点线面的投影.ppt
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第三章点、直线、平面的投影,第一节点的投影,第二节直线的投影,第四节平面的投影,第三节两直线的相对位置,第一节点的投影,点在两投影面体系中的投影,构成:
立体面边点,讲解顺序:
点线面体,点的单面投影:
不能唯一确定空间点,一两面投影体系,H,V,H与V相交OX投影轴,垂直相交,3,一点的两面投影,二点的两面投影,V,O,A,a,a,X,aX,4,点的两面投影规律:
(1)点的两投影连线垂直于投影轴,即aaox;
(2)点的投影到投影轴的距离,等于该点到相邻投影面的距离,即:
aax=Aaaax=Aa,用两面投影是否均能唯一确定空间形体?
不能,5,一三面投影体系,Y,Z,a,水平投影面H正立投影面V侧立投影面W,H与V相交OX投影轴H与W相交OY投影轴V与W相交OZ投影轴,6,7,a,a,a,二点的三面投影,o,x,z,垂直关系,相等关系,投影特性:
1.aaz=aay=xaaz=aax=yaax=aay=z,三投影面体系中点的投影规律,2.aaoxaaoz,点在三投影面体系中的投影,规定:
空间点A用大写字母表示,在H面的投影a,在V面的投影用a,在W面的投影用a表示。
例题1已知点A的正面与侧面投影,求点A的水平投影。
已知点A的正面投影和侧面投影,求其水平投影。
注:
这是二求三问题的基础。
a,8,例题2,9,投影面坐标面投影轴坐标轴轴的交点O坐标原点,y,Aa=XaAa=YaAa=Za,距离的关系:
w,X,O,Z,Y,w,a,X,H,Y,H,Y,a,例题3已知点A的坐标(20,10,20),求的三面投影。
a,10,已知A(35,10,25),作出其三面投影图。
35,a,a,注:
一个投影点反映两个坐标。
两个投影点确定一个空间点。
例题3,12,a,Cc,例题4,已知A、C两点的投影图,作出其立体图,并判别各点的空间位置。
c,c,A,X轴,Y轴,特殊点的投影,13,A,一两点的相对位置关系,两点的相对位置,两点中X值大的点在左两点中Y值大的点在前两点中Z值大的点在上,14,二重影点的概念,A与B对H面重影,由V投影判断高低,不可见投影点的标记加括号,重影点的可见性判断,例题5已知点的坐标值为:
A(20,10,15)和B(0,15,20)求它们的三面投影图。
解:
(1)量取坐标值;,a,a,a,b,b,b,
(2)作点的投影。
例题6已知各点的两面投影,求作其第三投影,并判断点对投影面的相对位置。
点A的三个坐标值均不为0,A为一般位置。
点B的Z坐标为0,故点B为H面上的点。
点C的x、y坐标为0,故点C为z轴上的点。
a,b,c,例题7已知点D的三面投影,点C在点D的正前方15mm,求作点C的三面投影,并判别其投影的可见性。
解:
由已知条件知:
XC=XDZC=ZDYC-YD=15mm因为点C、D在V面上的投影重影。
c,c,c,又因为YCYD所以C的V面投影为可见点,则D的V面投影为不可见点。
(),例题8已知A点在B点之前5毫米,之上9毫米,之右8毫米,求A点的投影。
11,已知A、B、C三点的投影图,作出其立体图,并判别各点的空间位置。
空间,H面,V面,c,a,b,b,a,a,c,例题9,直线的投影直线上的点各种位置直线的投影特性线段的实长及倾角,第二节直线的投影,2,直线的投影特性,显实,积聚,类似,1.直线平行于投影面,其投影反映实长。
2.直线垂直于投影面,其投影积聚成点。
3.直线倾斜于投影面,其投影长度缩短。
3,直线的投影图,作图:
1.作出直线上两点的投影2.用直线分别连接其各同面投影。
直线上的点具有两个特性:
1从属性若点在直线上,则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
利用这一特性,在不作侧面投影的情况下,可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。
