精讲精练.docx
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精讲精练
【本讲教育信息】
一、教学内容：
投影与视图
1.投影
2.三视图
3.课题学习制作立体模型
二、课程学习目标
1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；
2.通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，使学生经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；
3.通过制作立体模型的课题学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，加强在实践活动中动手动脑、理论结合实际的能力.
三、知识结构框图
四、知识要点：
本章内容是初中数学知识的终结篇章，虽然在中考中所占的比例极为有限，但是考虑到这部分知识在生活、生产和科研中有广泛的应用，因此教师和学生都应给予足够的重视.本章也是今后进一步学习立体几何的基础，有助于学生增强立体图形与平面图形相互转化的意识和能力，培养空间想象能力.
1.投影
（1）引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；
（2）讨论当直线和平面多边形与投影面具有三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴含的正投影的一般规律；
（3）讨论立体图形与投影面具有不同的位置关系时的正投影.
整个讨论过程是按照对象维数是一维、二维和三维的顺序展开的.
例1、一个人晚上迎着路灯走时，他影子的变化方式为（）
A.由长变短B.由短变长C.保持不变D.不一定
分析：
利用路灯光线是点光源传播的道理，通过作图，便可得到解题方案。
答案：
A
例2、如图，把正方体的一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光线垂直，那么，该正方体在纸上的投影影子是（）
分析：
本题需要一定的空间想象能力，当太阳光线垂直照射到正方体的一个顶点上，在纸上的投影是个正六边形.
答案：
C
点评：
在本章的解题中，体现出立体成像的感官.
2.三视图
（1）物体的正投影就是物体的视图；平面图形的正投影是画简单几何体视图的基础.
（2）从物体正面得到的视图称为主视图，从它的左侧面得到的视图称为左视图，从它的上面得到的视图称为俯视图，把它们统称为三视图.
（3）画几何体的三视图时，要注意三个视图之间的相互位置关系，即“长对正、高平齐、宽相等”，用实线表示看得见的轮廓线，用虚线表示看不见的轮廓线.
（4）将几何体的表面展开在同一个平面上的图形就是这个几何体的平面展开图.
例1、如图
（1）放置的一个机器零件，若其主视图如图
（2），则其俯视图是（）
分析：
三视图包括主视图，俯视图，左视图；三视图的位置和度量规定：
长对正，高平齐，宽相等。
答案：
D
例2、一物体及其正视图如下图所示，则它的左视图与俯视图分别是右侧图形中的（）
A.①②B.③②C.①④D.③④
分析：
如何将简单立体图形（包括相应的表面展开图）转化成它的三视图？
答案：
B
例3、一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）
分析：
俯视图为三角形说明几何体的底面是个三角形，正视图和左视图是长方形说明是一个柱体，综上知为三棱柱。
答案：
C
点评：
由主视图判断俯视图和侧视图，根据长对正，高平齐，宽相等的特点和实际影观结合作图。
3.课题学习制作立体模型
本章内容与立体图形的联系密切，需要在图形的形状方面进行想象和判断，要完成的大多属于识图、画图类型的问题.其中，三视图是全章知识的核心内容，首先使学生了解投影和三视图的基本概念，然后分层次落实三视图的画法：
（1）基本几何体的三视图画法；
（2）组合体的三视图画法和识别（重点是正方体的组合体的三视图）；（3）由三视图想象出相应几何体的形状（不要求准确画出立体图形的直观图）；（4）能依据简单几何体的三视图（或展开图）进行计算.
例1、下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是（）
A.球体B.长方体C.圆锥体D.圆柱体
分析：
三视图中有两个长方形，说明不是圆锥体、球体；俯视图是圆，说明几何体不是长方体.
答案：
D
例2、下列三视图所对应的直观图是（）
分析：
由三视图可以看出底座是个长方形，由俯视图看出物体的上部是圆柱，由左视图确定圆柱体的高度
答案：
C
例3、如图，这是一幅电热水壶的主视图，则它的俯视图是（）
分析：
由实际物体的形状，A为主视图，B为左视图，D为俯视图.
答案：
D
点评：
结合实际动脑与动手并重的学习过程，通过主视图、左视图、俯视图，构造立体模型是解题的关键.
五、重点、难点：
重点：
1.中心投影和平行投影的识别；
2.根据三视图或平面展开图，识别物体的原型.
难点：
根据三视图，判别简单物体的立体模型.
