湖南省株洲市届高三数学教学质量统一检测试题一理.docx
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湖南省株洲市届高三数学教学质量统一检测试题一理
株洲市2020届高三年级教学质量统一检测
（一）
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）
1.设全集,集合，集合，则（）
A．B．C．D．
2.在区间上任意取一个数，使不等式成立的概率为（）
A．B．C．D．
3.已知各项为正数的等比数列满足，则（）
A．64B．32C．16D．4
4.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的
最大值是（）
A.B.C.D.
6．若均不为1的实数、满足，且，则（）
A.B.C.D.
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A.B.C.D.
8．如图，边长为1正方形ABCD，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记，所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为，则函数的图像是（）
9．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著
《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，
若输入的值分别为、、，则输出和
的值分别为（）
A．B．C．D．
10．已知函数的图象关于轴对称，则的图象向左平移（）个单位，可以得到的图象．
A． B．C． D．
11．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形的的四个顶点，其中，
，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）
A．B．C．D．
12．已知正方体的棱长为2，M为CC1的中点．若AM⊥平面α，且B∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷上）
13．已知点P（2,1）在双曲线C：
的渐近线上，则C的离心率为.
14．的展开式中的常数项的值是 ．（用数字作答）
15．设的外心满足,则=错误！
未找到引用源。
错误！
未找到引用源。
．
16．数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：
1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则．（用数字作答）
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别是，已知，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求的值及的面积．
18.（本小题满分12分）如图
（1），等腰梯形，=2，=6，，E、F分别是的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点C和点D重合，记为点P．如图
（2），
（Ⅰ）求证：
平面平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.（本小题满分12分）
已知分别为椭圆C：
的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？
请说明理由．
20.（本小题满分12分）
某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为+1次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为．
（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若=0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；
（Ⅱ）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．
当=5，=0.1时，求的分布列；
试运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.
21.（本小题满分12分）
已知函数,其中为大于零的常数
（Ⅰ）讨论的单调区间；
（Ⅱ）若存在两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.（本小题满分10分）【选修4-4：
坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为
（Ⅰ）求直线的极坐标方程
（Ⅱ）设曲线与曲线的一个交点为点（不为极点），直线与的交点为，求.
23（本题满分10分）【选修4-5：
不等式选讲】
已知函数（为实数）
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）若，解不等式
2020届株洲市高三检测试题
（一）参考答案及评分标准
（理科数学）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
A
B
A
D
D
D
B
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．;14．60;15．;16.3993
三、解答题（本大题共6小题，共70分．）
17（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由得
由得
由正弦定理得-------------------------------------------6分
（Ⅱ）角A为锐角，则
由余弦定理得即或（舍去）
所以△ABC的面积-------------------------------------------12分
18．（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）E,F是CD的两个三等分点，
易知，ABEF是正方形，故BE⊥EF
又BE⊥PE,且PEEF=E
所以BF⊥面PEF
又BF面ABEF
所以面PEF⊥面ABEF-------------------------------------------5分
（Ⅱ）过P作PO⊥EF于O，过O作BE的平行线交AB于G，则PO⊥面ABEF
有所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系
则A（2，-1，0）,B（2，1，0）,E（0，1,0）,P（0，0，）-------------------------------------------6分
所以,
设平面PAE的法向量为
则---------------------------------------8分
设平面PAB的法向量为
则--------------------------------10分
即平面与平面所成锐二面角的余弦值
-------------------------------------12分
19．（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由题意，，，
的周长为，
，∴椭圆的标准方程为．-----------------------5分
（Ⅱ）假设存在常数满足条件。
（1）当过点的直线的斜率不存在时，，
∴，
∴当时，；---------------------------------------7分
（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
联立，化简得，
∴.-----------------------------------8分
∴
----------9分
∴，解得：
即时，；
综上所述，当时，．------------------------12分
20.（本题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，
设事件A：
3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率P（A）=----------------------------------3分
（Ⅰ）①当K=5，P=0.1时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为
P
-----------------------------------7分
②分组时，每人检验次数的期望如下
不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，
即
所以当时，用分组的办法能减少检验次数。
-----------------------------------12分
21．（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）-----------------------------------1分
（1）当时，在在上单调递增--------------------------2分
（2）当时，设方程的两根为
则
在上单调递增，上单调递减------------------------------5分
（Ⅱ）由（（Ⅰ））可知，且
由
所以-----------------------------------6分
设
令
当时，
故在上单调递减，所以
综上所述，时，恒成立。
-----------------------------------12分
22.（本小题满分10分）
选修4—4：
坐标系与参数方程
【解析】
（Ⅰ）-----------------------------------4分
（Ⅱ）法1：
由得-----------------------------------5分
点A的极坐标又点B在直线OA上，所以设B的极坐标为
由得，所以
----------------------------------10分
法2：
曲线与曲线的直角坐标为
由得点A的坐标----------------------------------5分
所以直线OA的方程为
由得点B的坐标为----------------------------------7分
所以
---------------------------------10分
或者：
------------------9分
---------------------------------10分
23.（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
【解析】
（Ⅰ）时，
所以的最小值为1--------------------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）①时，，
因为
所以此时解得：
--------------------------------------6分
②时，，
此时：
---------------------------------------------------7分
③时，，
此时无解；----------------------------------------------------------------8分
综上：
-----------------------------------------------10分
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