初中数学概念教学的偏差及完善建议.docx
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初中数学概念教学的偏差及完善建议
初中数学概念教学的偏差及优化策略
【摘要】决定数学教学效果的首要因素、基础因素和贯穿始终的因素就是:
概念。
我国数学教育界历来都十分重视数学概念的教学，随着《全日制义务教育数学课程标准》的颁布实施，人们更加注重对数学概念的教学，但由于传统教育思想的影响，数学概念教学总存在这样或那样的偏差，直接影响着教育教学质量的提高。
仔细分析目前概念教学中存在的偏差，主要有以下六种：
（1）局部与整体的偏差
（2）理解与记忆的偏差（揭示过程与背诵）（3）直观与抽象的偏差（符号与具体事物）（4）生动与严谨的偏差（生动性与科学性）（5）讲授与探究的偏差（6）应用与理解的偏差。
本文在前人的基础上，针对这些偏差，对优化数学概念教学全面的探讨。
【关键词】初中数学概念教学偏差建议
一、问题的提出
数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提。
学生数学能力的发展取决于他对数学概念的牢固掌握与深刻理解。
尽管新课程标准强调了概念的重要性和基础性，不少教师受应试教育的影响，仍重解题、轻概念，在概念教学中出现种种偏差，造成数学基本概念不清，数学概念与解题脱节，学生做题不懂得从概念入手，思考解题依据，探索解题方法。
其次，虽然浙教版实验教材的编写，充分关注了概念的呈现方式，编排了许多适合学生思维发展的问题情境、问题串以及引发学生思考的诸多材料，然而对于面对学生的课堂教学来说，概念如同一幅凝固的美丽画卷，即概念是统一的、固定的，而课堂教学应是流动的河，即课堂教学是灵动的、生成的。
如何组织好数学概念教学，使学生积极地能动地参与进来，牢固的掌握和深刻理解概念，提高数学解题能力，是每个教师应该思考的问题。
再次，浙教版实验教材对某些概念教学的要求是“知道”，当需要这些概念时，在旁边以小字的形式给出。
这样过高的估计了学生的理解能力，也是造成学生数学能力提高困难的原因。
教育研究者以及一线教师都非常重视数学概念教学，发表了诸多文章，例如《数学概念教学中的若干问题》、《初中数学概念教学例谈》、《浅谈新课标下对初中数学概念教学的思考》等等。
本文立足于课堂实践，在前人研究的基础上，就如何优化数学概念教学进行探讨。
二、认识与构想
（一）概念界定
概念是客观事物本质属性（本质特征）在人们头脑中的反映。
数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。
是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。
它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。
数学概念教学是对数学概念进行课堂教学。
（二）目前概念教学的偏差
（1）局部与整体的偏差
“教学的结果，不仅应当掌握单个概念，而且还应当掌握每个具体课题和整个数学课程的完整的概念体系”，概念体系内各概念相互联系，只有掌握这种联系，才能准确地进行思维、推理、解决问题。
因此，数学概念教学必须在概念体系中进行。
而实际上，概念教学忽视概念之间的联系，只就每一个概念反复讲解其定义的现象时有出现。
（2）理解与记忆的偏差（揭示过程与背诵）
概念教学需要从逻辑上揭示概念产生的背景、概念提出的必要性与概念建立方法。
而实际教学中，部分教师过分重视定义的叙述，对定义是字字推敲、句句斟酌，并且要求学生熟读定义，熟记定义。
学生表面上学会了概念的定义，也会运用，但不知道为什么要学习这个概念，为什么要这样定义概念，最终成了“概念定义至上”。
（3）直观与抽象的偏差（符号与具体事务）
学生对数学概念定义、概念名称、概念符号的学习主要存在两个问题。
一是学生对数学概念的学习往往表现为只知道名称或只注意到概念名称所代表的概念的部分实例、表象，而不知道名称所代表的概念的全体对象。
二是学生虽能理解概念内涵、外延，也知道概念的名称，但却与概念符号脱节。
他们不能自觉地建立概念定义、名称、符号之间的本质联系。
概念、名称、符号应当等同，但是在实际概念教学中，这三方面的教学总有侧重。
（4）生动与严谨的偏差（生动性与科学性）
学生学习枯燥、单调的概念，提不起兴趣。
要处理好这一问题，就需要教师发挥自己的言语功底使之易学、易懂，特别是一些抽象的概念更需要通过活泼、生动的生活化语言来描述。
但是数学是门严谨的学科。
教师在概念教学中为将概念讲得深透且避免科学性的错误，常出概念的文字表述斟字酌句，繁琐的倾向。
（5）讲授与探究的偏差
留给学生充足的时间去从事探究活动，是提高数学概念教学有效性的重要过程。
可是在实际教学中，有些教师为了节约上课时间，没有给提供充分的思考时间，平时还听到有些教师甚至认为让学生探索，简直是浪费时间。