例题2例题3例题4,二直线上的点,10,a,e,f,b,例1,E点在AB直线上,F点不在AB直线上,判断E、F点是不是在直线AB上。
试判断K点是否在直线EF上。
f,e,e,f,k,k,f,e,f,e,e,f,E,F,K,k,k,k,X,O,直接判断,1,k,2,k,判断K点是否在直线上。
O,X,例题4已知线段AB的投影图,试将AB分成2:
1两段,求分点C的投影。
例题5已知点C在线段AB上,求点C的正面投影。
已知K点在直线AB上,试求作K点的H面投影。
4,三、直线与投影面的相对位置,1.特殊位置直线,投影面的平行线:
平行于一个投影面的直线,投影面的垂直线:
垂直于一个投影面的直线,2.一般位置直线,一般位置直线与各个投影面均倾斜:
其投影均小于实长。
H:
水平线V:
正平线W:
侧平线,三投影面各种位置直线的投影特性,投影面平行线,平行于一个投影面倾斜于另外两个投影面。
平行线分三种:
水平线(/面、倾斜和面),投影特性:
1、正面和侧面投影比实长短,abOX;abOYW2、ab=AB反映实长,倾斜于OX轴,反映、角。
正平线(/面、倾斜和面),投影特性:
1、水平和侧面投影比实长短,abOX;abOZ2、ab=AB反映实长,倾斜于OX轴,反映、角,面侧平线(/面、倾斜和),投影特性:
1、正面和水平投影比实长短,abOZ;abOYH2、ab=AB反映实长,倾斜于OZ轴,反映、角,投影面垂直线,垂直于一个投影面平行于另外两个投影面。
垂直线分三种:
投影特性:
1、水平投影ab积聚成一点2、ab/OZ;ab/OZ;abOX;abOY3、ab=ab=AB反映实长,铅垂线(面、/面、/面),正垂线(面、/面、/面),投影特性:
1、正面投影ab积聚成一点。
2、ab/OY;ab/OY;abOX;abOZ3、ab=ab=AB反映实长。
侧垂线(面、/面、/面),投影特性:
1、侧面投影ab积聚成一点2、ab/OX;ab/OX;abOYH;abOZ3、ab=ab=AB反映实长。
从属于V面的直线,从属于V投影面的铅垂线,从属于OX轴的直线,Z,X,a,b,a,O,YH,YW,a(b),b,一般位置直线,倾斜于三个投影面的直线。
直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角,分别称为该直线对投影面、的倾角,用、表示。
一般位置直线的投影特性,投影特性:
1、ab、ab、ab均小于实长2、ab、ab、ab均倾斜于投影轴3、不反映、实角,直角三角形法求解实长、倾角。
1求直线的实长及对水平投影面的夹角角2求直线的实长及对正面投影面的夹角角3求直线的实长及对侧面投影面的夹角角,一般位置线段的实长及其与投影面的夹角,1求直线的实长及对水平投影面的夹角角,直角三角形法:
距离差,实长,投影,基本作图:
b0,2求直线的实长及对正面投影面的夹角角,|YA-YB|,|YA-YB|,3求直线的实长及对侧面投影面的夹角角,试用直角三角形法确定直线AB的实长及对投影面V的倾角。
例题,a,b,a,b,X,O,投影长度ab,投影长度ab,例题已知线段AB30毫米及其投影ab和a,试求出ab。
a,a,b,例题已知线段的实长AB,求它的水平投影。
第3节两直线的相对位置,一、两直线平行二、两直线相交三、两直线交叉四、两直线垂直,两直线的相对位置,V,a,b,d,c,a,a,b,b,d,c,c,e(f),A,A,A,B,B,B,D,C,C,C,D,E,F,平行两直线,相交两直线,交叉两直线,一两直线平行,5,规则:
若空间两直线平行,则它们的各同名投影平行。
同向、同比例,6,不平行,判断空间两直线是否平行。
平行,X,O,Y,Z,V,f,e,f,e,e,f,C,D,d,c,c,d,d,c,7,E,F,基本作图,8,过已知点A作直线AB平行于已知直线CD。
b,b,二相交两直线,交点K的三面投影符合点的投影规律。
10,基本作图,过已知点作直线与已知直线相交。
11,答案有多少个?
