第5讲-空间运动方程-潜艇.ppt

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1.空间运动方程,2.六自由度运动仿真器,3.潜艇操纵性仿真程序,第五讲：

5.1空间运动方程,随着潜艇水下航速的提高和潜深的增加，潜艇在水中的运动已成为六自由度的空间运动。

虽然在许多情况下，在航行的极大部分时间内，基本上仍是个平面运动，然而为了充分发挥潜艇的战术性能，研究潜艇的空间运动性能是十分重要的。

本节把潜艇当作刚体，推导用动系表示的空间运动一般方程，并简要介绍空间运动方程研究的历史和现状。

5.1.1潜艇六自由度运动的一般方程式,一、质点的线速度,设潜艇的重心G与动系原点O不重合，把重心看成作般运动的刚体上的一点Si（x,y,z），由速度合成定理可知，该点（Si）相对于地球（即定系）的运动速度矢量Vi（即绝对速度）可写成Vi=V0+Ri,式中，V0动系原点O相对于定系的速度，即质点Si（有时是指潜艇重心G点）的牵连速度。

质点Si绕O点的转动角速度。

在同一瞬时，潜艇上各点的转动角速度为常数，因为这里视艇体为刚体。

Ri质点Si相对于O点的矢径，且有Ri=xi+yj+zk。

用分量形式改写成,其中O点分别沿轴的速度分量：

Si点分别绕轴的角速度分量；在动系轴方向的单位矢量，,经整理可得：

Vi=V0+Ri,V与潜艇纵中剖面的夹角为漂角，V与艇的基面之夹角为攻角。

二、质点的加速度,由于i、j、k是动系坐标上的单位矢量，其模是常数，其方向随时间而变化。

当动系以角速度转动时，根据矢量导数的法则有：

将速度表达式对时间求导得,潜艇运动一般方程,六个自由度的潜艇运动方程如下,式中前三式为质心运动定理在动系上的表示式，后三式即是著名的刚体绕定点（质心）转动的欧拉动力学方程式。

HEUAUVLAB,

（二）潜艇六自由度运动的一般方程式,由动量定理可知，当潜艇（刚体）的动量B用质量m和质心速度VG的乘积表示，即,设作用于潜艇的外力为F，则有,将速度表达式代入得,即是质心运动定理，,因为：

上式即是重心G与动系原点O不重合时，质心运动定理在动系上的表示式。

它表示作用于刚体的外力与运动参数之间的关系，也称为力的方程式。

所以：

潜艇运动一般方程,六个自由度的潜艇运动方程如下,式中前三式为质心运动定理在动系上的表示式，后三式即是著名的刚体绕定点（质心）转动的欧拉动力学方程式。

HEUAUVLAB,取作用于刚体（潜艇）上任一质点Si的外力对动系原点O的力矩dMi为：

而,其中,质点Si（x,y,z）的密度,Si的微元体积。

下面来推导刚体统定点转动的欧拉动力学方程式。

式中：

当在潜艇水下全排水体积范围内积分时，可得潜艇质量为；,类似有,根据表达式，将各物理量代入，并在范围内积分得：

式中,其中潜艇质量m对轴的转动惯量潜艇质量对平面的惯性积,考虑到潜艇操纵性研究中采用的动系是与艇体惯性主轴重合的，即为零，此外，作用于潜艇的外力矩M在动系上的分量为；,从而有,潜艇运动一般方程,六个自由度的潜艇运动方程如下,式中前三式为质心运动定理在动系上的表示式，后三式即是著名的刚体绕定点（质心）转动的欧拉动力学方程式。

HEUAUVLAB,当动系原点取在艇的重心o点时，可简化成,该式就是欧拉动力学方程,在推导过程中作了两次简化：

（1）采用固联于刚体的动系，以使Ixx、Iyy等都是常数；

（2）采用原点上的惯性主轴为动系的坐标轴，以消去惯性积Ixy等。

由此使方程组多出了（Izz-Iyy）qr等项，即回转效应。

将力和力矩的表达式合在一起，即是潜艇在空间六自由度运动方程的一般形式。

此时艇的重心G与动系原点O不重合（或重合），但动系三坐标轴是艇体的惯性主轴。

对于潜艇在水平面运动的一般方程为；,取,则可化简为,同理，垂直面运动一般方程为：

还有，横滚面运动一般方程为,1.5.2空间运动的受力表达式,本节介绍潜艇空间运动时所受的外力（矩），包括重力与浮力等静力、艇体水动力、舵力和螺旋桨推力等的空间表达式，故需将定系中的量转换到动坐标系。

