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三角函数

【思考1】60o角、740o角、-135o角、-510o角,分别在哪一象限?

 

【思考2】在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条边与这个角相对应吗?

反之,在直角坐标系中,给定一条终边,就有唯一一个角与之相对应吗?

为什么?

【探索——终边相同角的表示】

阅读课本第4页上端内容,将课文补充完整,并回答下面的问题:

1、在直角坐标系中标出210°,-150°,570o角的终边,你有什么发现?

它们之间有何数量关系?

 

2、所有与角α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个集合表示出来?

 

即任一与角α终边相同的角,都可以表示成_________________________________。

【合作探究——终边相同角的应用】

1、阅读课本例题1至例题3,你有何不明白的地方?

小组讨论解决。

例题1课本第5页,练习4

 

例题2,写出终边在x轴负半轴上的角的集合;写出终边在坐标轴上的角的集合。

 

例题3,课本练习5

 

拓展练习

1.若角α与β终边相同,则一定有()

A.α+β=180°B.α+β=0°C.α-β=k·360°(k∈Z)D.α+β=k·360°(k∈Z)

2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于()

A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}

3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是()

A.β=α+90°B.β=α±90°C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)

4.集合Z={x|x=(2n+1)·180°,n∈Z},Y={x|x=(4k±1)·180°,k∈Z}之间的关系是()

A.Z

YB.Z

YC.Z=YD.Z与Y之间的关系不确定

5.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在(0°,360°)范围内终边与

角的终边相同的角是____.

6.若集合A={α|k·180°+30°<α

k∈Z},求A∩B.

7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.

1.1.2弧度制

学习目标

1、知道弧度的意义,掌握弧度与角度的换算公式

2、掌握弧长计算公式与扇形面积公式,并能运用公式解决一些简单问题

【重点、难点】弧度与角度的换算

【知识链接】:

终边相同角的表示、角度制

学习过程

【探索——弧度制的定义】

阅读课本第6页,回答下面的问题:

1、在角度制中,1度等于圆周角的__________

2、把长度等于__________________所对的___________叫做__________,用符号_________表示,读作________,我们把这样度量角的单位制叫做弧度制。

【探索——弧度制与角度制的换算】

1、阅读第6页探究,根据弧度制的定义,将表格补充完整,小组讨论解决,说说你发现的规律。

2、怎样理解“一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径的大小无关。

”这句话?

 

2、一般的,正角的弧度数是一个______;负角的弧度数是一个_______;零角的弧度数是_____。

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么,角α的弧度数的绝对值是?

 

3、用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也_________。

例如:

360o=rad

180o=rad(根据该等式,你能推导出什么结论?

 

例题1把

(1)36o

(2)-150o(3)1095o(4)22o30'(5)52o15'化成弧度,并写出与

(1)

(2)终边相同角的集合,注意做题格式

 

例题2,把

化成度

 

例题3,用公式

证明扇形面积公式

 

拓展练习

1、将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈[0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:

①—

;②

2.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是()

A.

B.

C.1D.π

3.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则()

A.扇形的面积不变

B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积增大到原来的2倍

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍

4.下列表示的为终边相同的角的是()

A.kπ+

与2kπ+

(k∈Z)B.

与kπ+

(k∈Z)

C.kπ-

与kπ+

(k∈Z)D.(2k+1)π与3kπ(k∈Z)

5.已知0<θ<2π,7θ角的终边与θ角的终边重合,则θ=________________.

 

6.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求扇形的中心角的弧度数.

 

7.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图4所示).

 

1.2.1任意角的三角函数(第1课时)

学习目标

1、借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义。

2、知道三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域。

3、知道正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号。

4、通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等。

【重点难点】:

重点:

任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等。

难点:

用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号;

学习过程

【探索——用坐标系中角的终边上点的坐标来表锐角三角函数】

问题①:

在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?

 

问题②:

根据下图,设线段OP的长度为r,你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?

sinα=

cosα=

tanα=

特别的,当r=1时:

sinα=cosα=tanα=

问题③:

在引进弧度制是,我们知道,

,当圆的半径为1时,

由谁决定?

问题④:

什么是单位圆?

