第八章 幂的运算.docx

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第八章幂的运算

教学内容

第八章幂的运算

课时分配

本章需7课时

本节课为第1课时

8.1同底数幂的乘法

教学目标

1.掌握同底数幂的乘法运算法则。

2.能运用同底数幂的乘法运算法则熟练进行有关计算。

重点

1.同底数幂的乘法运算法则的推导过程。

2.会用同底数幂的乘法运算法则进行有关计算。

难点

在导出同底数幂的乘法运算法则的过程中，培养学生的归纳能力和化归

思想。

教学方法

讲练结合、探索交流

课型

新授课

教具

多媒体

教师活动

学生活动

一.情景设置：

1．实例:

数的世界充满着神奇,幂的运算方便了“大”数的处理。

2．引例P39

光在真空中的速度约是3×108m/s，光在真空中穿行1年的距离称为1光年。

请你算算：

⑴．1年以3×107s计算，1光年约是多少千米？

⑵．银河系的直径达10万光年，约是多少千米？

⑶．如果一架飞机的飞行速度为1000km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？

3．问题：

太阳光照射到地球表面所需的时间大约是5×102s，光的速度约是3×108m/s，地球与太阳之间的距离是多少？

问：

108×102等于多少？

（其中108，10是底数，8是指数，108叫做幂）

板书：

同底数幂的乘法

二．新课讲解：

1．做一做P40

教师引导学生回到定义中去，进而得出结果，如果学生有困难，不妨重点强调一下乘方定义（求n个相同因数的积的运算），

2.法则的推导

am．an=am+n（m、n是正整数）

学生口述：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

3．例题解析:

例1：

计算：

（1）（-8）12×（-8）5

（2）

（3）

（4）

分析：

⑴（－8）17=－817

幂的性质：

负数的奇次幂仍是负数。

⑵x1的1通常省略不写，做加法时不要忽略。

⑶－a3读作a的3次方的相反数，故“－”不能漏掉。

例2：

一颗卫星绕地球运行的速度是7.9×103m/s,求这颗卫星运行1h的路程.