一、静力,作用在潜艇上的静力包括重力、浮力及它们的力矩。

重力可以分成两部分：

水下全排水量P0和载荷的改变量P，前者作用于重心，后者作用于浮力也可分成两部分：

水下全排水容积浮力B0，作用于,浮力的改变量B，作用于所以，总的重力和浮力为：

其中：

且有,由于重力和浮力的方向总是铅垂的，所以在定系中的分量为（0，0，PB）。

将其转移到动系上去，有,静力对于动系原点的力矩为,其中为重力和浮力作用点对于动系原点的矢径。

将此式展开,或,用分量表示，并略去改变量符号“”，则有,式中,为简化书写，省去式中的符号“-”。

注意，式中的都是指的重力与浮力的改变量及它们的作用位置。

二潜艇所受的流体惯性力,任意形状的刚体在无边际理想流体中运动时，流体扰动运动的动能表示为：

展开后得：

考虑艇体形状因素：

艇体对称于xoz平面，加速运动不会产生Y、N、K方向的流体惯性力（矩）,因而所有i+j奇数的18个系数全为零；艇体上下大体对称，故系数13、15数值甚小可略去。

计及ijji，表示流体惯性力的36个附加质量系数仅保留14个元素，其中10个是独立的量。

此时作用于潜艇的流体惯性力则为：

流体扰动运动的动量Bi及与动能T有关系,将动能表达式代入，并求取流体的动量、动量矩在动系上的投影式,潜艇所受的流体惯性类水动力FI和力矩MI为,将各惯性力（矩）在动系上进行投影得：

则作用于艇体的流体惯性力般式为：

三、潜艇所受的粘性水动力,前一讲介绍了两个平面运动中所受的线性和非线性粘性类水动力。

对于空间运动来讲，再补充以下受力情况。

（一）横摇运动时角速度p所引起的水动力,潜艇在直航中迭加横倾角速度p,潜艇的瞬间运动犹如是个螺旋运动。

该运动对于主艇体的影响是引起了横倾阻尼力矩；对于指挥室围壳、舵和稳定翼等附体，将改变它们的局部攻角从而引起附加水动力，这些附加水动力也将构成部分横倾阻尼力矩。

由于p引起的横倾阻尼力矩可分成线性项和非线性。

如果直航时相对于随体的流动存在不对称性，还有零力矩。

故有,另外，由于艇体上下不对称，p引起的附加水动力除了产生横倾阻尼力矩外，还导致其它坐标轴方向上的力和力矩Y（p）、Z（p）和N（p）、M（p），并且Y（p）和N（p）是p的奇函数，Z（p）和M（p）是p的偶函数。

其中Z（p）和M（p）要比Y（p）和N（p）小得多，通常忽略，并可表示成：

（二）两个平面运动之间的相互影响,由于艇形左右对称，故垂直面运动参数只引起，而不会产生Y、N、K力。

但因为艇形上下不对称，水平面运动参数v、r不只引起Y（v，r）、N（v，r），而且还会产生Z（v，r）、M（v，r）和K（v，r）。

Z、M为偶函数，该项就是水平面回转运动引起的垂直面的艇重（下沉力）和尾重（尾倾力矩）；而K（v,r）是奇函数。

它们可写成：

（三）其它耦合系数,当艇以、作斜侧直航，水动力中将出现vw交叉耦合影响，攻角的存在，将使Y（v）产生附加水动力，这部分即是vw的耦合力，即:

同理，凡w对以及v对的非线性耦合系数，都可以用相同方法予以合并简化。

关于侧向速度v、w和角速度p、q、r或两种角速度pq、pr、qr的耦合运动，由此引起的耦合水动力系数，除了前面刚介绍的各项粘性力外，还由于艇体对称性缘故而为零，或由于其值很小而略去的项。

（四）空间运动时的舵力,（注：

这里方向舵角添加了下标，即r）,对各种剖面的舵已发表了很多水动力试验资料，可查阅有关手册选用。

-舵的升力系数,-舵的阻力系数,-垂直于水流方向的升力,-沿水流方向的阻力,-海水的密度,-潜水器的运动速度,-舵面积,（五）螺旋桨推力,空间运动时的螺旋桨推力，作为一种近似，不考虑斜流对于轴向推力的影响及斜流引起的侧向推力分量和螺旋桨扭矩。

于是，可用水平面运动的推力表达式，即,试验设备,试验过程描述,试验设备,试验设备,测定试验结果及其分析,1.5.3潜艇六自由度空间动力学方程式,在1967年泰勒海军舰船研究和发展中心发表了格特勒等的用于潜艇模拟研究的标准运动方程。

下面所要介绍的六自由度空间运动方程是以上述标准方程为基础，主要省略了螺旋桨负荷的影响，即认为潜艇机动过程中桨的负荷不变，进程比也不变，JJc或，Jc/J1。

同时设动坐标系的原点O与艇的重心G重合，由此得如下入自由度空间运动方程：

轴向力方程：

其中，,为螺旋桨的推力。

侧向力方程：

垂向力方程：

横摇力矩方程：

纵倾力矩方程：

偏航力矩方程：

其运动关系式为,标准运动方程的特点,舶船操纵运动方程的形式在很大程度上依赖于水动力的试验方法和表达方式，而对水动力的了解和掌握的程度决定了可能采用的操纵运动方程。

