完整初三数学反比例函数知识点及经典例题推荐文档.docx

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初三数学反比例函数知识点及经典例题

一、基础知识

1.

定义：

一般地，形如y=k（k为常数，k≠o）的函数称为反比例函数。

xy=k还可以写成y=kx-1

x

2.反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数k≠0

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3.反比例函数的图像

⑴图像的画法：

描点法

①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

②描点（有小到大的顺序）

③连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，y=k（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，

x

函数值y≠0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y=x或y=-x）。

⑷反比例函数y=k（k≠0）中比例系数k的几何意义是：

过双曲线y=k

xx

（k≠0）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4.反比例函数性质如下表：

k的取值

图像所在象限

函数的增减性

k>o

一、三象限

在每个象限内，y值随x的增大而减小

k

二、四象限

在每个象限内，y值随x的增大而增大

5.反比例函数解析式的确定：

利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6.“反比例关系”与“反比例函数”：

成反比例的关系式不一定是反比例函数,

但是反比例函数y=k中的两个变量必成反比例关系。

x

7.反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数y=kx2k2+k-2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的

值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y=k，（k≠0）即y=kx

x

-1（k≠0）又在第二，四象限内，则k<0可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：

⎧2k2+k-2=-1⎪k=-1或k=1

⎨k<0解得⎨2

⎩

∴k=-1

⎩k<0

∴k=-1时函数y=kx2k2+k-2为y=-1

【例2】在反比例函数y=-

x

1的图像上有三点（x，y），（x，y），（x，y）

x112233

。

若x1>x2>0>x3则下列各式正确的是（）

A.y3>y1>y2B.y3>y2>y1C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：

由题意得y1

=-1

x1

，y2

=-1

x2

，y3

=-1

x3

x1>x2>0>x3，∴y3>y1>y2所以选A

解法二：

用图像法，在直角坐标系中作出y=-1的图像

x

描出三个点，满足x1>x2>0>x3观察图像直接得到y3>y1>y2选A

解法三：

用特殊值法

x1

>

x2

>0>x3

∴令x1

=2,x2

=1,x3

=-1∴y1=-

1

2,y2

=-1,y3

=1,∴y3

>

y1

>

y2

【例3】如果一次函数y=mx+n（m≠0）与反比例函数y=3n-m的图像相交于点

x

（1，2），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）

2

【解析】

3n-m⎛1⎫⎪1

m+n=2解得⎨⎧m=2

直线y=mx+n与双曲线y=x相交于ç，2⎪，∴⎨

⎝⎭⎩3n-m=1⎩

n=1

∴直线为y=2x+1,双曲线为y=

得⎨

⎧x1=-1

y=-1

⎩1

⎪x=1

⎨22

⎩y2=2

∴另一个点为（-1，-1）

1⎪y=2x+1

解方程组y=1

x⎩x

【例4】如图，在Rt∆AOB中，点A是直线y=x+m与双曲线y=m在第一象

x

限的交点，且S∆AOB=2，则m的值是.

图

解:

因为直线y=x+m与双曲线y=m过点A,设A点的坐标为（x,y）.

则有yA

=xA

+m,yA=

x

m.所以m=xxA

AA

AyA.

又点A在第一象限,所以OB=xA

=xA,AB=yA

=yA.

所以S=1OB∙AB=1xy=1m.而已知S=2.

∆AOB2

所以m=4.

三、练习题

2AA2∆AOB

I.选择题

1.

反比例函数y=-2的图像位于（）

x

A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限

2.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（）

A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（

）

xxxx

ABCD

4.

某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）

的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（

）

53534343

A、不小于m

4

B、小于m

4

C、不小于m

5

D、小于m

5

5.

如图，A、C是函数y=1的图象上的任意两点，过A作

x

x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则（）

A．S1＞S2B．S1

C．S1=S2D．S1与S2的大小关系不能确定

y=（2k-1）xk

3k2-2k-1

6、若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值是

（

）（A）

0

（B）

0或1

（C）

0或2

（D）

4

7、已知圆柱的侧面积是100cm2，若圆柱底面半径为r（cm2），高线长为h（cm），则h关于r的函数的图象大致是

（）

8.在同一坐标系中，函数

（）

y=ky=kx+3

x和的图像大致是

ABCD

y=k（k<0）

9.已知反比例函数x的图像上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且

x1

（）

A正数B负数C非正数D不能确定

y=（2m-1）xm2-2m

10.若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是

（）

1

A－1或1B小于2

定

的任意实数C－1Ｄ不能确

11.