分析：

最后的结果应用科学计数法表示为a×10n的形式,其中1≤a＜10。

4．议一议P41

学生说明理由

5．练一练P41.1、2、3、4。

学生板演，师生互动。

三．小结：

本课讲了同底数幂相乘的乘法法则，要求同学们一定明确法则的由来，然后再利用此法则进行有关运算。

教学素材：

A组题：

⑴－x2·（-x）2=

⑵a4·（－a3））·（-a）3=

⑶x·xm–xm+1=

⑷am+1·a（）=a2n

B组题：

⑴已知那么3x=a,3y=b,

那么3x+y=

⑵22004–22005=

学生回答

由学生自己先做（或互相讨论），然后回答，若有答不全的，教师（或其他学生）补充．

学生板演

作业

第42页第1－5题。

酌情处理

教学后记

教学内容

第八章幂的运算

课时分配

本章需7课时

本节课为第2课时

8.2幂的乘方与积的乘方

（1）

教学目标

1．掌握幂的乘方法则，并会用它熟练进行运算。

2．会双向应用幂的乘方公式。

3．会区分幂的乘方和同底数幂乘法。

重点

1．掌握幂的乘方法则，并会用它熟练进行运算。

2．幂的乘方法则的推导过程。

难点

会双向运用幂的乘方公式，培养学生思维的灵活性。

教学方法

讲练结合、探索交流

课型

新授课

教具

多媒体

教师活动

学生活动

一．情景设置：

问题1：

哪位同学能在黑板上写下100个104的乘积？

经过试验，同学们会发现黑板上写不下。

问题2：

那哪位同学能用一个比较简单的式子表示100个104的乘积？

根据乘方的定义，100个104的乘积不就是（104）100吗？

板书：

幂的乘方

二．新课讲解：

1．做一做P52

计算下列各式：

⑴（23）2＝

⑵（a4）3＝

⑶（am）5＝

问题：

从上面的计算中，你发现了什么规律？

分析：

让学生回到定义中去，进而在由同底数幂的乘法法则得出结果，比较后易找找规律。

对于任意的底数a，当m、n是正整数时，

（m、n是正整数）

学生口述：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3．例题解析：

例1：

计算：

（1）（106）2

（2）（am）4（m是正整数）

（3）–（y3）2（4）（-x3）3

例2：

计算：

（1）

（2）

分析：

本课的难点，要求学生仔细辨析，何时用同底数幂的法则，何时用幂的乘方法则，何时是合并同类项，不可张冠李戴。

例3：

一个正方体的棱长是5×103mm。

求

（1）它的表面积是多少？

（2）它的体积是多少？

说明：

应用题要写答案，最后用科学记数法。

4．练一练：

P44

师生互动，及时点评。

5．小结：

本节课我们学习了幂的乘方的运算法则，望同学们在用此法则时不要同同底数幂的运算法则混淆了。

教学素材：

A组题：

⑴a12＝（a3）（）＝（a2）（）＝a3a（）

＝（）3＝（）4

⑵32﹒9m＝3（）⑶若y3n＝3,则y9n＝

⑷（a2）m+1＝

作业

第46页第1

（1）

（2）（3）、2、3

（1）题

教学后记

教学内容

第八章幂的运算

课时分配

本章需7课时

本节课为第3课时

8.2幂的乘方与积的乘方

（2）

教学目标

1．掌握积的乘方法则，并会用它熟练进行运算。

2．会双向应用积的乘方公式。

3．会区分积的乘方，幂的乘方和同底数幂乘法。

重点

1．掌握积的乘方法则，并会用它熟练进行运算。

2．积的乘方法则的推导过程。

难点

会双向运用积的乘方公式，培养学生“以理驭算”的良好运算习惯。

教学方法

讲练结合、探索交流

课型

新授课

教具

多媒体

教师活动

学生活动

一．复习提问：

1．同底数幂的乘法法则

（1）语言表达，

（2）式子表示。

2．幂的运算法则

（1）语言表达，

（2）式子表示。

3．上两节课备用题选几道板演

二．新课讲解：

1．做一做P44

问：

你发现了什么规律？

要求学生根据结果发现规律。

2．法则的推导

（ab）n＝anbn（n是正整数）

学生口述：

积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

3．例题解析：

例1：

计算：

（1）（5m）3

（2）（-xy2）3

注意：

（1）5的三次方不能漏算。

（2）注意符号。

议一议：

当n是正整数时，（abc）n＝an·bn·cn成立吗？

法则的推而广之：

当n是正整数时，（abc）n＝an·bn·cn

例2：

计算：

（1）（3xy2）2

（2）（-2ab3c2）4

说明：

是（abc）n＝an·bn·cn的活用。

例3．球的体积V=

лr3（其中V、r分别表示球的体积和半径）。

木星可以近似地看成球体，它的半径约是7.13×104km，木星的体积大约是多少?

