通信工程应用数学习题答案王国才.doc
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《通信工程应用数学》参考答案
作者：
王国才董健雷文太
第1章整数
1、解：
32进制数的计数单元为0，1，....，31，依次分别用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U表示，则10进制数65533表示为1UUR
2、提示：
10a=9a+1a，1000b=999b+1b
3、
解：
（1）
18*18=324324-319=5
19*19=361361-319=42
20*20=400400-319=81=9*9
319=400-81=（20+9）（20-9）=29×11
（2）
K=2885k*k=8323225k*k-8323199=26非平方整数
K=2886k*k=8328996k*k-8323199=5797非平方整数
k=2887k*k=8334769t=11570非平方整数
k=2888k*k=8340544t=17345非平方整数
......
8323199=（32832+32705）（32832-32705）=65537*127
建议编程序计算。
（3）
k=29k*k=841t=36=6*6
k=29i=6
k+i=35k-i=23
k=6k*k=36t=1=1*1
k=6i=1
k+i=7k-i=5
805=5*7*23
4、用辗转相除法计算gcd（35,8）。
解：
由35=4×8+3
8=2×3+2
3=1×2+1
得到gcd（35,8）=1
5、找出5个连续自然数，每个数都是合数。
提示：
2×3×4×5×6+2，2×3×4×5×6+3，2×3×4×5×6+4，2×3×4×5×6+5，2×3×4×5×6+6
722，723，724，725，726
6、证明：
设是素数，为任意整数，则。
提示：
分>=P与分不整除时用欧拉定理。
7、证明：
型质数有无穷多个。
（提示：
用费尔马小定理）
证若只有有限个型质数，设它们是.考虑数=的质因子p
由于为奇质数，若≡1（mod4）不成立，则，可设，此时，由得
而由费尔马小定理，应有
结合上式将导出.矛盾.
所以，
而p不同于，与假设矛盾。
即存在无穷多个k+型的正整数为质数.
8、
提示91=13*7=（12+1）（6+1）
a12=1mod13,a12=a6*2=1mod7
9、解：
（1）7-MOD32=23
（2）9-MOD32=25
10、解：
x=47mod70
11、解：
523mod187==180
12、检验65537的素性。
解：
采用M-R概率测试法，以测试一次为例，比如选b=3.
（1）n-1=65537-1=216S=16,r=1
（2）y=3modn
（3）j=1
（4）y=3*3modn=9,j=j+1=2
（5）y=9*9modn=81,j=j+1=3
（6）y=81*81modn=6561,j=j+1=4
（7）y=6561*6561modn=43046721=54449,j=j+1=5
（8）y=61869j=6
（9）y=19139j=7
（10）y=15028j=8
（11）y=282j=9
（12）y=13987j=10
（13）y=8224j=11
（14）y=65529j=12
（15）y=64j=13
（16）y=4096j=14
（17）y=65281j=15
（18）y=65536j=16=s通过测试
13、验证，F={0,1,2,3,4,5,6},关于对模7的求和运算“+”，及乘积“*”构成域。
按域的定义验证，
对“+”，封闭性、单位元0、负元存在且唯一
对“*”，封闭性、单位元1、逆存在且唯一
整数对模7的求和运算“+”，及乘积“*”对分配律、结合律成立
14、解：
二进制形式11110101
也可以通过编程进行计算。
15.验证3是19的本原元。
提示：
当次数不等时，模幂也不相等。
16.
