二次函数的存在性问题之菱形包括答案doc.docx

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二次函数的存在性问题之菱形

2.如图，直线

与轴、

轴分别交于、两点，抛物线

1.如图，抛物线

y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，

经过

、两点，与

轴的另一个交点为

，连接．

与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

（3）在

（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；

（2）点在抛物线上，连接，当时，求点的

坐标；

（3）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，

沿线段由向运动，、的运动速度都是每秒个单位长度，当

点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点

，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边

形为菱形若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

3.如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的

交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k

＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

4.综合与探究

如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物

线y=﹣x2+bx+c经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式

（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点

M垂直于x轴的直线与

直线AC和抛物线分别交于点

P、N

若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

注：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）

5.如图，在平面直角坐标系中，四边形

ABCD是平行四边形，

AD=6，若OA、

OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且

OA＞OB．

（1）求OA、OB的长．

（2）若点M在平面直角坐标系内，则在直线

AB上是否存在点F，使以A、C、

F、M为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出

F点的坐标，若不存在，请说

明理由．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP

为对角线的四边形DMPN能否为菱形若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

7.如图，在平面直角坐标系中，直线

AB和抛物线交于点

A（﹣4，0），B（0，

4），且点B是抛物线的顶点．

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B

两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称

轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右

侧．

（1）求直线AB和抛物线的解析式．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、

（2）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上

M、N为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，

理由．请直接写出点M的坐标．

y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点

9.如图，抛物线

y=x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

8.如图，抛物线

A，B，C三点，

与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．

已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形

MOM′C，那么是

（2）若∠PBA=∠OBC，求点P的坐标；

否存在点M，使四边形MOM′C为菱形若存在，求出此时点

M的坐标；若不

（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以

DP为对角线的四边形DMPN

存在，说明理由；

能否为菱形若能，求出点

N的坐标；若不能，请说明理由．

10.抛物线y=

x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点

11.如图，抛物线

y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于A（﹣1，0）、B

（3，0）、C（0，3）三点．

C，顶点为

D，对称轴与

x轴交于点

H，过点

H的直线

m交抛物线于

P、Q两

点，其中点

P位于第二象限，点

Q在

y轴的右侧．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点

N，使得以

点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，求出所有符合条件的点

N坐

标；若不存在，说明理由．

（1）求D点坐标；

12.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与X轴交于点A、

B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的动点．

（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存

在点P，使得四边形POP′C为菱形若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由；

13.如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，

它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）

且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求出二次函数的解析式；

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存

在点P，使四边形POP′C为菱形若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，

请说明理由．

（1）求

m的值及该抛物线对应的解析式；

（2）点

Q是平面内任意一点，点

M从点

F出发，沿对称轴向上以每秒

1个单

位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为

四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点

不能，请说明理由．

t秒，是否能使以

M的运动时间

Q、A、E、M

t的值；若

14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数

y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B

两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，

B点的坐标为（3，0）．点

15.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=

与x轴交于A、

P是抛物线上一个动点，且在直线

BC的上方．

B两点（点A在点B的左侧），与

y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点

B作BC的垂线，交对称轴于点E．

（1）求证：

点E与点D关于x轴对称；

（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移

后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将

△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．

（1）求线段的长；

（2）点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作的垂线交

于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求

的最小值；

（3）在

（2）中，取得最小值时，将绕点顺时

针旋转后得到,过点作的垂线与直线交于点

，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使

得点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，

若不存在，请说明理由.

16.

如图，在平面直角坐标系中，点

在抛物线

上,且横坐标

为1，点

与点

关于抛物线的对称轴对称，直线

与

轴交于点

，

17.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形

ABCD的三个顶点B（1，0），（C3，

点

为抛物线的顶点，点

的坐标为

0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，

沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点

P，Q的运动速度均为每秒

1个单位．运动时间为

t秒．过点P作PE⊥AB交

（1）求抛物线的解析式；

AC于点E．

（2）如图2

，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛

物线

对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形

为菱形若存在，请求出点

F的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）

存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形请直接写出t的值．

18.已知，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴

交于点C．

答案解析部分

一、综合题

1.【答案】

（1）解：

∵抛物线

y=ax2+bx﹣2的对