（л≈3.14）

4．练一练：

P45

题1：

学生板演。

题2：

学生口答并说明理由。

题3、题4：

师生互动。

5．小结：

本节课我们学习了积的乘方的运算法则，望同学们在用此法则时不要同同底数幂的运算法则和幂的乘方的运算混淆了。

教学素材：

A组题：

（1）[（-2）×106]2·[（6×102）]2＝

（2）若（a2bn）m＝a4·b6，则m＝n＝

（3）（-1/7）8·494＝

（4）0.52004·22004＝

（5）（-x）2·x·（-2y）3+（2xy）2·（-x）3·y＝

B组题：

（1）若xn＝5,yn＝3则（xy）2n＝

（2）（-8）2003·0.1252002＝

学生回答

由学生自己先做（或互相讨论），然后回答，若有答不全的，教师（或其他学生）补充．

学生板演

作业

第46页第1（4）（5）（6）、3

（2）、5、6题

教学后记

课题

第八章幂的运算

课时分配

本章需7课时

本节课为第4课时

8.3同底数幂的除法

（1）

教学目标

1.掌握同底数幂的除法运算法则。

2.能运用同底数幂的除法运算法则熟练进行有关计算

重点

1.同底数幂的除法运算法则的推导过程。

2.会用同底数幂的除法运算法则进行有关计算。

3.与其它法则间的辨析。

难点

在导出同底数幂的除法运算法则的过程中，培养学生创新意识。

教学方法

讲练结合、探索交流

课型

新授课

教具

多媒体

教师活动

学生活动

一．情景设置：

一颗人造地球卫星运行的速度是7.9×103m/s，一架喷气式飞机飞行的速度是1.0×103km/h。

人造卫星的速度是飞机速度的多少倍？

问：

怎样计算（7.9×103×3600）÷（1.0×103×1000）？

板书:

同底数幂的除法

二.新课讲解：

1.做一做P47

计算下列各式

（1）106÷103

（2）a7÷a4（a≠0）

（3）a100÷a70（a≠0）

说明:

回归到定义中去,强调a≠0

问:

你发现了什么?

2.同底数幂的除法法则的推导

当a≠0,m、n是正整数,且m＞n时，

am÷an=am-n（a≠0,m、n是正整数,且m＞n）

学生口述:

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

3.例题解析：

例1：

计算：

（1）a6÷a2

（2）（-b）8÷（-b）

（3）（ab）4÷（ab）2（4）t2m+3÷t2

说明:

（1）直接运用法则。

（2）负数的奇次幂仍是负数。

（3）与其它法则的综合。

（4）如把除式中t2中的2改为m-1呢？

4．练一练P48

（1）学生板演，教师讲评。

（2）学生口答，说明原因。

（3）解答本节开始时提出的问题。

三、小结：

本课讲了同底数幂相除的除法法则，要求同学们一定明确法则的由来，然后再利用此法则进行有关运算。

教学素材：

A组题：

（1）（a3．a2）3÷（-a2）2÷a=

（2）（x4）2÷（x4）2（x2）2·x2=

（3）若xm=2,xn=5,

则xm+n=,xm-n=

（4）已知A·x2n+1=x3nx≠0

那么A=

（5）（ab）12÷[（ab）4÷（ab）3]2＝

B组题：

（1）4m．8m-1÷2m=512,则m=

（2）am·an=a4,且am÷an=a6

则mn=

学生回答

由学生自己先做（或互相讨论），然后回答，若有答不全的，教师（或其他学生）补充．

学生板演

作业

第50页第1题、第2题

教学后记

课题

8.3同底数幂的除法

（2）

课时分配

本章需7课时

本节课为第5课时

零指数幂与负整数指数幂

教学目标

明确零指数幂、负整数指数幂的意义，并能与幂的运算法则一起进行运算。

重点

a0=1（a≠0）,a-n=1/an（a≠0,n是负整数）公式规定的合理性。

难点

零指数幂、负整数指数幂的意义的理解

教学方法

讲练结合、探索交流

课型

新授课

教具

多媒体

教师活动

学生活动

一．复习提问：

同底数幂的除法法则是什么？

（1）符号语言：

am÷an=am-n（a≠0,m、n是正整数,且m＞n）

（2）文字语言：

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

强调：

法则的条件。

二．新课讲解：

1．做一做P48

问

（1）：

幂是如何变化的？

――――顺次成2倍关系。

（2）：

指数是如何变化的？

———依次少1。

2．想一想P49

猜想：

1＝2（）

依上规律得:

左=2÷2=1右=2（0）

所以20=1

即1=20

问:

猜想合理吗？

我们知道：

23÷23=8÷8=1

23÷23=23-3=20

所以我们规定a0=1（a≠0）

语言表述：

任何不等于0的数的0次幂等于1。

教师说明此规定的合理性。

3．议一议P59

问：

你会计算23÷24吗？

2×2×2

我们知道：

23÷24＝＝1／2

2×2×2×2

23÷24＝23-4=2-1

所以我们规定a-n=1/an（a≠0,n是正整数）

语言表述：

任何不等于0的数的－n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。

4．例题解析：

例1：

用小数或分数表示下列各数：

（1）

；

（2）

；（3）

说明：

强调运算过程，步骤尽可能细致些，以求学生对负整数指数幂公式的理解，体验。

5．练一练：

P49：

1、2、3、学生板演，教师评点。

三、小结：

本节课学习了零指数幂公式a0=1（a≠0），负整数指数幂公式a-n=1/an（a≠0,n是正整数），理解公式规定的合理性，

并能与幂的运算法则一起进行运算。

教学素材：

A组题：

（1）（－2／3）-2=

（2）（－3／2）-3=

（3）（－a）6÷（-a）-1=

说明：

所学法则对负整数指数幂依然适用。

（4）若（x+2）0无意义,则x取值范围是

（5）（n/m）-p=（这个可作公式用）

B组题：

（1）（－2／3）-2÷9-3·（1／27）2＝

（2）︱x︱﹦（x-1）0，则x=

学生回答

由学生自己先做（或互相讨论），然后回答，若有答不全的，教师（或其他学生）补充．

学生板演

作业

第51页第3、4题

教学后记

课题

8.3同底数幂的除法（3）

课时分配

本章需7课时

本节课为第6课时

负整数指数幂的应用

教学目标

进一步运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题。

重点

运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题。

难点

培养学生创新意识。

教学方法

讲练结合、探索交流

课型

新授课

教具

多媒体

教师活动

学生活动

一．复习提问

1．零指数幂

（1）符号语言：

a0=1（a≠0）

（2）文字语言：

任何不等于0的数的0次幂等于1。

2．负整数指数幂

（1）符号语言：

a-n=1/an（a≠0,n是正整数）

（2）文字语言：

任何不等于0的数的－n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。

说明：

学生板演公式，强调公式成立的条件。

3．订正作业错误

二新课讲解：

1.引例P60

太阳的半径约为700000000m。

太阳的主要成分是氢，而氢原子的半径大约只有0.00000000005m。

2．科学计数法表示

用科学计数法，可以把700000000m写成7×108m。

类似的，0.00000000005m可以写成5×10-11m。

一般地，一个正数利用科学计数法可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整数。

说明：

以前n是正整数，现在可以是0和负整数了。

3．例题解析

例1：

人体中的红细胞的直径约为0.0000077m,而流感病毒的直径约为0.00000008m,用科学计数法表示这两个量。

例2：

光在真空中走30cm需要多少时间？

（光的速度是3×108m/s）

例3：

在显微镜下，一种细胞的截面可以近似地看成圆，它的半径约为7.80×10-7m，试求这种细胞的截面面积（л≈3.14）

4．纳米

纳米简记为nm,是长度单位，1纳米为十亿分之一米。

即1nm=10-9m

刻度尺上的一小格是1mm,1nm是1mm的百万分之一。

难以相像1nm有多么小！

将直径为1nm的颗粒放在1个铅球上，约相当于将一个铅球放在地球上。

说明：

感受小数与感受100万对比，可适当向学生讲一下纳米技术的应用等。

5．练一练:

P501.2

学生板演，教师评点。

说明：

μm表示微米

1μm＝10-3mm＝10-6m

三、小结：

本节课学习运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题并初步感受小数。

教学素材：

用科学记数法表示

A组题：

（1）314000＝

（2）0．0000314＝

B组题：

（1）1986500≈（保留三个有效数字）

（2）7．25×10-4＝（写出原数）

（3）－0.00000213＝（保留两个有效数字）

说明:

书上a×10n中，其中1≤a＜10，n是整数。

实质上是1≤︱a︱＜10，n是整数。

学生回答

由学生自己先做（或互相讨论），然后回答，若有答不全的，教师（或其他学生）补充．

学生板演

作业

第51页第5、6、7题

教学后记

课题

第八章幂的运算

课时分配

本章需7课时

本节课为第7课时

小结复习课

教学目标

1.掌握同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方，知道它们的联系

和区别，并能运用它们熟练进行有关计算。

2.熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的意义,能与幂的运算法则一起进

行运算,并能解决有关问题。

重点

同上

难点

培养学生创新意识。

教学方法

讲练结合、探索交流

课型

新授课

教具

多媒体

教师活动

学生活动

一.小结与思考：

P52

1.学生默写法则,并说明公式成立的的条件.