于是，当学生的探索遇到障碍，教师心里就急，越俎代庖代为探究，以讲授探究代替学生亲历探究。
这种教师在探究活动中留白不足的现象，也值得我们反思。
三、优化策略
从教育与发展心理学的角度出发，概念教学的核心就是“概括”：
将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同的本质属性，归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。
数学概念要讲背景、讲思想、讲应用，概念教学则强调让学生经历概念的概括过程。
概念的课堂教学大致经历以下几个环节：
概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相关概念的联系与区别、概念应用举例、概念的巩固练习。
下面结合实例就其中关键环节谈谈概念教学偏差的优化策略。
（一）概念的引入时的优化策略
概念的引入是概念课教学的起始步骤，是形成概念的基础。
对于概念引入的设计，要结合概念的特点，特点不同，引入形式存在差异。
一方面要提倡借助生动、丰富的实际问题引入概念，能够与学生的生活密切结合，这样往往比较具体、形象，学生容易理解，也比较容易从中提炼出概念的本质属性，比如数与代数中的同类项、分式等，空间与图形中的角、平行线、三角形等。
另一方面，并非所有的数学概念都适宜用这种方法，比如平方根，从数学内部的运算关系角度入手，更容易理解。
下面介绍概念引入的三种想法：
1.联系概念的现实原理引入新概念。
在教学中引导学生观察有关实物、模型、图示等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。
例如：
在平面几何平行线的教学中，可以让学生观察单线练习本中的一组平行线，分析这组线的位置特点，再利用相交线作对比，然后概括出平行线的定义；在圆的概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，把它的一端固定，另一端栓一支铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是什么？
学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义。
2.从具体到抽象引入新概念。
数学概念有具体性和抽象性双重特性。
在教学中就可以从它具体性的一面入手，使学生形成抽象的数学概念。
案例1：
对于“用字母表示数”的教学，教师展示熟悉的生活实例，确立了一个学生熟悉的认知对象，由学生熟悉的铺地用的各种形状、各种颜色的地砖铺地时的图案入手。
提出问题1：
观察图案1至4，用正六边形黑白两色地砖铺地时黒砖块数与图案序号之间的数量关系是什么？
学生答案是：
图案中的黒砖块数与图案的序号相等。
提出问题2：
如果用正六边形黑白两色地砖铺地时的铺法不变，请问第五个、第六个图案中黑砖块数是多少？
与图案序号之间的关系是什么？
理由是什么？
学生答案是：
第五个图案中的黑砖块数是5，第六个图案中的黑砖块数是6，理由是铺法不变，就是“图案中的黒砖块数与图案的序号相等”的规律不变。
提出问题3：
请同学们思考，如何使图案序号与黒砖块数之间的关系一目了然呢？
（学生思考，最后达成共识：
列一个图案序号为第一行，黒砖块数为第二行的表格，学生顺便体会到了在处理大量数字或者相关问题时的处理方法）
图案序号
1
2
3
4
5
6
黒砖块数
1
2
3
4
5
6
提出问题4：
如果用正六边形黑白两色地砖铺地时的铺法不变，请问第任意个图案中黒砖块数是多少？
与图案序号之间的关系是什么？
理由是什么？
学生1的解答：
第任意个图案中黒砖块数是任意个，与图案序号之间是相等关系，理由是铺法不变，就是“图案中的黒砖块数与图案的序号相等”的规律不变，即：
图案序号
1
2
3
4
5
6
…
第任意个图案
黒砖块数
1
2
3
4
5
6
…
任意个
学生2的解释：
学生1列的表格中的“第任意个图案”、“任意个”我觉得可以不用文字，但是也不能用具体的数来说明“第任意个图案”中黒砖块数的任意性，怎么表示呢？
学生3解释：
用字母表示“任意个”，因为“任意个”可以是23、123、100等等，但是一个具体的数不能表示任意性、一般性，我认为用一个字母就可以表示任意性，字母可以表示任意一个整数。
学生3把表格改写为：
图案序号
1
2
3
4
5
6
…
第n个图案
黒砖块数
1
2
3
4
5
6
…
n
至此，学生初步体会到表示任意性、一般性的问题时需要一个新的表示数的方法，体会到这类问题不用字母表示不行了，为学生创设了一个“字母表示数”的必要性的学习情节，使学生认识到“字母表示数”的重要性。
3.用类比的方法引入概念。
类比不仅是一种重要形式，而且是引入新概念的重要方法。
