数值分析简明教程课后习题答案.doc
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0.1算法
1、（p.11，题1）用二分法求方程在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.
【解】 由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分9次.求解过程见下表。
符号
0
1
2
1.5
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2、（p.11，题2）证明方程在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过。
【解】 由于，则在区间[0,1]上连续，且，，即，由连续函数的介值定理知，在区间[0,1]上至少有一个零点.
又，即在区间[0,1]上是单调的，故在区间[0,1]内有唯一实根.
由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分7次.求解过程见下表。
符号
0
0
1
0.5
1
2
3
4
5
6
7
0.2误差
1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值，，x2=2.71，各有几位有效数字？
并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：
因为，所以有两位有效数字；
因为，所以亦有两位有效数字；
因为，所以有四位有效数字；
；
；
。
评
（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；
（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.
2．（p.12，题9）设，，均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。
【解】 ，；
，；
，；
评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.
3．（p.12，题10）已知，，的绝对误差限均为，问它们各有几位有效数字？
【解】 由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起，故，有三位；有一位；而，也是有一位。
1.1泰勒插值和拉格朗日插值
1、（p.54，习题1）求作在节点的5次泰勒插值多项式，并计算和估计插值误差，最后将有效数值与精确解进行比较。
【解】由，求得；；；；；，所以
插值误差：
，若，则
，而，精度到小数点后5位，
故取，与精确值相比较，在插值误差的精度内完全吻合！
2、（p.55，题12）给定节点，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：
（1）；
（2）
【解】依题意，，拉格朗日余项公式为
（1）→；
（2）因为，所以
3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估计误差。
0
1
2
0.32
0.34
0.36
0.314567
0.333487
0.352274
【解】依题意，，拉格朗日余项公式为
（1）线性插值
因为在节点和之间，先估计误差
；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。
（2）抛物线插值
插值误差：
抛物线插值公式为：
经四舍五入后得：
，与精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！
1.3分段插值与样条函数
1、（p.56，习题33）设分段多项式
是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.
【解】依题意，要求S（x）在x=1节点
函数值连续：
，
即：
一阶导数连续：
，
即：
解方程组
（1）和
（2），得，即
由于，所以S（x）在x=1节点的二阶导数亦连续。
2、已知函数的一组数据，和，
（1）求其分段线性插值函数；
（2）计算的近似值，并根据余项表达式估计误差。
【解】
（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为，利用拉格朗日线性插值公式，求得
；
（2），而 ，实际误差为：
。
由,可知，则余项表达式
1.4曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
【解】 构造残差平方和函数如下：
，
分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：
：
，
：
，
解方程组
（1）和
（2），得
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如的多项式，使之与下列数据相拟合。
【解】令，则为线性拟合，根据公式（p.39,公式43），取m=2，a1=0，N=5，求得
；
依据上式中的求和项，列出下表
xi
yi
Xi（=xi2）
Xi2（=xi4）
Xiyi（=xi2yi）
19
19
361
130321
6859
25
32.3
625
390625
20187.5
31
49
961
923521
47089
38
73.3
1444
2085136
105845.2
44
97.8
1936
3748096
189340.8
∑
157
271.4
5327
7277699
369321.5
将所求得的系数代入方程组
（1）和
（2），得
；
；
即：
。
2.1机械求积和插值求积
1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：
；
；
。
【解】
（1）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：
，即：
，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式
（1）具有3次代数精度。
（2）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：
，即：
，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式
（2）具有3次代数精度。
（3）令时等式精确成立，可解得：
即：
，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
2、（p.95，习题6）给定求积节点试构造计算积分的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。
【解】依题意，先求插值求积系数：
；
；
插值求积公式：
①当，左边=；右边=；左=右；