提示：
设欲传送的信息对应的多项式M（x）；设G（x）=CRC-8，设此传送的信息的CRC码对应的多项式为R（x），即存在p（x）,使得
x8M（x）=p（x）G（x）+R（x）
对于接收方来说，设接收到的信息对应的多项式为N（x）,若正确，则有
N（x）=x8M（x）+R（x）=p（x）G（x）
因为接收的信息对应的多项式N（x）有2位出错，不妨记为第i+1位和第i+j+1位，j>0,此时N（x）=x8M（x）+R（x）+xi+xi+j,
N（x）=p（x）G（x）+xi+xi+j
第2章关系与函数
1．计算下面的集合
a）Φ b）{Φ} c）{{Φ}}
d）{Φ} e）{Φ}
2.A1×A2×A3=×A4×A5×A6={x1,x2,x3,x4,x5,x6|
X1是学号，x2是姓名,x3={男,女}，x4是出生日期，x5是班级,x6是籍贯}
={学号，姓名,{男,女}，出生日期，班级,籍贯}
4．等价关系:
⑶Ｒ＝{｜10｜（a-b）}；
⑷Ｒ＝{｜|a-b|≤10}；
⑸Ｒ＝{｜ab≠0}；
⑹Ｒ＝{｜ab≥0}；
⑺Ｒ＝{｜ab＞0}；
⑻Ｒ＝{｜ab＞0}∪{<0,0>}；
⑼Ｒ＝{｜（a≤0∧b＞0）∨（a＞0∧b≤0）}；
⑽Ｒ＝{｜（a≤0∧b≥0）∨（a≥0∧b≤0）}。
5．设Ａ={3,6,9,15,54,90,135,180}，｜为自然数的整除关系。
画出<Ａ;｜>的Ｈasse图，并求{6,15,90}的上、下确界。
6．h
第3章复变函数论
1、三角形式：
指数形式：
2、提示：
先证明对实数结论成立
3、提示：
用指数形式
4、或
5、
（1）
（2）
（3）是整数）
6、除原点与负实轴外处处解析，且
，对每个固定的均成立.
7、
8、
（1）
（2）
9、
（1）0
（2）
（3）
10、3-3i
11、
（1）收敛于0
（2）发散
12、
（1）0
（2）1/2
第4章数学变换
1.提示：
用定义
2.
3.解
4.
解：
，
5.
提示：
用傅里叶变换的性质
6.
7.
由
于是=
8.
（a），
（b），
另一种解法序列与下标关联。
9.原函数
10.提示
11.：
解（a）
，
（b）=
（c）
第5章图与网络分析
1：
链:
{v1,（v1,v2）,v2,（v2,v3）,v3}
路:
{v1,（v1,v2）,v2,（v2,v3）,v3}
圈:
{v1,（v1,v2）,v2,（v2,v3）,v3,（v3,v1），v1}
回路:
{v1,（v1,v2）,v2,（v2,v3）,v3,（v3,v1），v1}
2解：
采用链路赤字法。
设7个节点分别为A,B,C,D,E,F,G，对每个节点赋予一个链路赤字4，记为赤字向量V=（4，4，4，4，4，4，4）
连接AB,V=（3，3，4，4，4，4，4）
连接CD,V=（3，3，3，3，4，4，4）
连接EF,V=（3，3，3，3，3,3，4）
连接AG,V=（2，3，3，3，3,3,3）
连接BC,V=（2，2，2，3，3,3,3）
连接DE,V=（2，2，2，2，2,3,3）
连接FG,V=（2，2，2，2，2,2,2）
连接AB,V=（1，1，2，2，2,2,2）
连接CD,V=（1，1，1，1，2,2,2）
连接EF,V=（1，1，1，1，1,1,2）
连接AG,V=（0，1，1，1，1,1,1）
连接BC,V=（0，0，0，1，1,1,1）
连接DE,V=（0，0，0，0，0,1,1）
连接FG,V=（0，0，0，0,0,0,0）
拓扑结构图略
3提示，用定理5.3.2和定理5.3.1
4：
比如，权都为1的顶点数为5的圈。
5：
证设G=G（V,E）,
图的连通度为，，G的任一顶点所在割集中至少有k个顶点，所以，G的任一顶点至少有k条边与其他顶点连接，故。
G的任一顶点至少有k条边与其他顶点连接，图G的总度数至少为kn,而每条边需要占用2个度，故中至少有条边。
6：
边的选择及一种顺序A-S,A-B,B-C,B-E,E-D,D-T
7：
B-E-F-H
8：
0-1-4-3-7
0-2-4-3-7
第6章随机过程