2.回顾法则的倒出.

3.学生默写零指数幂、负整数指数幂公式,并说明公式成立的的条件.

4.学生活动,老师评点.

二.复习题

1.填空

（1）a·a7—a4·a4=

（2）（1/10）5×（1/10）3=

（3）（-2x2y3）2=

（4）（-2x2）3=

（5）0.5-2=

（6）（－10）2×（－10）0×10-2=

科学记数法表示:

（7）126000=

（8）0.00000126=

计算:

（9）（-2a）3÷a-2=

（10）2×2m+1÷2m=

2.选择题

（1）下列说法错误的是（）.

A.（a－1）0=1a≠1

B.（－a）n=－ann是奇数

C.n是偶数,（－an）3=a3n

D.若a≠0,p为正整数,则ap=1/a-p

（2）[（-x）3]2·[（-x）2]3的结果是（）

A.x-10B.-x-10

C.x-12D.-x-12

（3）1纳米=0.000000001m,则2.5纳米用科学记数法表示为（）米.

A.2.5×10-8B.2.5×10-9

C.2.5×10-1D.2.5×109

（4）am=3,an=2,则am-n的值是（）

A.1.5B.6C.9D.8

3.计算题

（1）（-1/2）2÷（-2）3÷（-2）–2÷（л-2005）0

（2）已知:

4m=a,8n=b,

求:

①22m+3n的值.

②24m-6n的值.

说明:

若题量不够可选P52复习题

学生回答

由学生自己先做（或互相讨论），然后回答，若有答不全的，教师（或其他学生）补充．

学生板演

作业

第52页,根据情况可选部分复习题.

教学后记

课题：

幂的运算的小结与思考

教学目标：

1、能说出幂的运算的性质；

2、会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步的依据；

3、能说出零指数幂、负整数指数幂的意义，能用熟悉的事物描述一些较小的正数，并能用科学记数法表示绝对值小于1的数；

4、通过具体例子体会本章学习中体现的从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法，渗透转化、归纳等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力。

教学重点：

运用幂的运算性质进行计算

教学难点：

运用幂的运算性质进行证明规律

教学方法：

引导发现，合作交流，充分体现学生的主体地位

一．梳理知识：

幂的运算：

1、同底数幂的乘法

2、幂的乘方

3、积的乘方

4、同底数幂的除法：

（1）零指数幂

（2）负整数指数幂

请你用字母表示以上运算法则。

你认为本章的学习中应该注意哪些问题？

二．例题精讲：

例1判断下列等式是否成立：

　　①（-x）2＝-x2，②（-x3）＝-（-x）3，

　　③（x-y）2＝（y-x）2，④（x-y）3＝（y-x）3，

　　⑤x-a-b＝x-（a+b），⑥x+a-b＝x-（b-a）．

例2：

已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．

例3：

若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．　

例4：

1993+9319的个位数字是（）

A．2B．4C．6D．8

三、随堂练习：

1、已知a=355，b=444，c=533，则有（）

A．a＜b＜cB．c＜b＜a

C．c＜a＜bD．a＜c＜b

2、已知3x=a，3y=b，则32x-y等于（）

3、试比较355，444，533的大小．

4、已知a=-0.32，b=-3-2，c=（-1/3）-2，d=（-1/3）0，比较a、b、c、d的大小并用“＜”号连接起来。

5、探究性学习：

在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家可归，假如你负责这些灾民，而你的首要工作就是要将他们安置好。

（1）假如一顶帐篷占地100m2，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？

（2）请计算一下这些帐篷大约要占多少地方？

（3）估计一下，你学校操场可以安置多少人？

（4）要安置这些人，大约需要多少个这样的操场？

四、课堂小结：

总结本节课的主要内容，可以让学生再提出一些问题。

五、布置作业：

P53复习巩固6、8、9、10