1967年发表的格持勒等的潜艇标准运动方程，进一步统一了潜艇运动方程的坐标系、符号以及水动力的表达形式。

方程中的水动力主要是通过以PMM为主，辅之以旋臂装置测定的，非线性水动力系数均以二阶项表示。

同时以（-1）的形式考虑了潜艇在机动过程中，由于螺旋桨负荷和航速的变化对艇体及舵的水动力的影响，其中,当螺旋桨的转速n恒定不变时，JcJ。

而在实船自航点时，VVc,nnc，则-10，其中nc、Vc为指令转速和航速。

该方程主要用于实时模拟，故方程是以有因次形式给出。

由于该方程是建立在大量船模试验（拘束船模和自航船模）、占有大量实艇试航资料的基础上，并是带有官方性质的机构发布的，因此具有很高的权威。

费尔德曼1975年根据对计算机模拟预报和实艇试验结果的相关性分析指出，利用标准运动方程及其相应的系数，在大多数情况下，可以对潜艇水下前进运动的轨迹作出精确的预报，与实艇试验结果吻合的很好，重复性也好。

然而，在高速、大舵角回转中，对深度改变、纵倾角和横倾角的预报尚须改进。

潜艇在空间的位置取决于动坐标系原点在定系中的三个坐标分量以及动系对于定系的三个姿态角。

可得坐标系变换关系式：

或,小结,潜艇六自由度运动的一般方程,1.静力,2.潜艇所受的流体惯性力,3.潜艇所受的粘性水动力,4.空间运动时的舵力,5.螺旋桨推力,方程组左面：

潜艇六自由度空间动力学方程式,轴向力方程：

惯性力：

粘性力,舵力,静力,螺旋桨推力,舵力,螺旋桨推力,加速度,速度,位移,舵力,螺旋桨推力,习题：

对于任意形状物体有36个附加质量。

对于潜艇来说，若艇体对称于x0z面，艇体上下大体对称，附加质量中哪些项为？

最终剩余哪些项？

独立的量有哪些？

考虑艇体形状因素：

艇体对称于xoz平面，加速运动不会产生Y、N、K方向的流体惯性力（矩）,因而所有i+j奇数的18个系数全为零；艇体上下大体对称，故系数13、15数值甚小可略去。

计及ijji，表示流体惯性力的36个附加质量系数仅保留14个元素，其中10个是独立的量。

此时作用于潜艇的流体惯性力则为：

习题：

推导作用于艇体的流体惯性力般式。

二潜艇所受的流体惯性力,任意形状的刚体在无边际理想流体中运动时，流体扰动运动的动能表示为：

展开后得：

考虑艇体形状因素：

艇体对称于xoz平面，加速运动不会产生Y、N、K方向的流体惯性力（矩）,因而所有i+j奇数的18个系数全为零；艇体上下大体对称，故系数13、15数值甚小可略去。

计及ijji，表示流体惯性力的36个附加质量系数仅保留14个元素，其中10个是独立的量。

此时作用于潜艇的流体惯性力则为：

流体扰动运动的动量Bi及与动能T有关系,将动能表达式代入，并求取流体的动量、动量矩在动系上的投影式,潜艇所受的流体惯性类水动力FI和力矩MI为,将各惯性力（矩）在动系上进行投影得：

则作用于艇体的流体惯性力般式为：

习题：

推导潜艇空间运动中X,Y,Z三个自由度的一般方程（重心与动系坐标原点不重合）。

一、质点的线速度,设潜艇的重心G与动系原点O不重合，把重心看成作般运动的刚体上的一点Si（x,y,z），由速度合成定理可知，该点（Si）相对于地球（即定系）的运动速度矢量Vi（即绝对速度）可写成Vi=V0+Ri,式中，V0动系原点O相对于定系的速度，即质点Si（有时是指潜艇重心G点）的牵连速度。

质点Si绕O点的转动角速度。

在同一瞬时，潜艇上各点的转动角速度为常数，因为这里视艇体为刚体。

Ri质点Si相对于O点的矢径，且有Ri=xi+yj+zk。

用分量形式改写成,其中O点分别沿轴的速度分量：

Si点分别绕轴的角速度分量；在动系轴方向的单位矢量，,经整理可得：

Vi=V0+Ri,二、质点的加速度,由于i、j、k是动系坐标抽上的单位矢量，其模是常数，其方向随时间而变化。

当动系以角速度转动时，根据矢量导数的法则有：

将速度表达式对时间求导得,

（二）潜艇六自由度运动的一般方程式,由动量定理可知，当潜艇（刚体）的动量B用质量m和质心速度VG的乘积表示，即,设作用于潜艇的外力为F，则有,将速度表达式代入得,即是质心运动定理，,因为：

上式即是重心G与动系原点O不重合时，质心运动定理在动系上的表示式。

它表示作用于刚体的外力与运动参数之间的关系，也称为力的方程式。

所以：