历年高考真题汇编数列.docx
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历年高考真题汇编数列
历年高考真题汇编数列（含）
、（年新课标卷文）
已知等比数列血沖，厲=丄，公比？
=丄・
（）S”为｛©｝的前项和，证明：
S“=晋
（）设blt=log3+log3«2+•••+log3an,求数列｛/?
”｝的通项公式.
3
所以S〃—
（II）bn=10g36f1+10g3«24--+10g367/J=-（1+2+…….+〃）=_〃（〃+1）
2所以｛仇｝的通项公式为亿=一w
、（全国新课标卷理）等比数列仏｝的各项均为正数，且2兔+3冬=W9%
（）求数列匕｝的通项公式.
（）设b”=log3q+log3a2+……+log3an,求数列｛£'的前项和.
解：
（1）设数列｛｝的公比为，由&=9恥§得&=9尤所以于气。
有条件可知〉,故q=*。
由2q+3a、=l得2q+3d、g=l,所以兔=丄。
故数列｛｝的通项式为丄。
1丄・33
（II）®=log4+log“+…+loga
=—（1+2+・・・+a）
_/?
（/?
+1）
_2
M12J1\
故厂==-2（）
bnn（n+1）nn+1
土））=-
2n
H+l
所以数列｛丄｝的前项和为-旦
K"I
、（新课标卷理）
设数列仇｝满足好2如-％=3・2才
（1）求数列匕｝的通项公式；
（2）令bn=natl,求数列的前项和S”
解（I）由已知,当M时,an+l=［（a卄1一a”）+（a”一J+—｛ci2-al）］+al
=3（2"t+22,,_3+…+2）+2=。
而务=2,所以数列｛%｝的通项公式为务=22n~lo
（II）由b„=na,t=n-22fl_1知
5n=l-2+2-23+3-25+...+/?
-22M_1①
从而22-5n=l-23+2-25+3-27+...+/7-22n+1②
①②得（1—2’）•S”=2+2’+2：
+…+2"t—n-22,,+1。
即s„=|[（3/?
-l）22,r+1+2]
、（年全国新课标卷文）
设等差数列｛。
”｝满足①=5,al0=-9。
（I）求｛%｝的通项公式；
（II）求｛%｝的前〃项和S“及使得S”最大的序号〃的值。
解：
（）由（）及，得
（d]+2d=5
1勺+9〃=-9
解得
J6=9l&=—2
数列｛｝的通项公式为。
（）由（）知咛^
因为（）•
所以时，取得最大值。
、（年全国卷）
设数列｛%｝的前项和为S”,已知a2=6,6q+«2=30,求an和S”
、（辽宁卷）
已知等差数列｛｝满足，
（）求数列｛｝的通项公式；
（）求数列｛笋｝的前项和.
cl+d=0,解：
（）设等差数列｛©｝的公差为，由已知条件可得彳1f
2勺+12d=-10,
解得if17
a=-1.
故数列｛a”｝的通项公式为an=2-n.分
（）设数列｛為的前川项和为S”，即以=坷+菩+・・.+答,故S】=],
222
S〃4丄冬丄丄匕
—=—I.
2242〃
所以,当”>1时，
2L•所以stl=-^.
2〃n2
综上，数列｛缶｝的前"项和s”=希.
、（年陕西省）已知｛｝是公差不为零的等差数列，=,且，，成等比数列.（I）求数列｛｝的通项；
（II）求数列｛｝的前项和.
解（I）由题设知公.差工，
由=,,,成等比数列得上2°=上犁，
1l+2d
解得・=,=（舍去），故｛｝的通项=（―）X=.
（1【）由（I）知2沪,由等比数列前项和公式得
2（1-2"）
1-2
、（年全国卷）
设等差数列仏｝的前〃项和为匚，公比是正数的等比数列仇｝的前〃项和为人，已知©=1山=3,6+2=17,7；-5=12,求｛a“｝,｛®｝的通项公式。
解：
设｛%｝的公差为d,｛bn｝的公比为q
由6+2=17得l+2d+3g'=17①
由7；-S3=12得q2+q—d=4②
由①②及彳〉0解得g=2,d=2
故所求的通项公式为an=2“-1也=3x2H_1
、（福建卷）
已知等差数列｛｝中，，•
（）求数列｛｝的通项公式；
（）若数列｛｝的前项和，求的值.
、（重庆卷）
设｛%｝是公比为正数的等比数列，al=2,al=al+4
（I）求⑺J的通项公式；
（II）设叫｝是首项为，公差为的等差数列，求数列囤+%｝的前“项和％.
、（浙江卷）
已知公差不为的等差数列他｝的首项为HT，且丄，丄，丄成等勺a2a4
比数列.
（I）求数列S”｝的通项公式；
（n＞对试比较丄+—+Z+...+丄与丄的大小.
ci2a；a\a；ci｛
解：
设等差数列｛%｝的公差为d,由题意可知（丄尸=丄•丄
即（q+d）‘=q（q+3d）,从而aLd=d2因为d工0,所以d=q=o.
故通项公式a”=na.
（1【）解：
记7；=丄+—L+...+-L,因为色“=2"aCi2ci22・
1111111
所以％=_（++...+）=_•―=-[i-（-n
a222a丄a2
_2
从而，当a＞0时，人＜丄；当a＜0时,7；＞丄.