②当，左边=；右边=；左=右；
③当，左边=；右边=；左≠右；
故该插值求积公式具有一次代数精度。
2.2梯形公式和Simpson公式
1、（p.95，习题9）设已给出的数据表，
x
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
f（x）
1.00000
1.65534
1.55152
1.06666
0.72159
分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分的近似值。
【解】
（1）用复化梯形法：
（2）用复化辛普生法：
2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分，为使截断误差不超过，问应当划分区间【0,1】为多少等分？
如果改用复化辛普生法呢？
【解】
（1）用复化梯形法，，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：
；
依题意，要求，即
，可取。
（2）用复化辛普生法，，截断误差表达式为：
；
依题意，要求，即
，可取，划分8等分。
2.3数值微分
1、（p.96，习题24）导出三点公式（51）、（52）和（53）的余项表达式
【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为
由三点公式（51）、（52）和（53）可知，，则
2、（p.96，习题25）设已给出的数据表，
x
1.0
1.1
1.2
f（x）
0.2500
0.2268
0.2066
试用三点公式计算的值，并估计误差。
【解】已知，用三点公式计算微商：
，
用余项表达式计算误差
3、（p.96，习题26）设，分别取步长，用中点公式（52）计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。
【解】中心差商公式：
，截断误差：
。
可见步长h越小，截断误差亦越小。
（1）,则
；
（2）,则
（3）,则
而精确值，可见当时得到的误差最小。
在时反而误差增大的原因是与很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。
因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。
3.1Euler格式
1、（p.124，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式
，，取；
，，取；
【解】
（1）；
（2）。
2、（p.124，题2）取，用欧拉方法求解初值问题，。
【解】欧拉格式：
；化简后，，计算结果见下表。
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2
0.4
0.6
yn
1.0
0.8
0.6144
0.4613
3、（p.124，题3）取，用欧拉方法求解初值问题，。
并与精确解比较计算结果。
【解】欧拉格式：
；化简后，，计算结果见下表。
1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。
【解】 因为，，且，则改进的欧拉公式：
。
计算结果见下表。
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2
0.4
0.6
yp
1.0
0.6730
0.5147
0.3941
yc
0.76
0.7092
0.5564
0.4319
yn
0.88
0.6911
0.5356
0.413
与原结果比较见下表
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2
0.4
0.6
yn
1.0
0.8
0.6144
0.4613
yn（改进）
0.88
0.6911
0.5356
0.413
3.3龙格-库塔方法
1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题，，试取步长计算的近似值，要求小数点后保留4位数字。
【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：
；
列表求得如下：
n
xn
yn
0
0.0
2.000
1
0.2
2.3004
2
0.4
2.4654
4.1迭代法及收敛定理
1、（p.153，题1）试取，用迭代公式，求方程的根，要求准确到。
【解】 迭代计算结果列于下表
k
xk
|xk-xk-1|
<0.001
k
xk
|xk-xk-1|
<0.001
1
1.53846
0.53846
N
6
1.36593
0.00937
N
2
1.29502
0.24344
N
7
1.37009
0.00416
N
3
1.40182
0.10680
N
8
1.36824
0.00185
N
4
1.35421
0.04761
N
9
1.36906
0.00082
Y
5
1.37530
0.02109
N
因为，所以。
2、（p.153，题2）证明方程有且仅有一实根。
试确定这样的区间，使迭代过程对均收敛。
【证明】设：
，则当时，，且一阶导数连续，，所以迭代过程对均收敛。
（压缩映像定理），方程有且仅有一实根。
<证毕>
3、（p.153，题4）证明迭代过程对任意初值均收敛于。
【证明】设：
，对于任意，因为，所以。
一阶导数，根据压缩映像定理，迭代公式对任意初值均收敛。
假设，对迭代式两边取极限，则有，则，解得，因不在范围内，须舍去。
故。
<证毕>
4.2牛顿迭代法
1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：
（1），
（2），
【解】
（1）设，则，牛顿迭代公式：
，迭代计算过程见下列表。
k
xk
|xk-xk-1|
<0.0001
k
xk
|xk-xk-1|
<0.0001
1
1.88889
0.11111
N
3
1.87939
0.00006
Y
2
1.87945
0.00944
N
因为，所以。
（2）设，则，牛顿迭代公式：
，迭代计算过程见下列表。
k
xk
|xk-xk-1|
<0.0001
k
xk
|xk-xk-1|
<0.001
1
0.26894
0.73106
N
3
0.25753
0.00014
N
2
0.25739
0.01155
N
4
0.25753
0.00000
Y
因为，所以。
2、（p.154，题18）应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。
【证明】
（1）设：
，则，对任意，牛顿迭代公式
（2）由以上迭代公式，有：
。
设
；；。
，可见该迭代公式具有二阶收敛性。
<证毕>
5.1线性方程组迭代公式
1、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：
，要求结果有3位有效数字。
【解】 雅可比迭代公式：
，迭代计算结果列于下表。
?