例如：
可以通过同类项的定义类比地归纳出同类二次根式的定义，通过类比分数得到分式的概念，类比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函数等概念。
作这样的类比更有利于学生理解和区别概念，在对比之下，既掌握了概念，又可以减少概念的混淆。
案例2：
教师首先利用竞赛的形式，给出两组练习，要求学生口答后，观察两组题目的区别与联系：
这种引入概念的方法，是建立在新旧知识的联系上，充分考虑学生已有的知识经验，使学生在具体数值的计算中，发现规律：
第一组题已知底数、指数，求幂，第二组已知幂、指数，求底数，在此基础上学生能够从特殊推广到一般。
当学生由具体到抽象得到
时，教师可以提出：
此时将已知数a仍叫做幂、x叫做底数合适吗？
学生回忆加减法互逆后以及乘除法互逆后各数的名称都发生了变化，所以
中各部分的名称也应相应改变。
教师可以不急于给出平方根的概念，而让学生结合式子的特点给x命名，由于a是已知数，此式从形式上看是一元二次方程，而求x就相当于求方程中的未知数，结合已有知识，学生能够想到诸如“二次方程的根（解）”“平方的根”等，在此基础上，教师再规范成“平方根”，这样会更有利于学生对平方根的理解，因为在参与命名时，学生就要认真分析式子以及结果的特点，对理解概念有帮助，在此基础上，创设生活中的实例，使学生感受到生活中更多的是应用平方根中那个非负的，顺势提出非负的平方根如何命名？
案例3：
事先让每位学生准备一张三角形纸片和剪刀，课上让学生思考，只剪一刀，将剪成的两张纸片拼成一个平行四边形。
学生很乐于参与这种动手操作
的活动，根据生活经验也不难完成活动（如图），但当教师提出“说说你的裁剪方法”时，学生只能用生活语言，如“沿三角形的中间剪的”，说不出准确的数学语言。
此时教师引导学生观察裁剪线的端点具有什么样的特征？
有实物模型加上学生动手剪拼，可以得到D、E均为各边的中点。
那么，它能叫中线吗？
如果不能，我们可以给它起个什么名字？
让学生尝试命名，根据它位置的特殊性，学生在教师的启发下，可以得到中位线的概念。
这样的设计激发了学生的探究欲望，而且为后续探究中位线的性质埋下了伏笔，可谓一举多得。
由上面的分析可以看出，概念的引入方式没有统一的模式，总的原则是通过教师创设典型、丰富的具体实例（可以让学生自己举例），引导学生展开分析、比较、综合等活动，在此基础上，概括出共同本质特征，得到概念的本质属性。
为了激发学生的学习兴趣，促进学生的思考，引入的形式应该多种多样。
（二）概念的剖析及辨析时的优化策略
概念生成之后，应用概念解决问题之前，往往要进行概念剖析，即用实例（包括正例与反例）引导学生分析关键词的含义，包括对概念特性的考察，可以达到明确概念、再次认识概念本质的目的，还可以从中体会概念中所呈现的转化问题的方法，这是最基本、最重要的策略。
案例4：
函数定义：
在某一变化过程中有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，y叫作x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。
教师引导学生分析概念中的关键词：
两个变量；
对应；
x的每一个值；
y唯一确定.
关键词中的“每一个”、“唯一确定”是指对于x取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，不能有两个或者两个以上与其对应。
在此基础上，给出一些具体问题，让学生尝试利用概念进行辨析练习，进一步加强对概念的理解。
如
有一位学生的考试情况是这样的：
让学生分析每次考试的分数与序号之间是否具有函数关系？
再比如：
在
中，y是不是x的函数？
那么反过来x是不是y的函数呢？
还可以给出右图，让学生对图像中y与x的关系进行判断，是否具有函数关系然后利用两个图像进行对比，从中体会“唯一”的含义。
还可以让学生自己举出一些例子，大家一起判断所举例子是否存在函数关系。
在概念剖析练习中，进一步体会概念的内涵与外延，认识函数的本质。
此外，在剖析概念时通常要对概念的多种表示语言进行转化，数学语言主要是文字叙述、符号表示、图形表示，要会三者的翻译，同时更重要的是强调符号感。
三种语言的转换在空间与图形的教学中体现得较为充分。
例如：
在讲三角形的中位线的概念时，得到定义“联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”后，往往会要求学生根据定义画出与之相对应的图形，然后，要求学生尝试用符号语言来表示定义。
即：
在△ABC中，
∵D为AB边中点，E为AC边中点，
∴DE为△ABC的中位线。
（三角形中位线定义）
反之，已知：
∵DE为△ABC的中位线，
∴D为AB边中点，E为AC边中点。
（三角形中位线定义）