、（湖北卷）
成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为
等比数列卩」中的.、I.、i：
O
0求数列卩」的通项公式；
0数列卩」的前项和为匚，求证：
数列+是等比数列。
Mi（I）设成第雄数列的三个正败分别为依题童・得解鮒"5.
所以仇｝中的4・6.・4依次为7-
依&童.有（7・WXIZd円00・解得
所以仇｝是以专为酋珮2为公比的等比效列.其通項公式为
（II）败列2」的解帀项和s•■斗挈“•匕‘・壬即$.*“・才'・
囚此以扌为甘序・公比为2的竽比敷列.
、（年山东卷）
已知等差数列伉｝满足：
。
3=7，05+^7=26,伉｝的前"项和为S”
（I）求碍及S”；
（II）令b,严亠（neN*）f求数列仇｝的前n项和为7；。
勺-1
解：
（【）设等差数列｛©｝的首项为山，公差为d，
由于①=7,。
5+。
7=26,所以°i+2d=7,2d]+10d=26,
解得山=3,d=2,由于an=aY+（n-l）d,S“="⑷+
所以an=2n+1,Sn=n（n+2）
（H）因为an=2/?
+1,所以-1=4/?
（/7+1）
因此饥=
故Tll=b[+b2+-+bn=^-（l-^+^-^+--+-）
4223nn+1
=-（l-—）=——所以数列｛»｝的前"项和Tn=—^—
4n+14（〃+1）4（〃+1）
、（陕西卷）已知｛｝是公差不为零的等差数列，=,且，，成等比数列.（I）求数列｛｝的通项；（II）求数列｛｝的前项和.
（I）由题设知公•差工,
解得•=,=（舍去），故｛｝的通项=（―）x=.
（n）Fh（i）知2/,由等比数列前项和公式得
2（1-2”）
1-2
、（重庆卷）
已知｛%｝是首项为，公差为的等差数列，S”为匕｝的前〃项和.
（I）求通项4”及S”；
（II）设｛blt-alt｝是首项为，公比为的等比数列，求数列他｝的通项公
•式及其前〃项和7；•
解；
（1）因为是首项为坷=19,公差d»2的等差数列，
所以％=19-25-1）»2“+21,
S&二1九+"字）‘（-2）二.J+20”.
（U）由题意»讥=3二所以力訂“-加+21.
K+（l+3十•••+3"）血+导
、（北京卷）
已知|a”|为等差数列，且6=-6，a6=0o
（I）求a|的通项公式；
（II）若等差数列|如满足b]=-8,b2=aL+a2+a5,求|如的前项和公式
解：
（【）设等差数列｛%｝的公差d。
a.+2d=—6
因为a.=-6,a6=0所以Q1,解得^=-10^=2
q+5d=0
所以an=-10+（7?
-1）-2=2w-12
（II）设等比数列｛仇｝的公比为q因为2=4+—+偽=一24,b=—8
所以_Sq=-24即g
所以｛bH｝的前〃项和公式为S“=AU=4（1-3”）
1-q
、（浙江卷）
设，为实数，首项为，公差为的等差数｛｝的前项和为，满足+=・
（I）若=・求及；
（ID求的取值范围.
解：
（I）由题意知亍
-『Sq+10d=5r,十所以〈1,解得加以
[a-5d=
（H）因为，所以（5a）（6a）,即2a.
故（4a）.所以M故的取值范围为
、（四川卷）
已知等差数列血｝的前项和为，前项和为。
（I）求数列｛"”｝的通项公式；
（II）设2=（4-201（4工0牛“），求数列Q｝的前项和S”
解:
（I）设的公差为也由已知得
J3c2l+3d=6.小少
<8©十2站=一4.严0”
解得aY=3,d=—1.
（5分）
故=3—（兀―1）=4—兀・
J71—1
口）由（I）得解答可得，久,于是
S”=l・q°+2・『+3・q2+…+加严
■
若少1,将上式两边同乘以有"T+2卯+…+G-1）•广+T两式相减得到
（q_HS“=H・q”_l—qL_q'旷
_呵q"_1_w"7_（〃+i）q"+i
S_w"T_（〃+l）q"+]
于是厂（小
1—1+2+3+—心
若旷1,则2
77（〃+l）z、
财曲一（〃+1）/+1（、
」，（M（T
、（上海卷）
证明：
｛匕-1｝是等比数列;
可得：
q=,=l—5勺—85,即©=-14。
（）
同时二+]=（川+1）—5匕+]—85
从而由
（2）-
（1）可得：
d„+1=1-5@申一①）
即：
^l+1-l=-（«/r-l）,ne/V\从而｛cin-1｝为等比数列，首项q—1=—15,公比为仝,
66
通项公式为①一1=一15*（|）"T,从而a”=一15*（》"一”+1
、（辽宁卷）
等比数列｛%｝的前项和为亿已知成等差数列
O求｛%｝的公比；
（）求吓,求几
解：
（【）依题意有①+⑷+①①二彳⑷+①彳+①旷）
由于勺工°,故
2q"+q=0
又9工°,从而q2
a,-a^_丄尸=3
（ID由已知可得2
4（l-（-ha）只i
5n=1—=-（l-（-i）n）
1、39
1-（--）'2
从而2
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