0
0
0
-
-
1
2/3
1/2
2/3
1/2
N
2
1/2
1/6
1/6
1/3
N
3
11/18
1/4
1/9
1/12
N
4
7/12
7/36
1/36
1/18
N
5
0.60185
0.20833
0.01852
0.01389
N
6
0.59722
0.19908
0.00463
0.00925
N
7
0.60031
0.20139
0.00309
0.00231
N
8
0.59954
0.19985
0.00077
0.00154
N
9
0.60005
0.20023
0.00051
0.00038
N
10
0.59992
0.19998
0.00003
0.00025
Y
；
由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为。
高斯-赛德尔迭代公式：
，迭代计算结果列于下表。
?
0
0
0
-
-
1
2/3
1/6
2/3
1/6
N
2
0.6111
0.1944
N
3
0.6019
0.1991
0.0092
0.0047
N
4
0.6003
0.1999
0.0016
0.0008
N
5
0.6000
0.1999
0.0003
0.0000
Y
；
2、（p.171，题7）取，用松弛法求解下列方程组，要求精度为。
【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：
引入松弛因子，得
将方程组
（1）代入
（2），并化简
计算结果见下表。
?
0
0
0
0
-
-
-
-
1
5
2.5
-3.125
5
2.5
3.125
N
2
1.40625
2.65625
-2.14844
N
3
2.15820
3.03223
-2.28882
N
4
1.61173
3.15872
-2.19860
N
5
1.63577
3.24423
-2.19187
N
6
1.54959
3.28508
-2.17800
N
7
1.53284
3.30793
-2.17320
N
8
1.51561
3.31978
-2.17001
N
9
1.50880
3.32615
-2.16847
N
0
1.50453
3.32951
-2.16762
N
1
1.50245
3.33130
-2.16717
N
2
1.50129
3.33225
-2.16694
N
3
1.50069
3.33276
-2.16672
N
4
1.50037
3.33306
-2.16676
N
5
1.50016
3.33318
-2.16670
N
6
1.50010
3.33325
-2.16668
N
7
1.50005
3.33329
-2.16668
0.00005
0.00004
0.00000
Y
迭代解：
精确解：
5.1线性方程组迭代公式
1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。
【解】
（1）雅可比迭代公式：
（1）
，，迭代收敛。
（2）高斯-赛德尔迭代公式：
（2）
将方程组
（1）带入
（2），经化简后，得：
（3）
，，迭代收敛。
2、（p.171，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：
（1）
（2）
【解】
（1）雅可比迭代：
，,不收敛。
高斯-赛德尔迭代：
或，,不收敛。
（2）雅可比迭代：
，,不收敛。
高斯-赛德尔迭代：
或
不收敛。
3、（p.171，题6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程的收敛性。
【解】加工后结果如下：
（1）
（2）
方程组
（1）的雅可比迭代：
，，迭代收敛。
方程组
（1）的高斯-赛德尔迭代：
，，迭代收敛。
方程组
（2）的雅可比迭代：
，，迭代收敛。
方程组
（1）的高斯-赛德尔迭代：
，，迭代收敛。
6.1高斯消元法
1、（p.198，题2）用选列主元高斯消元法求解下列方程组：
（1）
（2）
【解】
（1）
所以：
，,.
（2）
所以：
，,.
2、（p.199，题9）计算下列三阶坡度阵的条件数：
（1）。
【解】令：
，先求A-1。
，所以
最后求得条件数为：
.
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