三角函数.docx

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三角函数

【思考1】60o角、740o角、-135o角、-510o角，分别在哪一象限？

【思考2】在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条边与这个角相对应吗？

反之，在直角坐标系中，给定一条终边，就有唯一一个角与之相对应吗？

为什么？

【探索——终边相同角的表示】

阅读课本第4页上端内容，将课文补充完整，并回答下面的问题：

1、在直角坐标系中标出210°，-150°，570o角的终边，你有什么发现？

它们之间有何数量关系？

2、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个集合表示出来？

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成_________________________________。

【合作探究——终边相同角的应用】

1、阅读课本例题1至例题3，你有何不明白的地方？

小组讨论解决。

例题1课本第5页，练习4

例题2，写出终边在x轴负半轴上的角的集合；写出终边在坐标轴上的角的集合。

例题3，课本练习5

拓展练习

1.若角α与β终边相同,则一定有（）

A.α+β=180°B.α+β=0°C.α-β=k·360°（k∈Z）D.α+β=k·360°（k∈Z）

2.集合A={α｜α=k·90°-36°,k∈Z},B={β｜-180°<β<180°},则A∩B等于（）

A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}

3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是（）

A.β=α+90°B.β=α±90°C.β=α+90°+k·360°（k∈Z）D.β=α±90°+k·360°（k∈Z）

4.集合Z={x｜x=（2n+1）·180°,n∈Z},Y={x｜x=（4k±1）·180°,k∈Z}之间的关系是（）

A.Z

YB.Z

YC.Z=YD.Z与Y之间的关系不确定

5.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在（0°,360°）范围内终边与

角的终边相同的角是____.

6.若集合A={α｜k·180°+30°<α

k∈Z},求A∩B.

7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.

1.1.2弧度制

学习目标

1、知道弧度的意义，掌握弧度与角度的换算公式

2、掌握弧长计算公式与扇形面积公式，并能运用公式解决一些简单问题

【重点、难点】弧度与角度的换算

【知识链接】：

终边相同角的表示、角度制

学习过程

【探索——弧度制的定义】

阅读课本第6页，回答下面的问题：

1、在角度制中，1度等于圆周角的__________

2、把长度等于__________________所对的___________叫做__________，用符号_________表示，读作________，我们把这样度量角的单位制叫做弧度制。

【探索——弧度制与角度制的换算】

1、阅读第6页探究，根据弧度制的定义，将表格补充完整，小组讨论解决，说说你发现的规律。

2、怎样理解“一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关。

”这句话？

2、一般的，正角的弧度数是一个______；负角的弧度数是一个_______；零角的弧度数是_____。

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么，角α的弧度数的绝对值是？

3、用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也_________。

例如：

360o=rad

180o=rad（根据该等式，你能推导出什么结论？

）

例题1把

（1）36o

（2）-150o（3）1095o（4）22o30＇（5）52o15＇化成弧度，并写出与

（1）

（2）终边相同角的集合，注意做题格式

例题2，把

与

化成度

例题3，用公式

证明扇形面积公式

拓展练习

1、将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α（k∈Z,α∈［0,2π））的形式，并指出它们所在的象限：

①—

；②

2.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是（）

A.

B.

C.1D.π

3.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则（）

A.扇形的面积不变

B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积增大到原来的2倍

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍

4.下列表示的为终边相同的角的是（）

A.kπ+

与2kπ+

（k∈Z）B.

与kπ+

（k∈Z）

C.kπ-

与kπ+

（k∈Z）D.（2k+1）π与3kπ（k∈Z）

5.已知0<θ<2π,7θ角的终边与θ角的终边重合,则θ=________________.

6.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求扇形的中心角的弧度数.

7.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界,如图4所示）.

1.2.1任意角的三角函数（第1课时）

学习目标

1、借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义。

2、知道三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域。

3、知道正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号。

4、通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等。

【重点难点】：

重点：

任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等。

难点：

用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；

学习过程

【探索——用坐标系中角的终边上点的坐标来表锐角三角函数】

问题①：

在初中时我们学了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？

问题②：

根据下图，设线段OP的长度为r，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

sinα=

cosα=

tanα=

特别的，当r=1时：

sinα=cosα=tanα=

问题③：

在引进弧度制是，我们知道，

，当圆的半径为1时，

由谁决定？

问题④：

什么是单位圆？

问题⑤：

上述P点就是_________与___________的交点；因此，锐角三角函数可以用______________________表示。

同样的，我们可以利用单位圆定义___________

【探索——任意角的三角函数】

根据右图，回答下面问题：

（1）y叫做记作即

（2）x叫做记作即

（3）

叫做记作即

当

时，α的终边在__________，此时___________无意义。

正弦、余弦、正切都是以_________为自变量，以_________________或坐标的比值为函数值的__________，我们把它们统称为____________。

