二次函数知识点复习.docx

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二次函数知识点复习

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1二次函数的概念：

一般地，形如yax2bxc（a,b,c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

这

里需要强调：

和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.

2.二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：

yax2的性质:

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

x0时，y随x

的增大而增大;

x0时,

y随

a0

向上

0,0

y轴

x的增大而减小;

x0时，

y有最小值0•

x0时，y随x

的增大而减小;

x0时，

y随

a0

向下

0,0

y轴

c2

2.yaxc

x的增大而增大;

x0时，

y有最大值

0.

的性质：

上加

下减。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

x0时，y随x

的增大而增大;

x0时,

y随

a0

向上

0,c

y轴

x的增大而减小;

x0时，

y有最小值

c.

x0时，y随x

的增大而减小;

x0时,

y随

a0

向下

0,c

y轴

3.

x的增大而增大;

x0时，

y有最大值

c.

2

yaxh

的性质：

左加右减。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a0

向上

h,0

X=h

xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随

x的增大而减小；xh时，y有最小值0.

a0

向下

h,0

X=h

xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随

x的增大而增大；xh时，y有最大值0.

2

4.yaxhk的性质:

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a0

向上

h,k

X=h

xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k.

a0

向下

h,k

X=h

xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随

x的增大而增大；xh时，y有最大值k.

数图象的平移

1.平移步骤：

2

方法一：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h,k；

⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:

向右（h>0）【或左（*0）]

平移|k|个单位

向右（h>0）【或左（h<0）]

平移|k|个单位

y=ax2

向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位

*-y=ax2+k

y=a（xh）2+k

向上（k>0）【或下（k<0）]平移|k个单位

向上（k>0）【或下（k<0）]

平移|k个单位

2

y=a（x-h）

向右（h>0）【或左（h<0）]

平移|k|个单位

2.平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”

方法二：

ax2bxc变成

2

⑴yaxbxc沿y轴平移向上（下）平移m个单位，y

yax2bxcm（或yax2bxcm）

2、..2

axbxc变成ya（xm）b（xm）c

（或ya（xm）2b（xm）c）

2.,

五、二次函数yaxbxc图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya（xh）2k，确定其开口方向、对称

轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图•一般我们选取的五点为：

顶点、与y轴的交点

2h,c、与x轴的交点Xi,0，X2,0（若与x轴没有交点,

0,c、以及0,c关于对称轴对称的点则取两组关于对称轴对称的点）

x轴的交点，与y轴的交点•

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与

2

六、二次函数yaxbxc的性质

1.

一般式：

y

2ax

2.

顶点式：

y

a（x

3.

两根式：

y

a（x

bxc（a,b,c为常数，a0）;

h）2k（a,h,k为常数，a0）;

Xi）（xX2）（a0,Xi,x是抛物线与x轴两交点的横坐标）

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛

2

物线与X轴有交点，即b4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化•

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0•

⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.

2・一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.

⑴在a0的前提下，当b0时，卫0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；当b0时，卫o,即抛

2a2a

物线的对称轴就是y轴；当b0时，—0，即抛物线对称轴在y轴的右侧.

2a

⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;

⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

十、二次函数与一元二次方程:

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与一元二次方程ax2bxc0是二次函数y图象与x轴的交点个数：

x轴交点情况）ax2bxc当函数值y0时的特殊情况

4ac0时，图象与x轴交于两点A

Xi,0,BX2,0（XiX2），其中的xi,x是一元二次方程

1'

2'

2ax

bx

0时,

0时,

0时,

c0a0的两根.这两点间的距离

图象与x轴只有一个交点;

图象落在x轴的上方，无论

图象落在x轴的下方，无论

0时，图象与

x为任何实数，都有y

x为任何实数，都有y

b24ac

x轴没有交点•

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交

点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标

下面以a0时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系：

0

抛物线与x轴有两个交点

一兀二次方程有两个不相等实根

0

抛物线与x轴只有一个交点

一兀二次方程有两个相等的实数根

0

抛物线与x轴无交点

一兀二次方程无实数根.