关键问题是什么?
交点。
无数个。
12,答案有多少个?
无数个。
举例,如图所示,作一条与V面相距20mm并与已知直线CD相交的直线AB。
x,d,d,k,k,例:
过C点作水平线CD与AB相交。
先作CD的正面投影,三交叉两直线,空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线。
交叉两直线的同面投影可能相交,但不符合空间点的投影规律。
X,O,Y,Z,V,f,e,f,e,e,f,C,D,d,c,c,d,d,c,7,E,F,判断交叉两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时,需要看重影点在另一投影面上的投影,坐标值大的点投影可见,反之不可见,不可见点的投影加括号表示。
前遮后、上遮下、左遮右,上遮下,前遮后,交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正的交点,而是两直线上相应点投影的重影点。
1,1,2,2,3,3,4,4,(),(),基本作图,15,能否过A点随意作线呢?
答案有多少个?
无数个。
例题判断两直线的相对位置,例题判断两直线的相对位置,1d,1c,例:
判断两直线的相对位置。
交点的连线垂直于OX,且两直线为一般位置直线,由两面投影可判断为相交两线。
ab与cd在一直线上,而abcd,两直线平行。
CD为侧平线,利用点分割线段成比例进行判断。
为交叉两直线。
例:
已知:
两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m,试作一直线MNCD并与直线AB相交于N点。
n,n,m,作图:
过m作mncd,并与ab交于n;由n求出n;过n作nmcd,求得m。
例题判断两直线重影点的可见性,直角投影定理,一、垂直相交的两直线的投影定理一:
垂直相交的两直线,其中有一条直线平行于投影面时,则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
定理二:
相交两直线在同一投影面上的投影反映直角,且有一条直线平行于该投影面,则空间两直线的夹角必是直角。
二、交叉垂直的两直线的投影定理三:
相互垂直的两直线,其中有一条直线平行于投影面时,则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
定理四:
两直线在同一投影面上的投影反映直角,且有一条直线平行于该投影面,则空间两直线的夹角必是直角。
一、垂直相交的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac,二、交叉垂直的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac,17,两垂直直线的判断,关键是:
两垂直直线中必须有一条直线是投影面的平行直线。
18,基本作图,过已知点,作直线垂直于已知直线。
a,b,a,b,k,k,l,答案有多少个?
o,x,例题过点A作EF线段的垂线AB。
垂直相交,例题过点E作线段AB、CD的公垂线EF。
19,注意:
距离直线只有平行于投影面时才能反映实长。
举例,求作点到直线的距离。
两平行直线的距离,8,投影面垂直线,9,投影面平行线,两平行直线的距离,实距,例6:
已知:
直线EF平行CD并与直线AB相交,F点在H面上。
.求所缺的投影(书P74),a,a,b,b,c,c,d,d,O,X,e,e,f,K,例题作三角形ABC,ABC为直角,使BC在MN上,且BCAB=23。
掌握点与直线的投影特性,尤其是特殊位置直线的投影特性。
点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。
点分割直线成定比定比定理。
第四节平面的投影,平面的表示法,各种位置平面的投影特性,属于平面的点和直线,平面的投影,一、平面的表示法用几何元素表示平面,不在同一直线上的三点。
一直线和线外一点。
相交两直线。
平行两直线。
任意平面形。
平面的迹线表示法,4,二平面的投影特性,显实,积聚,类似,1.平面平行于投影面,其投影反映实形。
2.平面垂直于投影面,其投影积聚成直线。
3.平面倾斜于投影面,其投影为其类似形。
5,四平面与投影面的相对位置,1.特殊位置平面,投影面的平行面:
平行于一个投影面的平面,投影面的垂平面:
垂直于一个投影面的平面,2.一般位置平面,一般位置平面与各个投影面均倾斜:
其投影均小于实形,为平面的类似形。
H:
水平面V:
正平面W:
侧平面,投影面垂直面,垂直于一个投影面,与另两个投影面倾斜的平面。
投影面垂直面可分为三种:
垂直于面的平面叫正垂面,垂直于面的平面叫铅垂面,垂直于面的平面叫侧垂面,V,X,H,Y,O,Z,W,铅垂面(面,倾斜、面),铅垂面,.,铅垂面迹线表示法,
(1)正面投影积聚成直线,并反映倾角和。
(2)水平和侧面投影不反映实形,是缩小了的类似形。
正垂面(面,倾斜、面),正垂面,.,正垂面的迹线表示法,侧垂面(面,倾斜、面),.,投影,特性,
(1)侧面透影积聚成直线,并反映倾角和。
(2)水平和正面投影不反映实形,是缩小了的类似形。
侧垂面的迹线表示法,投影面垂直面的投影特性:
平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线;其余两投影面的投影为原形的类似形,但比实形小;平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角,分别反映平面与相应投影面的倾角。
投影面的平行面,平行于一个投影面,与另两个投影面垂直的平面。
投影面平行面可分为三种:
平行于面的平面叫正平面,平行于面的平面叫水平面,平行于面的平面叫侧平面,X,V,Z,W,O,H,Y,水平面(/面VW面),水平面,水平面的迹线表示法,Pv,正平面(/面HW面),.,
(1)正面投影反映真形。
(2)水平投影/OX,侧面投影/OZ,分别积聚成直线。
ph,p,正平面的迹线表示法,侧平面(/面VH面),
(1)侧平面投影反映真形。
(2)正面投影/OZ,水平投影/OYH,分别积聚成直线。
R,RH,RV,侧平面的迹线表示法,投影面平形面的投影特性:
平面在所平行的投影面上的投影反映实形;其余两投影积聚为直线,并分别平行于相应的投影轴。
H,X,V,Y,O,W,Z,一般位置平面,a,a,X,c,b,b,c,O,w,b,a,c,b,c,a,a,b,b,a,c,c,a,b,b,b,a,a,c,c,c,一框两线平行面,直线竖或横。
两框一线垂直面,斜线积聚成。
三框无线一般面,位置最分明。
特点记忆,三、平面上的点和直线,几何条件1:
若直线过平面上的两点,则此直线必在该平面内。
几何条件2:
若一直线过平面内的一点,且平行于该平面上另一直线,则此直线在该平面内。
几何条件3:
若点在平面内,它必在平面内的一条直线上。
平面上的点和直线,取属于平面的点,取属于平面的点,要取自属于该平面的已知直线,取属于平面的直线,例题已知ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。
e,e,例题已知点D在ABC上,试求点D的水平投影。
d,e,e,d,例题已知点E在ABC上,试求点E的正面投影。
d,a,b,c,a,b,c,例题:
已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影,完成H面投影。
解1,d,e,e,解2,e,e,d,例题已知直线EF在平面ABC上,求其未知投影。
c,a,b,e,s,f,k,16,平面上的直线,E点在ABC平面上,EF/BC,过一般位置直线总可作投影面的垂直面,过一般位置直线AB作H面的垂直面PH,过一般位置直线AB作V面的垂直面Sv,
(2)过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法),SV,QW,PH,2.平面上的投影面平行线,凡在平面上且平行于某一投影面的直线,称为平面上的投影面平行线。
平面内的水平线直线在平面内,又平行于水平面的直线。
平面内的正平线直线在平面内,又平行于正面的直线。
平面内的侧平线直线在平面内,又平行于侧面的直线。
属于平面的水平线和正平线,PV,PH,例题已知ABC给定一平面,试过点C作属于该平面的正平线,过点A作属于该平面的水平线。
m,n,n,m,例题:
作ABC平面内的正平线,它距V面为8mm。
因为正平线的水平投影平行于OX,先作34OX,使其距V面8mm,再求出34。
3,4,3,4,例题已知点E在ABC平面上,且点E距离H面15,距离V面10,试求点E的投影。
小结:
1.平面投影特性,尤其是特殊位置平面的投影特性;2.如何在平面上确定直线和点;,