问题⑤:

上述P点就是_________与___________的交点;因此,锐角三角函数可以用______________________表示。

同样的,我们可以利用单位圆定义___________

【探索——任意角的三角函数】

根据右图,回答下面问题:

(1)y叫做记作即

(2)x叫做记作即

(3)

叫做记作即

时,α的终边在__________,此时___________无意义。

正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以_________________或坐标的比值为函数值的__________,我们把它们统称为____________。

例1、求

的正弦、余弦、正切值

 

例2、已知α的终边经过点P(-6,8),求α的正弦、余弦和正切值。

 

【探索——三角函数的定义域及各象限函数值的符号】

三角函数

定义域

sinα

cosα

tanα

例3、求证:

当不等式组

成立时,角θ为第四象限角。

 

由三角函数的定义,我们可以知道:

终边相同角的____________________________相等。

公式一:

 

利用公式一,我们可以把求任意角的三角函数值,转化为求_____________角的三角函数值。

例题4确定下列三角函数值的符号:

(1)sin156o

(2)cos(-450o)(3)

(4)

(5)

 

例5求下列三角函数值:

(1)sin390°

(2)cos

(3)tan(-330°)

 

角α

0度

90度

180度

270度

360度

角α的弧度数

sinα

cosα

tanα

例题6求下列函数的定义域:

(1)y=sinx+cosx

(2)y=sinx+tanx(3)y=

+tanx

 

拓展练习

1.若

<θ<

则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是()

A.tanθ

C.cosθ

2.若0<α<2π,则使sinα<

和cosα>

同时成立的α的取值范围是()

A.(

)B.(0,

)C.(

2π)D.(0,

)∪(

2π)

3.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是_______.

4.已知点B、C在x轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x轴的正半轴,终边落在第二象限,点A在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα.

 

1.2.1任意角的三角函数(第2课时)

学习目标

1、认识正弦线、余弦线、正切线

2、已知一个角能作出该角的正弦线、余弦线和正切线。

【重点、难点】:

三角函数线的理解

学习过程

上一节,我们借助于单位圆,用单位圆上点的坐标或者坐标的比值来定义三角函数,那么,我们能从图形的角度,用其它方法来表示三角函数吗?

【探索——三角函数的几何表示】

问题1:

回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?

什么是有向线段?

请在单位圆上,作出角α的正弦线、余弦线、正切线。

 

y

x

 

归纳小结:

 

例1、如右图α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则

sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________

sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.

 

拓展练习

1、利用单位圆和三角函数线证明:

若α为锐角,则

(1)sinα+cosα>1;

(2)sin2α+cos2α=1.

 

1.若

<θ<

则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是()

A.tanθ

C.cosθ

2.若0<α<2π,则使sinα<

和cosα>

同时成立的α的取值范围是()

A.(

)B.(0,

)C.(

2π)D.(0,

)∪(

2π)

3.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是_______.

4.如图14,点B、C在x轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x轴的正半轴,终边落在第二象限,点A在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα.

 

1.2.2同角三角函数的基本关系

学习目标

1、会用三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明;

2、同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:

(1)求值(知一求二);

(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式。

3、明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明。

【重点难点】:

1、课本的三个公式的推导及应用;2、课本的三个公式的推导及应用。

学习过程

【探索——同角三角函数的基本关系】

1、计算,你有何发现?

(1)sin290°+cos290°;

(2)sin230°+cos230°;(3)

(4)tan60o

 

2、根据三角函数的定义,你能证明出上述结论吗?

 

例1

(1)已知sinα=

并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.

(2)已知cosα=

求sinα,tanα的值.

 

例题2、化简

(1)

;

(2)

 

(3)

(4)(1+tan2α)cos2α;

 

例题3、证明

 

拓展练习

1.如果sinx+cosx=

且0

A.

B.

C.

D.

2.若sinθ-cosθ=

则sinθ·cosθ=_______,tanθ+

=_______,

sin3θ-cos3θ=________,sin4θ+cos4θ=_________.

3.已知tanα=

求下列各式的值:

(1)

(2)2sin2α+sinα·cosα-3cos2α.

 

4.已知tan2α=2tan2β+1,求证:

sin2β+1=2sin2α.

 

1.3三角函数的诱导公式

学习目标:

1、知道诱导公式的推导过程;提高逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想。

2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用。

【重点难点】:

1、二~六诱导公式的推导和灵活运用;三角函数式的求值、化简和证明等。

学习过程

【探索——三角函数诱导公式的推导过程】

问题1

①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?

②它们与单位圆的交点的位置关系如何?

P1与P2的坐标有何关系?

(图形表示):

③任意角α与180°+α呢?

公式二:

 

问题2

①-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

图形表示:

②终边与单位圆交点的坐标有何关系?

由此你能得出什么结论?

公式三:

 

问题3

①π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

图形表示:

②终边与单位圆交点的坐标有何关系?

由此你能得出什么结论?

公式四:

 

综上,你能概括一下上述三个诱导公式吗?

怎样理解“前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”这句话?

通过上述公式,任意角的三角函数都可以转化为_________角三角函数来计算。

例题1、求下列各式的值:

(1)sin(

π).

(2)

(3)化简:

 

例题2、求证

 

问题4

①终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?

图形表示:

②角α与角

的终边与单位圆交点的坐标有何关系?

公式五:

 

问题5

你能否用前面所学的公式推导出公式六呢?

公式六:

 

例题1、证明:

(1)

(2)

 

例题2、化简

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