVD分解可以对于一个一般矩阵使用，将其分解为3个特殊的矩阵，公式如下：

其中，若为一个矩阵，则分解后的三个矩阵：

为酉矩阵；

为正定对角矩阵；

为的共轭转置，是酉矩阵。

酉矩阵是指其共轭转置与逆矩阵相同的矩阵。

其中，，并且，是矩阵的奇异值。

同特征值相似，奇异值也是从大到小排列，且减小特别快。

实际上我们可以用前个奇异值就能基本近似表示整个矩阵。

则可以得到如下的近似奇异值分解方法。

若原Σ的秩为r，则我们只取前k（k

为矩阵；

为正定对角矩阵；

为矩阵。

可以看出，如此做以后，分解后的矩阵秩更小，但最大程度保留了原矩阵的特征。

三、SVD分解的MATLAB实现及仿真结果

（此处为具体实现过程，以及问题的解决情况或程度，使用代码的附代码，可以是matlab、python或mathematica）

原图

K=10

K=50

K=100

K=300

从仿真结果可以看出k越小图像越模糊，但压缩率越高，k越大，图片越清晰，但是压缩率也变小了。

（问题解决情况或解决程度说明）

实现代码：

clc;closeall;

a=imread（'lena.png'）;

a=double（a）;

[s,v,d]=svd（a）;

re=s（:

1:

10）*v（1:

10,1:

10）*d（:

1:

10）';

figure;

imshow（mat2gray（re））;

imwrite（mat2gray（re）,'lena1.jpg'）

re=s（:

1:

50）*v（1:

50,1:

50）*d（:

1:

50）';

figure;

imshow（mat2gray（re））;

imwrite（mat2gray（re）,'lena2.jpg'）

re=s（:

1:

100）*v（1:

100,1:

100）*d（:

1:

100）';

figure;

imshow（mat2gray（re））;

imwrite（mat2gray（re）,'lena3.jpg'）

re=s（:

1:

300）*v（1:

300,1:

300）*d（:

1:

300）';

figure;

imshow（mat2gray（re））;

imwrite（mat2gray（re）,'lena4.jpg'）

四、参考文献

[1]

[2]

总体要求：

问题背景介绍简明，问题陈述清晰全面，解决方案表达清楚，求解过程详细严谨，问题得到解决的程度或效果比较要科学，使用代码可行。

杜绝学术不端，引用或参考文献必须在文末注明。