两个角度的描述，体现定义的双重性（性质、判定），然后让学生画出三角形中所有的中位线，进一步体会它的位置特征。
往往还会要求学生将中位线与三角形的中线进行对比，找相同点与差异，在对比中进一步熟悉三角形的中位线。
（三）相关概念的区别与联系时的优化策略
数学概念不是孤立存在的，概念间都有着千丝万缕的联系，概念教学还应该承担着建立与相关概念的联系的任务，教学时，要引导学生试着对概念进行适度的联系与发散，努力找出概念间一些体现共性的东西，以使学生形成功能良好的认知结构。
案例5：
对于三角函数的教学，我们先对函数概念的本质特征进行逐层剖析，再通过类比，来学习锐角三角函数：
①如图，在锐角
（不妨令∠BAC=
）的一边上任取一点B，作BC⊥AC，垂足为点C，当
确定时，三个相应的比值
、
、
随之确定，与点B的位置无关；而当锐角
变化时，三个相应的比值随之变化——说明变量的存在性——“存在某个变化过程”；②“在某个变化过程中有两个变量
”（不妨令
，以此为例）——说明三角函数同样是研究两个变量之间的依存关系；③“对于
在某一范围内的每一个确定的值”——说明变量
的取值是有范围限制的，即在锐角范畴内研究它们；④“
有唯一确定的值和它对应”——说明有唯一确定的对应规律，由以上类比剖析可知，锐角三角函数概念的本质同样是一种对应关系，这种对应关系不能像一次函数那样用解析式表示，只能用特定的符号来表示，这也是它与以前所学代数函数的区别所在。
另外，教学中还要使学生明白：
①锐角三角函数概念的建立，是对函数概念的一种升华，即从对应的角度来认识函数。
②对应的角度的认识：
可以是一对一，也可以是多对一（如二次函数），但不能是一对多的，掌握了这一点，我们可以据此进行一些训练，概念通过这样的联系与发散，同学们一定会对三角函数有进一步的认识。
再比如，对于二次函数的教学，可以类比一次函数进行定义，此外还要引导学生分析它与二次方程、二次不等式以及二次代数式四者之间的关系。
使学生对它们有全面的认识，知识点串成线，最后结成网，必然有利于知识的理解与应用。
（四）概念的应用举例与训练巩固时的优化策略
概念的形成是一个由个别到一般的过程，而概念的运用是一个由一般到个别的过程，它们是学生掌握概念的两个阶段。
通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念的运用过程中培养学生的实践能力。
因此在数学教学中不仅要注意概念的形成过程，也要注意概念的应用。
根据不同概念的特点，采用恰当的教学手段，激励学生实现对概念的理解，才能使学生学得好、学得牢。
这一阶段，主要是选用有代表性的简单例子，使学生形成用概念做判断的具体步骤。
例如：
在全等三角形的教学中，对于定义不难理解，但是在应用定义的性质解决问题时，学生往往由于找不准对应边与对应角而出现问题，为了突破这个难点，可以安排如下例题：
（1）指出对应顶点、对应边和对应角；
（2）在此图形中，你还能得到哪些结论？
阐述你的理由。
预案：
AB∥FD，AC∥FE，BD=CE等等。
（3）教师拖动三角形的一个顶点，学生观察图形的变化情况，引导学生得出结论：
两个三角形形状虽然改变了，但它们全等的关系仍旧保持不变。
得出结论后，教师继续引导学生观察对应边、对应角的变化，并得出结论：
虽然长度和角度发生了变化，但对应边相等、对应角相等这一结论却始终保持不变。
这一环节通过改变三角形的形状，让学生感受到全等三角形对应边、对应角在图形变换中相等这一关系始终保持不变的性质，从而树立“对应”思想。
（4）教师将△FDE进行平移，改变两个全等三角形的位置关系，让学生观察对应边、对应角的变化，并引导学生思考在图形的运动变换过程中还有哪些关系保持着不变的性质。
通过改变两个全等三角形的位置关系，让学生体会全等变换，培养学生的识图能力。
接下来可以让学生自己动手操作：
两人一机，利用几何画板操作平台探究并完成实验报告（见下表）.
要求：
1．对实验报告中的由全等三角形图形变换得到的组合图形进行探究，指出对应边和对应角；
2．通过几何画板课件动态操作演示，研究每组图形所具有的特殊的数量关系或位置关系，将结论填写在实验报告上，然后全班交流、师生共同评价，并对学生给予及时的鼓励。
通过学生的小组合作探究，培养学生的交流能力和语言表达能力，几何画板的动态演示可帮助学生识别对应边、对应角，从而突破教学难点。
当学生在解决问题的过程中遇到困难时，让学生养成“不断回到概念中去，从基本概念出发思考问题、解决问题”的习惯，另外，加强概念联系性的教学，从概念的练习中寻找解决问题的新思路。
【参考文献】
[1]李树臣数学概念教学中的若干问题教法与学法
[2]徐文彬数学概念的认识及其教学设计课程教材教法2010.10
[3]梁惠标新教材数学概念的几种做法广东教育2004.5
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