数学建模1.docx
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数学建模1
数学建模实验报告
姓名：
聂成刚学号：
20111060171专业：
电科
主要实验内容：
1．路灯照明问题
2．数据插值
3．曲线拟合
2013年3月25日
路灯照明问题。
在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。
在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？
如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？
如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？
模型构建：
设h1和h2分别为两颗灯泡的距地面的高度，S为路面宽度S=20m,p1=2KW,p2=3KW.
经查阅资料知电光源的照亮公式为：
其中k=1,p为路灯的功率，则对两颗灯课分别得：
①
③
②
④
由以上四式代入数据可得：
代入数据化简得：
下面对用1stopt对其求取最大值与最小值
最小值：
代码如下：
Parametersx[0,20];
MinFunction10*（x^2+25）^（-3/2）+18*（36+（20-x）^2）^（-3/2）;
运行结果：
迭代数:
17
计算用时（时:
分:
秒:
毫秒）:
00:
00:
00:
43
计算中止原因:
达到收敛判定标准
优化算法:
麦夸特法（Levenberg-Marquardt）+通用全局优化法
函数表达式:
10*（x^2+25）^（-3/2）+18*（36+（20-x）^2）^（-3/2）
目标函数值（最小）:
0.0182439257161753
x:
9.33829913639241
最大值：
MaxFunction10*（x^2+25）^（-3/2）+18*（36+（20-x）^2）^（-3/2）;
运行结果：
迭代数:
16
计算用时（时:
分:
秒:
毫秒）:
00:
00:
00:
58
计算中止原因:
达到收敛判定标准
优化算法:
麦夸特法（Levenberg-Marquardt）+通用全局优化法
函数表达式:
10*（x^2+25）^（-3/2）+18*（36+（20-x）^2）^（-3/2）
目标函数值（最大）:
0.084476554921583
x:
19.9766958169811
由以上结果可知最亮点在19.977米处，最暗点在9.338米处。
当3kw的路灯在3米到9米之间变化时，即有
显然
是关于x与
的二元一次方程。
我们假设
是一个常数，那么
解得：
显然要舍去。
将利用代入并matlab编程求解：
h=solve（'-30*（20-2^（1/2）*h）/（（25+（20-2^（1/2）*h）^2）^（5/2））+9*h*（20-（20-2^（1/2）*h））/（（h^2+（20-（20-2^（1/2）*h））^2）^（5/2））=0'）
结果：
h=
7.4223928896768612557104509932959
则x=20-2^1/2*h=9.5032
h=7.4224;
x=9.5032;
I=10/（25+x^2）^（3/2）+3*h/（h^2+（20-x）^2）^（3/2）
I=
0.0186
如果两只路灯都在变化，方法基本上类似于第二问
分别对x,h1,h2求偏导数如下：
①
②
③
x=solve（'2/（h1^2+x^2）^（3/2）-6*h1^2/（h1^2+x^2）^（5/2）=0'）
x=solve（'3/（h2^2+（20-x）^2）^（3/2）-9*h2^2/（h2^2+（20-x）^2）^（5/2）=0'）
将③式中的h1与h2换掉化简得：
s=solve（'1/（（20-x）^3）=2/（3*（x^3））'）;
x=double（s）
a=（1/sqrt
（2））*x;
h1=double（a）
b=（1/sqrt
（2））*（20-x）;
h2=double（b）
x=
9.3253
7.3374+17.0093i
7.3374-17.0093i
h1=
6.5939
5.1883+12.0274i
5.1883-12.0274i
h2=
7.5482
8.9538-12.0274i
8.9538+12.0274i
则：
当x=9.3253;h1=6.5939;h2=7.5482最暗点的亮度最大。
数据插值
山区地貌：
在某山区测得一些地点的高程如下表3.8。
平面区域为
1200<=x<=4000,1200<=y<=3600）
试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
表3.8某山区高程表
y
x
1200
1600
2000
2400
2800
3200
3600
4000
1200
1130
1250
1280
1230
1040
900
500
700
1600
1320
1450
1420
1400
1300
700
900
850
2000
1390
1500
1500
1400
900
1100
1060
950
2400
1500
1200
1100
1350
1450
1200
1150
1010
2800
1500
1200
1100
1550
1600
1550
1380
1070
3200
1500
1550
1600
1550
1600
1600
1600
1550
3600
1480
1500
1550
1510
1430
1300
1200
980
先使用matlab编程画出初略图形：
x=1200:
400:
4000;
y=1200:
400:
3600;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
Z=[1130,1250,1280,1230,1040,900,500,700;
1320,1450,1420,1400,1300,700,900,850;
1390,1500,1500,1400,900,1100,1060,950;
1500,1200,1100,1350,1450,1200,1150,1010;
1500,1200,1100,1550,1600,1550,1380,1070;
1500,1550,1600,1550,1600,1600,1600,1550;
1480,1500,1550,1510,1430,1300,1200,980;];
surf（X,Y,Z）;
下面我们进行插值计算绘图
x=1200:
400:
4000;
y=1200:
400:
3600;
[xi,yi]=meshgrid（1200:
4000,1200:
3600）;
z=[11301250128012301040900500700;
13201450142014001300700900850;
139015001500140090011001060950;
15001200110013501450120011501010;
15001200110015501600155013801070;
15001550160015501600160016001550;
1480150015501510143013001200980];
最邻近插值法：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,'nearest'）;
mesh（xi,yi,zi）
title（'最邻近?
?
?
'）
xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
zlabel（'z'）;
其等高线：
C=contourf（xi,yi,zi）;
clabel（C）;
title（'?
?
?
?
'）
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,'linear'）;
mesh（xi,yi,zi）
title（'?
?
?
?
?
'）
xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
zlabel（'z'）;
等高线：
C=contourf（xi,yi,zi）;
clabel（C）;
title（'?
?
?
?
'）
三次样条插值：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,'spline'）;
mesh（xi,yi,zi）
title（'?
?
?
?
?
?
?
'）
xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
zlabel（'z'）;
等高线图;
C=contourf（xi,yi,zi）;
clabel（C）;
title（'?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
'）
立方插值法：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,'cubic'）;
mesh（xi,yi,zi）
title（'?
?
?
?
?
'）
xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
zlabel（'z'）;
等高线图：
C=contourf（xi,yi,zi）;
clabel（C）;
title（'?
?
?
?
?
?
?
?
'）
下面我们对上面四种插值方法进行比较
从以上插值法画出的图可以看出，最邻近插值法与线性插值、三次样条插值、立方插值有明显的不同，对人来说没有直观感。
而对于画出的等高线图可以看“出立方插值”画出的图出入数值最多，图像较为清晰细腻，贴近于生活。
曲线拟合
某年美国旧车价格的调查资料如下表所示，其中下xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。
试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yi
2615
1943
1494
1087
765
538
484
290
226
204
先使用matlab画出粗略图：
x=1:
10;
y=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204];
plot（x,y,'rh'）;
由图像观察得知，近似于指数曲线，故设
我们对两边取对数得到
变量代换
则
下面求系数
x=1:
10;
y=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204];
plot（x,y,'rh'）;
f=log（y）;
s=polyfit（x,f,1）
运行结果：
s=
-0.29698.1591
则:
k=0.2969;a=e^8.1591
用matlab将散点图与曲线图画在同一个图上
x=1:
10;
y=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204];
plot（x,y,'rh'）;
holdon
xx=1:
0.01:
10;
yy=exp（-0.2969.*x+8.1591）;
plot（x,yy）;
x=4.5;
y=exp（-0.2969*x+8.1591）
y=
918.7830
则4.5年后的价格大约是918.7830
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