秋人教版八年级数学上册第12章《全等三角形证明过程训练》讲义及答案.docx

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秋人教版八年级数学上册第12章《全等三角形证明过程训练》讲义及答案

人教版八年级数学上册第12章

全等三角形证明过程训练（讲义、随堂测试、习题）

Ø课前预习

1.判定三角形全等的方法有______，______，______，______．

要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．

2.在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，请学习下图中的标注．

①如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．

②如图2，在四边形ABCD中，连接BD，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∠A=∠C．

③如图3，在四边形ABCD中，连接AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=DO．

图1图2图3

3.数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后，完整书写过程．

如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB∥CD），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．

Ø知识点睛

1.直角三角形全等的判定定理：

_________________________．

2.已知：

如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．

求证：

△ABC≌△A′B′C′．

证明：

如图，

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）

Ø精讲精练

1.如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，则___________≌___________，从而BC________BD．

2.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AE=AF，则_____≌______，从而DE=______．

3.已知：

如图，AB=CD，AF=CE，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．

求证：

△ABF≌△CDE．

4.已知：

如图，∠B=∠D=90°，如果要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，

这个条件可以是_________________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件还可以是_______________，理由是____________．

第4题图第5题图

5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长为_________．

6.已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：

△ACD≌△AED．

7.已知：

如图，点B，E，C，F在同一直线上，AC∥DF且AC=DF，BE=CF．求证：

△ABC≌△DEF．

8.

如图，在正方形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=BC，E，F分别是AB，AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M．

求证：

BE=AF．

9.

已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：

CF=AE．

10.已知：

如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，且BE=CD，∠EDF=60°．求证：

ED=DF．

【参考答案】

Ø课前预习

1.SAS，SSS，ASA，AAS

3，边

2.略

3.解：

如图

∵AB∥CD

∴∠1=∠3

∵∠1=110°

∴∠3=110°

∵∠2+∠3=180°

∴∠2=180°-∠3

=180°-110°

=70°

Ø知识点睛

1.SAS，SSS，ASA，AAS，HL

Ø精讲精练

1.Rt△CAB，Rt△DAB，=

2.Rt△AED，Rt△AFD，DF

3.证明：

如图，

∵DE⊥AC，BF⊥AC

∴∠DEC=∠BFA=90°

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）

4.AB=AD，HL

BC=DC，HL

∠BAC=∠DAC，AAS

∠BCA=∠DCA，AAS

5.3

6.证明：

如图，

∵DE⊥AB

∴∠DEA=90°

∵∠C=90°

∴∠C=∠DEA

∵AD平分∠BAC

∴∠CAD=∠EAD

在△ACD和△AED中

∴△ACD≌△AED（AAS）

7.证明：

如图，

∵AC∥DF

∴∠1=∠2

∵BE=CF

∴BE+EC=CF+EC

即BC=EF

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SAS）

8.证明：

如图，

∵∠ABC=90°

∴∠ABF+∠MBC=90°

∵AE⊥BF

∴∠CMB=90°

∴∠MBC+∠BCE=90°

∴∠ABF=∠BCE

在△ABF和△BCE中

∴△ABF≌△BCE（ASA）

∴AF=BE（全等三角形对应边相等）

9.证明：

如图，

∵∠ACB=90°

∴∠1+∠2=90°

∵AE⊥CD，BF⊥CD

∴∠F=∠AEC=90°

∴∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

在△BCF和△CAE中

∴△BCF≌△CAE（AAS）

∴CF=AE（全等三角形对应边相等）

10.

证明：

如图，

∵∠B=60°

∴∠1+∠2=120°

∵∠EDF=60°

∴∠2+∠3=120°

∴∠1=∠3

在△BDE和△CFD中

∴△BDE≌△CFD（ASA）

∴ED=DF（全等三角形对应边相等）

全等三角形证明过程训练（随堂测试）

1.已知：

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，且BE=AC，如果要使△BDE≌△ADC，那么还需要一个条件，这个条件可以是____________________，理由是_________；

这个条件也可以是__________________，理由是_________；

这个条件也可以是__________________，理由是_________；

这个条件还可以是__________________，理由是_________．

2.已知：

如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点C作

CF⊥AD于点F，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．

求证：

CF=BE．

证明：

如图，

过程规划：

1．准备不能直接用的条件：

_________=__________；

_________=__________．

2．证明________≌________．

3．根据全等性质得，

_________=__________．

【参考答案】

1.DE=DC，HL

BD=AD，HL

过程规划：

1．准备不能直接用的条件：

∠CFD=∠BED；

CD=BD．

2．证明：

△CFD≌△BED．

3．根据全等性质得，

CF=BE．

∠EBD=∠CAD，AAS

∠BED=∠C，AAS

2.

