年考研数一真题及答案解析(完整版).doc
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2015年考研数学
（一）试题解析
一、选择题:
18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】（C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）.
（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，，从而原方程变为，再将特解代入得.故选（A）
（3）若级数条件收敛，则与依次为幂级数的（）
（A）收敛点，收敛点
（B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点
（D）发散点，发散点
【答案】（B）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.
【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）.
（4）设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（B）
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出D的图形，
所以，
故选（B）
（5）设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（D）
【解析】，
由，故或，同时或.故选（D）
（6）设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（A）
【解析】由，故.
且.
由已知可得:
故有
所以.选（A）
（7）若A,B为任意两个随机事件，则（）
（A）（B）
（C）（D）
【答案】（C）
【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选（C）.
（8）设随机变量不相关，且，则（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】（D）
【解析】
，选（D）.
二、填空题：
914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
【答案】
【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.
【解析】方法一：
方法二：
（10）
【答案】
【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
【解析】
（11）若函数由方程确定，则
【答案】
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令，则
又当时，即.
所以，因而
（12）设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则
【答案】
【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.
【解析】由轮换对称性，得
，
其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以
（13）阶行列式
【答案】
【解析】按第一行展开得
（14）设二维随机变量服从正态分布，则
【答案】
【解析】由题设知，，而且相互独立，从而
.
三、解答题：
15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.
【答案】
【解析】法一：
原式
即
法二：
因为分子的极限为0，则
，分子的极限为0，
，
（16）（本题满分10分）设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.
【答案】.
【解析】设在点处的切线方程为：
令，得到，
故由题意，，即，可以转化为一阶微分方程，
即，可分离变量得到通解为：
，
已知，得到，因此；
即.
（17）（本题满分10分）
已知函数，曲线C：
，求在曲线C上的最大方向导数.
【答案】3
【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.
，
故，模为，
此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值.
构造函数：
，得到.
所以最大值为.
（18）（本题满分10分）
（I）设函数可导，利用导数定义证明
（II）设函数可导，，写出的求导公式.
【解析】（I）
（II）由题意得
（19）（本题满分10分）
已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.
【答案】
【解析】由题意假设参数方程，
（20）（本题满11分）
设向量组内的一个基，，，.
（I）证明向量组为的一个基;
（II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.
【答案】
【解析】（I）证明：
故为的一个基.
（II）由题意知，
即
即
即，得k=0
（21）（本题满分11分）
设矩阵相似于矩阵.
（I）求的值；
（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵..
【解析】（I）
（II）
的特征值
时的基础解系为
时的基础解系为
A的特征值
令，
（22）（本题满分11分）设随机变量的概率密度为
对进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记为观测次数.
（I）求的概率分布;
（II）求
【解析】（I）记为观测值大于3的概率，则，
从而，
为的概率分布；
（II）法一:
分解法:
将随机变量分解成两个过程,其中表示从到次试验观测值大于首次发生，表示从次到第试验观测值大于首次发生.
则，（注：
Ge表示几何分布）
所以.
法二:
直接计算
记，则，
，
，
所以，
从而.
（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为：
其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.
（I）求的矩估计量.
（II）求的最大似然估计量.
【解析】（I），
令，即，解得为的矩估计量；
（II）似然函数，
当时，，则.
从而，关于单调增加，
所以为的最大似然估计量.
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