1：
随机过程是所有样本函数的集合，是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
特点：
1、不能用确切的时间函数描述
2、具有随机性，每个样本函数都是一个确定的数值，但是都不可预知。
2：
1，2
3、
（1）经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为：
故
（2）
（3）因为输入的是高斯噪声，所以输出的仍为高斯噪声。
又：
，所以，
故输出噪声的一维概率密度为：
4、
（1）
利用x（t）和y（t）独立的性质：
（2）
仍然利用x（t）和y（t）独立的性质：
5：
（1）输入过程的功率谱密度为
RC低通滤波器的传输函数为：
所以输出过程的功率谱密度为：
其自相关函数
（2）因为输入信号时高斯噪声，根据随机过程通过线性系统的特性，其输出仍然是高斯噪声。
6：
（1）
由上面分析可知：
输出过程的期望为常数，与t无关；自相关函数只与时间间隔有关；所以输出也平稳。
（2）功率谱密度和自相关函数是一对傅里叶变换对；
7：
第7章伪随机序列
1、解：
2、解：
∴
3、解：
4、答：
随机序列的产生方法有乘加同余方法、蒙特卡洛方法及随机数表法。
5、答：
3m序列的特性有均衡性、游程特性、封闭特性、周期性、伪随机性及自相关特性。
6、在中，它们均为本原多项式。
（1）均衡性：
，。
（2）游程总数为4，其中：
游程长度为;游程长度为；游程长度为个，满足：
（3）封闭性：
，显然是移位三位后所得的序列，也是移位两位后所得的序列，也是移位一位所得的序列
（4）自相关特性
7、M序列长度l=223
8、
（1）N=2^5-1=31素数，是
（2）N=2^4-1=15非素数，否
（3）N=2^3-1=7素数，是
（4）N=2^3-1=7素数，是
9、八级线性反馈移位寄存器，n=8,则
游程总数=2n-1=27=128个
长度为1的游程总数=27/21=64个
长度为2的游程总数=27/22=32个
长度为3的游程总数=27/23=16个
长度为4的游程总数=27/24=8个
长度为5的游程总数=27/25=4个
长度为6的游程总数=27/26=2个
长度为7的游程总数=27/27=1个
长度为8的游程总数=27-64-32-16-8-4-2-1=1个
10、
第8章排队论
1、解M／M／1：
顾客到达间隔服从指数分布，服务时间服从负指数分布，单个服务台，单队，队长无限，先到先服务的排队系统。
2、解平均等待时间=平均逗留时间－平均服务时间
3、解根据题意有：
顾客损失率：
平均有效到达率：
人/h
繁忙率：
空闲率：
平均顾客数：
辆
平均队长：
辆
平均逗留时间：
平均等待时间：
4、不合算
5、
（1）呼叫损失率，
（2）外线的利用率即通话率即为繁忙率，
（3）S=5
6、每小时2人时比较好
7、服务强度（繁忙率）
空闲率：
=
平均队长：
0.1
平均顾客数：
=0.1+0.75=0.85
平均逗留时间：
=0.85/3=17/60=0.283
平均等待时间：
=0.1/3=0.033
顾客逗留时间，
8、参看教材例子
9、未必
第9章
1、解：
直角坐标系中，设，，则
，从而。
圆柱坐标系中，设，，则
，根据圆柱坐标系和直角坐标系的转换关系，从而。
球坐标系中，。
2、解：
方向矢量，其方向余弦分别为：
；；。
根据方向导数的定义，则有
。
3、解：
将代入，可得
4、解：
圆柱坐标系中，旋度计算公式为
5、解：
绘制该正方形如下图所示。
z
x
y
2
2
o
则矢量沿该回路的线积分可以表示为
再求对此回路包围的表面积分，如上图所示的回路，则该回路包围的表面的法向为方向，从而
因该正方形回路位于平面上，即。
因此，对此回路包围的表面积分可表示为
即。
如果设置积分路径为顺时针方向，则该积分路径包围的表面的法向方向为方向，同样可得。
从而，验证了斯托克斯定理。
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