证明：

如图，

∵CF⊥AD，BE⊥AD

∴∠CFD=∠BED=90°

∵D为BC边的中点

∴CD=BD

在△CFD和△BED中

∴△CFD≌△BED（AAS）

∴CF=BE（全等三角形对应边相等）

全等三角形证明过程训练（习题）

Ø

例题示范

例1：

已知：

如图，在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=90°．E为正方形内一点，BE⊥BF，BE=BF，EF交BC于点G．

求证：

AE=CF．

【思路分析】

1读题标注：

2梳理思路：

要证AE=CF，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE和△CBF中进行证明．

要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．

由已知得，AB=CB；BE=BF；

根据条件∠ABC=90°，BE⊥BF，推理可得∠1=∠2．

过程规划：

1．准备不能直接用的条件：

∠1=∠2

2．证明△ABE≌△CBF

3．根据全等性质得，AE=CF

因此由SAS可证两三角形全等．

【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程）

证明：

如图

∵BE⊥BF

∴∠EBF=90°

∴∠2+∠EBC=90°

∵∠ABC=90°

∴∠1+∠EBC=90°

∴∠1=∠2

在△ABE和△CBF中

∴△ABE≌△CBF（SAS）

∴AE=CF（全等三角形对应边相等）

Ø巩固练习

11.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD=PE，将上述条件标注在图中，易得___________≌___________，从而AD=__________．

第1题图第2题图

12.已知：

如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，如果要使

△ABD≌△CDB，那么还需要添加一组条件，

这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．

13.已知：

如图，C为BD上一点，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°．若AB=4，DE=2，则BD的长为______．

14.已知：

如图，点A，E，F，B在同一条直线上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，BC=AD，AE=BF．

求证：

△CEB≌△DFA．

15.如图，点C，F在BE上，∠1=∠2，BF=EC，∠A=∠D．

求证：

△ABC≌△DEF．

过程规划：

过程规划：

16.

已知：

如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且AC=BD，BE∥CF，AE∥DF．求证：

△ABE≌△DCF．

过程规划：

1．准备不能直接用的条件：

_________=__________

_________=__________

2．全等五步法证明

_________≌_________

3．根据全等性质得，

_________=__________

17.

已知：

如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD与CE相交于点H，AE=CE．

过程规划：

求证：

AH=CB．

Ø思考小结

1.要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形_______；要证明三角形全等，需要准备_____组条件，其中有一组必须是_______相等．

2.阅读材料

我们是怎么做几何题的？

例1：

已知：

如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．

求证：

∠B=∠D．

第一步：

读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）

第二步：

分析特征走通思路

1要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B放在△ABC中，把∠D放在△ADE中，只需要证明这两个三角形全等即可．

2要证明△ABC≌△ADE，需要找三组条件，由已知得AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用SAS可得两个三角形全等．

第三步：

规划过程

过程分成三块：

1由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；

2由SAS得△ABC≌△ADE；

3由全等得∠B=∠D．

第四步：

过程书写

【参考答案】

Ø巩固练习

1.Rt△ADP，Rt△AEP，AE

2.AD=CB，HL

AB=CD，SAS

∠A=∠C，AAS

∠ADB=∠CBD，ASA

3.6

4.证明：

如图，

∵CE⊥AB，DF⊥AB

∴∠CEB=∠DFA=90°

∵AE=BF

∴AE+EF=BF+EF

即AF=BE

在Rt△CEB和Rt△DFA中

∴Rt△CEB≌Rt△DFA（HL）

5.证明：

如图，

∵BF=EC

∴BF+FC=EC+FC

即BC=EF

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（AAS）

6.证明：

如图，

∵AC=BD

∴AC-BC=BD-BC

即AB=DC

∵BE∥CF

∴∠1=∠2

∵∠1+∠3=180°

∠2+∠4=180°

∴∠3=∠4

∵AE∥DF

∴∠A=∠D

在△ABE和△DCF中

∴△ABE≌△DCF（ASA）

7.证明：

如图，

∵AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∴∠1+∠2=90°

∵CE⊥AB

∴∠AEH=∠CEB=90°

∴∠3+∠4=90°

∵∠2=∠4

∴∠1=∠3

在△AEH和△CEB中

∴△AEH≌△CEB（ASA）

∴AH=CB（全等三角形对应边相等）

Ø思考小结

1.全等；3，边