历年高考真题汇编数列.docx
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历年高考真题汇编数列
历年高考真题汇编数列(含)
、(年新课标卷文)
已知等比数列血沖,厲=丄,公比?
=丄・
()S”为{©}的前项和,证明:
S“=晋
()设blt=log3+log3«2+•••+log3an,求数列{/?
”}的通项公式.
3
所以S〃—
(II)bn=10g36f1+10g3«24--+10g367/J=-(1+2+…….+〃)=_〃(〃+1)
2所以{仇}的通项公式为亿=一w
、(全国新课标卷理)等比数列仏}的各项均为正数,且2兔+3冬=W9%
()求数列匕}的通项公式.
()设b”=log3q+log3a2+……+log3an,求数列{£'的前项和.
解:
(1)设数列{}的公比为,由&=9恥§得&=9尤所以于气。
有条件可知〉,故q=*。
由2q+3a、=l得2q+3d、g=l,所以兔=丄。
故数列{}的通项式为丄。
1丄・33
(II)®=log4+log“+…+loga
=—(1+2+・・・+a)
_/?
(/?
+1)
_2
M12J1\
故厂==-2()
bnn(n+1)nn+1
土))=-
2n
H+l
所以数列{丄}的前项和为-旦
K"I
、(新课标卷理)
设数列仇}满足好2如-%=3・2才
(1)求数列匕}的通项公式;
(2)令bn=natl,求数列的前项和S”
解(I)由已知,当M时,an+l=[(a卄1一a”)+(a”一J+—{ci2-al)]+al
=3(2"t+22,,_3+…+2)+2=。
而务=2,所以数列{%}的通项公式为务=22n~lo
(II)由b„=na,t=n-22fl_1知
5n=l-2+2-23+3-25+...+/?
-22M_1①
从而22-5n=l-23+2-25+3-27+...+/7-22n+1②
①②得(1—2’)•S”=2+2’+2:
+…+2"t—n-22,,+1。
即s„=|[(3/?
-l)22,r+1+2]
、(年全国新课标卷文)
设等差数列{。
”}满足①=5,al0=-9。
(I)求{%}的通项公式;
(II)求{%}的前〃项和S“及使得S”最大的序号〃的值。
解:
()由()及,得
(d]+2d=5
1勺+9〃=-9
解得
J6=9l&=—2
数列{}的通项公式为。
()由()知咛^
因为()•
所以时,取得最大值。
、(年全国卷)
设数列{%}的前项和为S”,已知a2=6,6q+«2=30,求an和S”
、(辽宁卷)
已知等差数列{}满足,
()求数列{}的通项公式;
()求数列{笋}的前项和.
cl+d=0,解:
()设等差数列{©}的公差为,由已知条件可得彳1f
2勺+12d=-10,
解得if17
a=-1.
故数列{a”}的通项公式为an=2-n.分
()设数列{為的前川项和为S”,即以=坷+菩+・・.+答,故S】=],
222
S〃4丄冬丄丄匕
—=—I.
2242〃
所以,当”>1时,
2L•所以stl=-^.
2〃n2
综上,数列{缶}的前"项和s”=希.
、(年陕西省)已知{}是公差不为零的等差数列,=,且,,成等比数列.(I)求数列{}的通项;
(II)求数列{}的前项和.
解(I)由题设知公.差工,
由=,,,成等比数列得上2°=上犁,
1l+2d
解得・=,=(舍去),故{}的通项=(―)X=.
(1【)由(I)知2沪,由等比数列前项和公式得
2(1-2")
1-2
、(年全国卷)
设等差数列仏}的前〃项和为匚,公比是正数的等比数列仇}的前〃项和为人,已知©=1山=3,6+2=17,7;-5=12,求{a“},{®}的通项公式。
解:
设{%}的公差为d,{bn}的公比为q
由6+2=17得l+2d+3g'=17①
由7;-S3=12得q2+q—d=4②
由①②及彳〉0解得g=2,d=2
故所求的通项公式为an=2“-1也=3x2H_1
、(福建卷)
已知等差数列{}中,,•
()求数列{}的通项公式;
()若数列{}的前项和,求的值.
、(重庆卷)
设{%}是公比为正数的等比数列,al=2,al=al+4
(I)求⑺J的通项公式;
(II)设叫}是首项为,公差为的等差数列,求数列囤+%}的前“项和%.
、(浙江卷)
已知公差不为的等差数列他}的首项为HT,且丄,丄,丄成等勺a2a4
比数列.
(I)求数列S”}的通项公式;
(n>对试比较丄+—+Z+...+丄与丄的大小.
ci2a;a\a;ci{
解:
设等差数列{%}的公差为d,由题意可知(丄尸=丄•丄
即(q+d)‘=q(q+3d),从而aLd=d2因为d工0,所以d=q=o.
故通项公式a”=na.
(1【)解:
记7;=丄+—L+...+-L,因为色“=2"aCi2ci22・
1111111
所以%=_(++...+)=_•―=-[i-(-n
a222a丄a2
_2
从而,当a>0时,人<丄;当a<0时,7;>丄.