十一、函数的应用

刹车距离

二次函数应用何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

22

已知以x为自变量的二次函数y（m2）xmm2的图像经过原点，则m的值是

2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（）

3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

5

已知一条抛物线经过（0,3）,（4,6）两点，对称轴为x一，求这条抛物线的解析式。

3

4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

（1）确定抛物线的解析式；

（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5•考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1•已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2,0）、（xi,0）,且1

（O,2）的下方.下列结论：

①a

②2a+c>0:

③4a+c<0;④+2>0，其中正确结论的个数为（）

A1个B.2个C.3个D.4个

答案：

D

会用待定系数法求二次函数解析式例2.已知：

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为（）

A（2,-3）B.（2,1）C（2,3）D.（3,2）

答案：

C

15

例3、已知抛物线y=”+x-：

22

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴.

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.

【点评】本题

（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第

（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.

例4、“已知函数y-x2bxc的图象经过点A（c,—2）,II

2

求证：

这个二次函数图象的对称轴是x=3。

”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？

若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评：

对于第

（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函

数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c,—2）”，就可以列出两个方程了，而

解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。

对于第

（2）小题，只要给出的条件能够使求

出的二次函数解析式是第

（1）小题中的解析式就可以了。

而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考

虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

［解答］

（1）根据y—x2bxc的图象经过点A（c,—2）,图象的对称轴是x=3,

2\

12⑴加

2cbcc2，□

得b3

22

£

解得

3,

2.

3-/■5,x2

12

（2）在解析式中令y=0,得—x3x2

2

所以可以填“抛物线与

x轴的一个交点的坐标是（3+,5,0）”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是精选范本

（3、5,0）.

5令x=3代入解析式，得y,

2

15

所以抛物线y—x23x2的顶点坐标为（3,-）,

22

所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,5）等等。

2

函数主要关注：

通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函

数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例5、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?

与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

15

20

30

y（件）

25

20

10

若日销售量y是销售价x的一次函数.

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？

？

此时每日销售利润是多少元？

15kb25,

【解析】

（1）设此一次函数表达式为y=kx+b•贝U解得k=-1,b=40,?

即一次函数表达式

2kb20

为y=-x+40•

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225.

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

（1）设未知数在“当某

某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，？

“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；

（2）?

问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

例6、你知道吗？

平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处.绳

子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐

标系如右图所示）

（）

A.1.5mB.1.625m

C.1.66mD.1.67m

分析：

本题考查二次函数的应用答案：

B

二次函数单元测评

、选择题

1•下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（）

精选范本

D

7.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（a工0）的图象的顶点P的横坐标是4,

象交x轴于点A（m,0）和点B,且m>4，那么AB的长是（）

A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m

2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是（）

8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是（）

9.已知抛物线和直线'在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1,R（X1,y1）,卩2区,y2）是抛物线上的点，卩3区，丫3）是直线■'上的点，且-1

X3<-1，则y1,y2,y3的大小关系是（）

A.yi

B.y?

C.y3

D.y2

10把抛物线_：

1I的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的

函数关系式是（）

=—2（兀一1尸+6三一2（戈一1『一$c"=—2（兀+■百D^=—2（戈+1），-6

二、填空题

11.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是.

12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=（x-h）2+k的形式，贝Uy=.

13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为.

14.抛物线y=x2+bx+c，经过A（-1,0），B（3,0）两点，则这条抛物线的解析式为

15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三

角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式.

16.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度vo（m/s）竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情

1j

况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：

-（其中g是常数，通常取10m/s2）.若

V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面m.

17.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解

析式为

oo（a,-—）和

18.已知抛物线y=x2+x+b2经过点4，则y1的值是.

、解答下列各题

_3

19.若二次函数的图象的对称轴方程是…「并且图象过A（0，-4）和B（4，0）

（1）求此二次函数图象上点A关于对称轴-对称的点A'的坐标;

（2）求此二次函数的解析式；

20.在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+（k-5）x-（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0）、B（X2,0）,且（Xi+1）（X2+1）=-8.

（1）求二次函数解析式；

（2将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C,顶点为卩，求厶POC的面积.

21已知：

如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0,5）,另抛物线经过点（1,8）,M为它的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求厶MCB的面积SAMCB.

22某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下

关系：

在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出

200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.