例1、求

与

的正弦、余弦、正切值

例2、已知α的终边经过点P（-6，8），求α的正弦、余弦和正切值。

【探索——三角函数的定义域及各象限函数值的符号】

三角函数

定义域

sinα

cosα

tanα

例3、求证：

当不等式组

成立时，角θ为第四象限角。

由三角函数的定义，我们可以知道：

终边相同角的____________________________相等。

公式一：

利用公式一，我们可以把求任意角的三角函数值，转化为求_____________角的三角函数值。

例题4确定下列三角函数值的符号：

（1）sin156o

（2）cos（-450o）（3）

（4）

（5）

例5求下列三角函数值:

（1）sin390°

（2）cos

（3）tan（-330°）

角α

0度

90度

180度

270度

360度

角α的弧度数

sinα

cosα

tanα

例题6求下列函数的定义域：

（1）y=sinx+cosx

（2）y=sinx+tanx（3）y=

+tanx

拓展练习

1.若

<θ<

则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是（）

A.tanθ

C.cosθ

2.若0<α<2π,则使sinα<

和cosα>

同时成立的α的取值范围是（）

A.（

）B.（0,

）C.（

2π）D.（0,

）∪（

2π）

3.在（0,2π）内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是_______.

4.已知点B、C在x轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x轴的正半轴,终边落在第二象限,点A在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα.

1.2.1任意角的三角函数（第2课时）

学习目标

1、认识正弦线、余弦线、正切线

2、已知一个角能作出该角的正弦线、余弦线和正切线。

【重点、难点】：

三角函数线的理解

学习过程

上一节，我们借助于单位圆，用单位圆上点的坐标或者坐标的比值来定义三角函数，那么，我们能从图形的角度，用其它方法来表示三角函数吗？

【探索——三角函数的几何表示】

问题1：

回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?

什么是有向线段?

请在单位圆上，作出角α的正弦线、余弦线、正切线。

y

x

归纳小结：

例1、如右图α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A（1,0）作切线AT,交射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则

sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________

sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.

拓展练习

1、利用单位圆和三角函数线证明:

若α为锐角,则

（1）sinα+cosα>1;

（2）sin2α+cos2α=1.

1.若

<θ<

则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是（）

A.tanθ

C.cosθ

2.若0<α<2π,则使sinα<

和cosα>

同时成立的α的取值范围是（）

A.（

）B.（0,

）C.（

2π）D.（0,

）∪（

2π）

3.在（0,2π）内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是_______.

4.如图14,点B、C在x轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x轴的正半轴,终边落在第二象限,点A在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα.

1.2.2同角三角函数的基本关系

学习目标

1、会用三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明；

2、同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：

（1）求值（知一求二）；

（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式。

3、明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明。

【重点难点】：

1、课本的三个公式的推导及应用；2、课本的三个公式的推导及应用。

学习过程

【探索——同角三角函数的基本关系】

1、计算，你有何发现？

（1）sin290°+cos290°;

（2）sin230°+cos230°;（3）

（4）tan60o

2、根据三角函数的定义，你能证明出上述结论吗？

例1

（1）已知sinα=

并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.

（2）已知cosα=

求sinα,tanα的值.

例题2、化简

（1）

;

（2）

（3）

（4）（1+tan2α）cos2α;

例题3、证明

拓展练习

1.如果sinx+cosx=

且0

A.

B.

或

C.

D.

或

2.若sinθ-cosθ=

则sinθ·cosθ=_______,tanθ+

=_______,

sin3θ-cos3θ=________,sin4θ+cos4θ=_________.

3.已知tanα=

求下列各式的值:

（1）

（2）2sin2α+sinα·cosα-3cos2α.

4.已知tan2α=2tan2β+1,求证:

sin2β+1=2sin2α.

1.3三角函数的诱导公式

学习目标：

1、知道诱导公式的推导过程；提高逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想。

2、通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用。

【重点难点】：

1、二~六诱导公式的推导和灵活运用；三角函数式的求值、化简和证明等。

学习过程

【探索——三角函数诱导公式的推导过程】

问题1

①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?

②它们与单位圆的交点的位置关系如何?

P1与P2的坐标有何关系？

（图形表示）：

③任意角α与180°+α呢?

公式二：

问题2

①-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

图形表示：

②终边与单位圆交点的坐标有何关系？

由此你能得出什么结论？

公式三：

问题3

①π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

图形表示：

②终边与单位圆交点的坐标有何关系？

由此你能得出什么结论？

公式四：

综上，你能概括一下上述三个诱导公式吗？

怎样理解“前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”这句话？

通过上述公式，任意角的三角函数都可以转化为_________角三角函数来计算。

例题1、求下列各式的值：

（1）sin（

π）.

（2）

（3）化简：

例题2、求证

问题4

①终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?

图形表示：

②角α与角

的终边与单位圆交点的坐标有何关系？

公式五：

问题5

你能否用前面所学的公式推导出公式六呢？

公式六：

例题1、证明：

（1）

（2）

例题2、化简