、(湖北卷)
成等差数列的三个正数的和等于,并且这三个数分别加上、、后成为
等比数列卩」中的.、I.、i:
O
0求数列卩」的通项公式;
0数列卩」的前项和为匚,求证:
数列+是等比数列。
Mi(I)设成第雄数列的三个正败分别为
依题童・得解鮒"5.
所以仇}中的4・6.・4依次为7-
依&童.有(7・WXIZd円00・解得・2或H■-门(會去〉.故的第3頊为5,公比为2・由鸟・4•公.即5・4・2*・解叭*・
所以仇}是以专为酋珮2为公比的等比效列.其通項公式为
(II)败列2」的解帀项和s•■斗挈“•匕‘・壬即$.*“・才'・
囚此以扌为甘序・公比为2的竽比敷列.
、(年山东卷)
已知等差数列伉}满足:
。
3=7,05+^7=26,伉}的前"项和为S”
(I)求碍及S”;
(II)令b,严亠(neN*)f求数列仇}的前n项和为7;。
勺-1
解:
(【)设等差数列{©}的首项为山,公差为d,
由于①=7,。
5+。
7=26,所以°i+2d=7,2d]+10d=26,
解得山=3,d=2,由于an=aY+(n-l)d,S“="⑷+
所以an=2n+1,Sn=n(n+2)
(H)因为an=2/?
+1,所以-1=4/?
(/7+1)
因此饥=
故Tll=b[+b2+-+bn=^-(l-^+^-^+--+-)
4223nn+1
=-(l-—)=——所以数列{»}的前"项和Tn=—^—
4n+14(〃+1)4(〃+1)
、(陕西卷)已知{}是公差不为零的等差数列,=,且,,成等比数列.(I)求数列{}的通项;(II)求数列{}的前项和.
(I)由题设知公•差工,
解得•=,=(舍去),故{}的通项=(―)x=.
(n)Fh(i)知2/,由等比数列前项和公式得
2(1-2”)
1-2
、(重庆卷)
已知{%}是首项为,公差为的等差数列,S”为匕}的前〃项和.
(I)求通项4”及S”;
(II)设{blt-alt}是首项为,公比为的等比数列,求数列他}的通项公
•式及其前〃项和7;•
解;
(1)因为是首项为坷=19,公差d»2的等差数列,
所以%=19-25-1)»2“+21,
S&二1九+"字)‘(-2)二.J+20”.
(U)由题意»讥=3二所以力訂“-加+21.
K+(l+3十•••+3")血+导
、(北京卷)
已知|a”|为等差数列,且6=-6,a6=0o
(I)求a|的通项公式;
(II)若等差数列|如满足b]=-8,b2=aL+a2+a5,求|如的前项和公式
解:
(【)设等差数列{%}的公差d。
a.+2d=—6
因为a.=-6,a6=0所以Q1,解得^=-10^=2
q+5d=0
所以an=-10+(7?
-1)-2=2w-12
(II)设等比数列{仇}的公比为q因为2=4+—+偽=一24,b=—8
所以_Sq=-24即g
所以{bH}的前〃项和公式为S“=AU=4(1-3”)
1-q
、(浙江卷)
设,为实数,首项为,公差为的等差数{}的前项和为,满足+=・
(I)若=・求及;
(ID求的取值范围.
解:
(I)由题意知亍
-『Sq+10d=5r,十所以〈1,解得加以
[a-5d=
(H)因为,所以(5a)(6a),即2a.
故(4a).所以M故的取值范围为
、(四川卷)
已知等差数列血}的前项和为,前项和为。
(I)求数列{"”}的通项公式;
(II)设2=(4-201(4工0牛“),求数列Q}的前项和S”
解:
(I)设的公差为也由已知得
J3c2l+3d=6.小少
<8©十2站=一4.严0”
解得aY=3,d=—1.
(5分)
故=3—(兀―1)=4—兀・
J71—1
口)由(I)得解答可得,久,于是
S”=l・q°+2・『+3・q2+…+加严
■
若少1,将上式两边同乘以有"T+2卯+…+G-1)•广+T两式相减得到
(q_HS“=H・q”_l—qL_q'旷
_呵q"_1_w"7_(〃+i)q"+i
S_w"T_(〃+l)q"+]
于是厂(小
1—1+2+3+—心
若旷1,则2
77(〃+l)z、
财曲一(〃+1)/+1(、
」,(M(T
、(上海卷)
证明:
{匕-1}是等比数列;
可得:
q=,=l—5勺—85,即©=-14。
()
同时二+]=(川+1)—5匕+]—85
从而由
(2)-
(1)可得:
d„+1=1-5@申一①)
即:
^l+1-l=-(«/r-l),ne/V\从而{cin-1}为等比数列,首项q—1=—15,公比为仝,
66
通项公式为①一1=一15*(|)"T,从而a”=一15*(》"一”+1
、(辽宁卷)
等比数列{%}的前项和为亿已知成等差数列
O求{%}的公比;
()求吓,求几
解:
(【)依题意有①+⑷+①①二彳⑷+①彳+①旷)
由于勺工°,故
2q"+q=0
又9工°,从而q2
a,-a^_丄尸=3
(ID由已知可得2
4(l-(-ha)只i
5n=1—=-(l-(-i)n)
1、39
1-(--)'2
从而2