【典型例题】
例题1、如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m。
⑴请在图中画出此时DE在阳光下的投影。
⑵在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请计算DE的长。
分析：
利用太阳光线平行传播的道理，通过作平行线可作图。
作出的两个三角形恰好相似，再依据相似三角形的对应边成比例，便可得到解题方案。
解：
⑴如图，连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC的延长线于点F，线段EF即为DE的投影。
⑵∵
∴
∵
∴
∽
∴
，∴
，∴DE=10m
【点评】利用路灯光线平行传播的道理，通过作平行线可作图。
作出的两个三角形恰好相似，再依据相似三角形的对应边成比例，便可得到解题方案。
例题2、如图，在晚上，身高是1.6m的王磊由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他身后的影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他再向前步行12m到达点Q时，发现他身前的影子的顶部刚好接触到路灯B的底部。
已知两个路灯的高度都是9.6m。
⑴求两个路灯之间的距离。
⑵当王磊走到路灯B时，他在路灯A照射下的影长是多少？
分析：
点光源发出的光线是直线传播的，由题意知，点D，M，A和C，N，B应分别在同一直线上，并且把人和路灯杆看成平行，从而构成相似三角形。
解：
（1）如图，因D，M，A和C，N，B分别共线，分别连接点D，M，A和C，N，B，设AP=BQ=x（m），由题意可知，
Rt△BNQ∽Rt△BCA
∴
，
解得x=3，又PQ=12m，AB=12+6=18m
（2）设王磊走到路灯B时，他在路灯A下的影长为EF=ym，
∵Rt△EFB∽Rt△ECA
∴
解得y=3.6，即他在路灯A下的影长为3.6m。
【点评】通过不同位置的移动，作出的两个三角形恰好相似，再依据相似三角形的对应边成比例，便可得到解题方案。
例题3、如图，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。
课外活动时，他们在阳光下测得一根长为1m的竹杆的影子是0.9m，但当他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们认为继续测量也可以求出树高。
随后测得落在地面的影长为1.1m，台阶总的高度为1.0m，水平总宽度为1.6m.请算一下树高是多少。
（假设两次测量时太阳线是平行的）
分析：
影子既落在地面上又落在台阶上，如果假设光线能穿透台阶，那么就转化为熟悉的比例线段的计算。
解：
延长BC交地面于点D，作CN⊥GA，N为垂点。
∵
∴
又
∴△EGF∽△BDA
∴
而易知AD=1.1+1.6+0.9=3.6m
所以大树的高度约为4m。
【点评】如何由物体得到其投影.客观世界中一般的物体形状都是三维的立体图形，而它们的影子则一般是二维平面图形，由物体产生投影是将立体图形转化为平面图形的过程.
例题4、如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是.
分析：
根据题中的三视图，不难发现几何体是个圆锥，由圆锥的侧面积公式可求.
解：
S=
=π×1×
=
【点评】解题关键为由三视图想出相应物体形状，是由平面图形得到相应立体图形的过程.两方面结合起来，就从不同角度反映了平面图形与立体图形是如何联系的.
例题5、图1是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（）
分析：
根据立方体的俯视图，几何体的前排有一个小正方体，后面有两个竖排，左侧有两个小正方体，右侧有三个小正方体；所以主视图可以看成是左二右三.
答案：
A
【点评】由题给的三视图中的俯视图来判断主视图，应根据俯视图塑造几何体的形状，再根据几何体来作出主视图.
例题6、如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“迎”相对的面上的汉字是（）
A、文B、明C、奥D、运
分析：
根据正方体展开图为六个小正方形，每个小正方形都可以找到其相对面，每个相对面都不相邻的特点判断.
答案：
A
【点评】正方体展开图是考试中经常考的内容，展开图有多种画法，要求能够熟练的记住几种展开图并判断.
思考题：
每一章节的题型是变化多样的，同学们根据上面所讲的内容，对下面这道题进行分析和理解.
在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来.如图所示，则这堆正方体货箱共有（）
A.9箱B.10箱C.11箱D.12箱
六、小结：
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.很明显，关于投影和视图的知识是从实际需要（建筑、制造等）中产生的，它们与实际问题联系得非常紧密.
【模拟试题】（答题时间：
50分钟）
一、选择题
1.圆形的物体在太阳光的投影下是（）
A.圆形B.椭圆形C.线段D.以上都不可能
2.如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（）
A.矩形B.两条线段
C.等腰梯形D.圆环
3.如图摆放的几何体的左视图是（）
4.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）
A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子和小强的影子一样长D.无法判断谁的影子长
5.“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是（）
6.下列左边的主视图和俯视图对应右边的哪个物体（）
7.小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（）
A.相交B.平行C.垂直D.无法确定
8.在一个晴朗的好天气里，小颖在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏，你知道小颖当时所处的时间是（）
A.上午B.中午C.下午D.无法确定
9.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是（）
A.①②③④B.④①③②C.④②③①D.④③②①
10.如图是“马头牌”冰激凌模型图，它的三视图是（）
二、填空题
11.下图是基本几何体的三视图，该基本几何体为.
12.皮影戏中的皮影是由投影得到的.
13.为测量旗杆的高度我们取一木杆直立在阳光下，其长为1.5米，在同一时刻测得旗杆的影长为10.5米.则旗杆的高度是.
14.如图是置于水平地面上的一个球形储油罐，小敏想测量它的半径.在阳光下，他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米（如示意图，AB＝10米）；同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，那么，球罐的半径是米.
15.圆锥底面展开后是，侧面展开后是.
三、思考题
*16.在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度。
在阳光下，测得身高1.65米的黄丽同学BC的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1米。
（1）请你在图中画出此时教学楼DE在阳光下的投影DF。
（2）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的高度（精确到0.1米）。
**17.如图所示，点
表示广场上的一盏照明灯.
（1）请你在图中画出小敏在照明灯
照射下的影子（用线段表示）；
（2）若小丽到灯柱
的距离为4.5米，照明灯
到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯
的仰角为
，她的目高
为1.6米，试求照明灯
到地面的距离（结果精确到0.1米）.
（参考数据：
，
，
）
【试题答案】
1.D2.C3.C4.D5.A6.B7.B8.A9.B10.B11.圆台12.中心投影
13.7米14.2.515.圆、扇形
*16.解：
（1）如图，注意AC与EF平行；
（2）由
，解得：
DE＝18.15≈18.2米
**17.解：
（1）如图，线段
是小敏的影子，（画图正确）
（2）过点
作
于
，
过点
作
于
，交
于点
，
则
在
中，
，
（米）
（米）
米
（米）
答：
照明灯P到地面的距离为5.9米
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