如图，面积为2的ΔABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是

（）

12．如图所示，A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）y=1

是函数x的图象在第一象限分支上的三个点，且x1＜x2＜x3，

过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，

它们的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论中正确的是（）

A．S1

C．S2

13．若矩形的面积为6cm2，则它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表

示大致（）

x

A

II.填空题

xxx

BCD

y=3m-2

1.

已知反比例函数

象限内；

x，当m时，其图象的两个分支在第一、三

当m时，其图象在每个象限内y随x的增大而增大；

2.若直线

y=k1x（k1

≠0）

和双曲线

y=k2（k

x2

≠0）

在同一坐标系内的图象无交点，

则k1、k2的关系是；

y=k-3

3.若反比例函数x的图象位于一、三象限内，正比例函数

y=（2k-9）x过二、四象限，则k的整数值是；

4.反比例函数

y=k

x的图象经过点P（a，b），且a,b为一元二次方程

x2+kx+4=0的两根，那么点P的坐标是_，到原点的距离为

；

5.反比例函数

y=k

x的图象上有一点P（m，n），其坐标是关于t的一元二次

方程t2-3t+k=0的两个根，且点P到原点的距离为，则该反比例函数解析式为

ky=（k+k）xk

2k2-k-3

6、为何值时，是反比例函数，即=；

y=ax和y=4-a

7、已知函数x的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为

1，则两个函数图象的交点坐标是；

y=-k2-2

8、在函数x（k为常数）的图象上有三个点

1

（-2，y1），（-1，y2），（2，y3），函数值y1，y2，

y3的大小为；

9、如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数

y=k

x的图象上，另三点在坐标轴上，则k=.

y=k

10、反比例函数x与一次函数y=kx+m的图象有一个交点是（-2，1），则

它们的另一个交点的坐标是.

III.解答题

1.已知一次函数y=-x+8和反比例函数

y=k

x图象在第一象限内有两个不同的

公共点A、B．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若ΔAOB的面积S＝24，求k的值．

2.已知反比例函数

y=-3m

x和一次函数

y=kx-1

的图象都经过点

P（m

，-3m）

⑴求点P的坐标和这个一次函数的解析式；

⑵若点M（a，y1）和点N（a+1，y2）都在这个一次函数的图象上．试通过计算或利用一次函数的性质，说明y1大于y2

3.如图：

A，B是函数

y=1

x的图象上关于原点O对称的任意两点。

AC平行于

y轴，BC平行于x轴，求△ABC的面积。

4.已知□ABCD中，AB=4，AD=2，E是AB边上的一动点，设AE=x，DE延长线交CB的延长线于F，设CF=y，求y与x之间的函数关系。

DC

A

F

5.

关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=n+1的图象都经过点A（-

x

2，1）.

求：

（1）一次函数和反比例函数的解析式；

（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；

（3）△AOB的面积．

k

6.如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝x的图象交于

A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为

1

（2，m）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）

根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

7.某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．

（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．

（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

8.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.

（1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？

9.如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数

y=m的图象交于A（-2，1）、B（1，n）两点。

x

（1）求上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积。

四、课后作业

1.

对与反比例函数y=2，下列说法不正确的是（）

x

A．点（-2,-1）在它的图像上B．它的图像在第一、三象限C．当x>0时，y随x的增大而增大

D．当x<0时，y随x的增大而减小

2.

已知反比例函数y=k（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定

x

经过（）

A、（2，1）B、（2，-1）C、（2，4）D、（-1，-2）

3.在同一直角坐标平面内，如果直线y=kx与双曲线y=k2没有交点，那么

1x

k1和k2的关系一定是（）

A.k1+k2=0B.k1·k2<0C.

k

k1·k2>0D.k1=k2

4.反比例函数y＝x的图象过点P（－1.5，2），则k＝．

1

5.点P（2m－3，1）在反比例函数y＝x的图象上，则m＝．

6.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为

1-2m

．

7.已知反比例函数y=的图象上两点A（x,y）,B（x,y），当x<0

x

有y1

112212

8.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：

（1）求y和x之间的函数关系式；

（2）当x=8时，求y的值；（3）y＝-2时，x的值。

1+b

9.

已知b=3,且反比例函数y=的图象在每个象限内，y随x的增大而增

x

大,如果点（a,3）在双曲线上y=1+b，求a是多少？

x

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