初一数学方法和思想专题.docx
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初一数学方法和思想专题
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文案大全初中数学思想和解题方法专题
一、学习指引
1．知识要点：
数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程思想
2．方法指引：
（1）数形结合法：
数学家华罗庚说得好：
“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体.数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解．
（2）分类讨论法：
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：
（1）分类中的每一部分是相互独立的；
（2）一次分类按一个标准；（3）分讨论应逐级进行．
（3）转化化归思想：
所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：
待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．（4）方程与函数思想：
方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函数思想．
二、分类突破
（一）数形结合
1．最小的正整数是_____最大的负整数是______绝对值最小的数是______2、大于-2.5而不大于4的整数有________个，分别是__________
3、绝对值小于3的非负整数是_________绝对值不大于4的整数是________4、设把连接起来”号用“且bbaababa?
?
?
?
?
?
,,.0,0。
点拨：
借助数轴可以让此类题形象直观，简便准确
5、化简三个数a、b、c在数轴上的对应点如图1，化简
accabba?
?
?
?
?
?
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文案大全
变式1、化简bacbca?
?
?
?
?
变式2、化简caaccbba?
?
?
?
?
?
?
点拨：
从图形中获取有用信息是解决此类题的关键
6、线段AB,延长AB到C，使BC=13AB，D为AC的中点，若AB＝9cm，则DC的长为
。
7、已知，线段AB=6cm，在直线AB上截取线段BC=4cm，若M，N分别是AB，BC中点
（1）求M，N两点间的距离。
（2）AB=acm，BC=bcm，其他条件不变，此时MN是多少？
（3）由
（1），
（2），你发现什么规律？
8、平面内，若45AOC?
?
?
，65BOC?
?
?
，则AOB?
?
；
点拨：
正确画出图形是突破此类题的关键
二、分类讨论法
1、解绝对值方程|x+5|+2=5
2、已知||3,||2,0,xyxyxy?
?
?
?
?
且则_______.
3
、已知的值，求的绝对值为互为倒数，互为相反数，且、smnbasnmabba?
?
?
3,,0
变式、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的平方是4，求200920082）（）（）（cdbaxcdbax?
?
?
?
?
?
?
的值。
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文案大全4、已知a为有理数且
a0
，则
+aa2=________
变式1、、已知a、b均为不等于0
的有理数，则代数式ababbbaa?
?
的值为
；
变式2
、求代数式aabbabab?
?
2的值为___________
变式3
、若ccbbaaabc32,0?
?
?
的所有可能值是__________点拨：
合理分类是解决这类题的关键
5、解关于x的方程
（2）1axb?
?
?
．
6、如果A、B、C在同一条直线上，线段AB=6cm，BC=2cm，则A、C两点间的距离是（）
A、8cmB、4cmC、8cm或4cmD、无法确定
变式1：
如果在同一条直线上顺次截取A、B、C，线段AB=6cm，BC=2cm，则A、C两点间的距离是（）
变式2、线段AB=6cm，BC=2cm，则A、C两点间的距离是（）
A、8cmB、4cmC、8cm或4cmD、无法确定
7、已知A、B、C三点共线，线段AB=60，M为其中点，线段BC=28，N为其中点，求MN的长。
（2）如果设AB=a，BC=b，表示出MN的长
（三）整体代入法
1、
（）19981....3121）（19991....211（）19981....211）（19991....3121?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变式1、已知代数式x＋2y的值是3，则代数式2x＋4y＋1的值是（）
变式2、．当代数式235xx?
?
的值为7时，代数式2392xx?
?
的值是_______
变式3、已知,5,222?
?
?
?
xyyxyx则222yxyx?
?
的值为（）
变式4、
已知代数式yxyx?
?
的值是3
，代数式）（3）（2yxyxyxyx?
?
?
?
?
的值为（）.
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文案大全变式5、当2?
x时，635?
?
?
axaxax的值为9，那么当2?
?
x时，多项式的值为（）
变式6、已知代数式yx?
?
9的值是3，代数式yx333?
?
的值为（）.
变式7、,3,2?
?
?
?
abba则）223（）4（）232（abababbaabba?
?
?
?
?
?
?
?
（）
思考：
已知：
1,21?
?
?
?
?
cbba求232）（）（）（cabcab?
?
?
?
?
的值.
2、【例6】如图：
C是线段AB上的一点，点D是线段AC的中点，点E是线段CB的中点。
①、如果ABa?
，ADb?
，求EB②、如果DEc?
求AB
5、如图,已知90AOB?
?
?
30BOC?
?
?
OM平分AOC?
ON平分BOC?
。
（1）求MON?
的度数；
（2）若
（1）中AOB?
?
?
其他条件不变,求MON?
的度数；
（3）若
（2）中BOC?
?
?
，其他条件不变,求MON?
的度数；
（4）从前3问中可以看出什么规律.
四、化归思想
所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：
待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．
1、20052004）135（）513（?
?
?
2、20001999）2（）2（?
?
?
点拨：
根据乘方的意义转化为乘法解决
3、）19991）（110001）（110011（）...120011（）120021（）120031（?
?
?
?
?
?
?
?
?
ABCOMN．
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文案大全
点拨：
由于负因数的个数无法确定，所以转化为等差数列的项数问题解决
变式：
（9-10）（10-11）…（101-102）（102-103）
4、11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；
变式、1995-1992+1989-1986+1983-……+15-12+9-6+3
5、①下图中共有
条线段，
个三角形。
点拨：
一条直线上的线段条数可以有序思考后转化为等差数列的求和。
数三角形和角可以转化为数线段问题。
生活中很多问题也可以用此法解决。
变式、一条汽车线路上共有7个站，用于这条线路上的车票最多________种。
②时钟在12点、1点、1点半、1点20分、1点57分时，时针和分针的夹角分别是
、
、
、
、
。
点拨：
钟表夹角问题可以转化为追及问题解决
6、先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先退到比较简单的情形：
如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙走的距离之和等于A1到A2的距离.
如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲乙和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放到别
处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，在是多出来的，一次P放在A2处是最佳选择.
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置.
问题⑴：
有n台机床时，P应设置在何处？
问题⑵：
根据问题⑴的结论,求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值.
B
C
DEFG
A
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文案大全五、方程的思想
1、已知方程3）2（1?
?
?
?
axaa是关于x的一元一次方程，试求字母a的值；
2、要使4?
?
x是方程0））（3（?
?
?
axx的解，则?
a
；
3、若25?
x与92?
?
x互为相反数，则x的值为
；
4、若2522?
nba与mnmba?
?
313是同类项，则?
?
nm32
；
5、若0）3（12?
?
?
?
ba，则关于x的方程03?
?
abx的解是（）
6、1B、－1C
、3abD、－27
、要使多项式221523102xkxyyxyx?
?
?
?
?
中，不含xy项，则k应取（）
A、―1B、1C、―14D
、14
8、已知方程1324?
?
?
xmx和方程1623?
?
?
xmx的解相同。
（1）求m的值；
（2）求代数式20062005）572（）2（?
?
?
mm的值；
8、如图，线段AB被点C、D分成了3︰4︰5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，求AB的长．
9、如图，∠AOC、∠BOD都是直角，且∠AOB与∠AOD的度数比是2︰11，求∠AOB和∠BOC的度数．
10、若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．
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文案大全六、特值法
1、已知y=31x-131x2-2xy+3y2-2的值是_________
点拨：
当已知代数式中有两个字母时可以用特值法更简单。
2、已知10?
?
a
，比较221,,,1aaaa的大小（）
七、排
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