湖南省永州市届高三下学期第三次模拟考试数学理试题含答案.docx
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湖南省永州市届高三下学期第三次模拟考试数学理试题含答案
湖南省永州市2019届高三下学期第三次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合
，
，若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．若复数
是纯虚数，且
（
，
是虚数单位），则
（）
A．
B．
C．1D．2
2．党的十九大报告明确提出：
在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）
4．双曲线
的焦点
轴上，若焦距为4，则
等于（）
A．1B．
C．4D．10
5．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合
，从集合
中任取一个元素
，则函数
在
是增函数的概率为（）
A．
B．
C．
D．
6．
的展开式中的常数项为（）
A．
B．6C．12D．18
7．设
的内角
的对边分别为
，已知
，则
（）
A．
B．
C．
D．
8．在
中，
，
，
，
是
上一点，且
，则
等于（）
A.1B.2C.3D.4
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．1B．2C．3D．6
10．已知椭圆
：
的右焦点为
，
为坐标原点，
为
轴上一点，点
是直线
与椭圆
的一个交点，且
，则椭圆
的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
11．三棱锥
的所有棱长都相等，
别是棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
12．若曲线
和
上分别存在点
和点
，使得
是以原点
为直角顶点的直角三角形，且斜边
的中点在
轴上，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．中国有个名句：
“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为.
14．已知实数
满足条件
，则
的最小值为.
15．函数
的部分图象如图所示，将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，若函数
在区间
上的值域为
，则.
16．记
为正项等比数列
的前
项和，若
，则
的最小值为.
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在等比数列
中，首项
，数列
满足
，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）记数列
的前
项和为
，又设数列
的前
项和为
，求证：
.
18．如图，在多面体
中，四边形
是菱形，
，
，
，
平面
，
，
，
是
的中点.
（1）求证：
平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成的角的正弦值.
19．某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为
三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：
已知
三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.
（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；
（2）现有如下两个方案供企业选择：
方案1：
企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：
企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.
20．设斜率不为0的直线
与抛物线
交于
两点，与椭圆
交于
两点，记直线
的斜率分别为
.
（1）求证：
的值与直线
的斜率的大小无关；
（2）设抛物线
的焦点为
，若
，求
面积的最大值.
21．已知
.
（1）若对任意的实数
，恒有
，求实数
的取值范围；
（2）当
时，求证：
方程
恒有两解.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线
过点
，且倾斜角为
，
.以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求直线
的参数方程和曲线
的直角坐标方程，并判断曲线
是什么曲线；
（2）设直线
与曲线
相交与
两点，当
，求
的值.
23．选修4-5：
不等式选讲
已知函数
.
（1）解不等式
；
（2）若对任意的
，均存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
永州市2018年高考第三次模拟考试试卷
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
1～5ACDCC6～10BCCBA11～12DA
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．
14．
15．
16．8
三、解答题：
（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．
解：
（Ⅰ）由
和
得
，所以
，
设等比数列
的公比为q，
，
，
解得
．（
舍去），
即
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，易知
为等差数列，
则
，
，
．
18．
解：
（Ⅰ）连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG//BE，BE
面BEF，OG在面BEF外，所以OG//面BEF；
又EF//AC，AC在面BEF外，A
C//面BEF，又AC
与OG相交于点O，
面ACG有两条相交直线与面BEF平行，故面ACG∥面BEF；
（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x
、y、z轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
设面ABF的法向量为
，依题意有
，
，令
，
，
，
，
，
直线AD与面ABF成的角的正弦值是
．
19．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为
X
25
P
Y
25
P
Z
40
P
保险公司的期望收益为
；
；
；
保险公司的利润的期望值为
，
保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．
（Ⅱ）方案1：
企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：
，
方案2：
企业与保
险公司合作，则企业支出保险金额为：
，
，故建议企业选择方案2．
20．（本小题满分12分）
解：
解：
（Ⅰ）设直线l：
，
，
，
，
．
联立
和
，得
，则
，
，
，
联立
和
得
，
在
的情况下，
，
，
，
所以
是一个与k无关的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
，而由
得
得m=4（m=0显然不合题意），
此时
，
，
，
，
点
到直线
的距
离
，
所以
，
（求面积的另法：
将直线l与y轴交点（0,4）记为E，则
，也可得到
）
设
，则
，
当且仅当
，即
时，
有最大值
．
21．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）要使f（x）＜g（x）恒成立，即使
成立，
整理成关于a的二次不等式
，
只要保证△＜0，
，
整理为
，
（i）
下面探究（i）式成立的条件，令
，
，
，当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，x=1时
有最小值
，
，
，
．
实数b的取值范围是（－1,2）．
（Ⅱ）方程
化为
，
令
，
，
在（0，＋∞）上单调递增，
，
，
存在
使
，即
，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取得最小值．
，
，
＜0，
，
，
在
和
各有一个零点，故方程
恒有两解．
22.（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）直线
的参数方程为
.
曲线
的直角
坐标方程
为
，即
，
所以曲线
是焦点在
轴上的椭圆.
（Ⅱ）将
的参数方程
代入曲线
的直角坐标方程为
得
，
，
得
，
，
2
3.（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）由
|，
得
，
∴
，得不等式的解为
.
（Ⅱ）
，
，
对任意的
均存
在
，使得
成立，
，
，解得
或
，即实数
的取值范围为：
或
．
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