平面几何练习题.docx
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平面几何练习题
平面几何选讲练习题
4•如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.
BF
（1）求的值；
FC
（2）若厶BEF的面积为S，四边形CDEF的面
5.已知C点在圆0直径BE的延长线上，CA切圆0于A点，DC是ACB的平分线
交AE于点F,交AB于D点.
（1）求ADF的度数；
（2）若AB=AC，求AC:
BC
6.自圆0外一点P引切线与圆切于点
求证：
/MCP=/MPB.
7
.如图，AD是O0的直径，AB是O0于点M、N,直线BMN交AD的延长线于点C,
BMMNNC,AB2，求BC的长和O0的半径•
8•如图，AB是O0的直径，C,F为O0上的点，CA是/BAF的角平分线，过点C作
CD丄AF交AF的延长线于D点，CM丄AB，垂足为点M.
（1）求证：
DC是O0的切线；
（2）求证：
AM•MB=DF•DA.
9.如图，已知AP是O0的切线，P为切点，AC圆心0在PAC的部，点M是BC的中点•
（I）证明A,P,O,M四点共圆;
（n）求/OAM+ZAPM的大小.
10.如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点A，过A点作直线AP垂直直线OM,
垂足为P.
（I）证明：
OM•OP=OA2
（n）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线
交直线ON于K.证明：
/OKM=90
11.如图，在四边形ABCD中，△ABCBAD.
求证：
AB//CD.
12.已知ABC中，AB=AC,D是ABC外接圆劣弧
AC上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。
（1）求证：
AD的延长线平分CDE;
（2）若BAC=30,ABC中BC边上的高为2+3,
求ABC外接圆的面积。
13.如图，已知
ABC的两条角平分线AD和CE相交
于H,B60°,F在AC上，且AEAF。
（I）证明：
B,D,H,E四点共圆:
14.已知：
如右图，在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交
BA的延长线于点E.求证：
（1）△ABC◎△DCB
（2）DE•DC=AE•BD.
AP=3,
则CP=
（）
A.；'3
B.2：
'3
C.2：
‘3-1D.
2/3+1
16.已知AB是圆
O的直径，弦AD、
BC相交于点P,那么CD
:
AB等于/BPD的（
）
15.在圆O的直径CB的延长线上取一点A,AP与圆O切于点P,且/APB=30
A.正弦B.余弦
C.正切
D.余切
17.如图所示，已知D是厶ABC中AB边上一点，DE//BC且交AC
于E,EF//AB且交BC于F,且S^ade=1,S^efc=4，则四边
形BFED的面积等于（）
A.2B.3
C.4D.5
18.AD、AE和BC分别切OO于D、EF,如果AD=20,
则厶ABC的周长为（）
1
A.20B.30C.40D.35一
2
5.如图所示，AB是半圆的直径，弦AD、BC相交于P,已知/DPB
=60°,D是弧BC的中点，贝Utan/ADC=.
19•如图所示，圆0上一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,
BD=8,则圆0的半径长为•
20.如图，AB是半圆0的直径，/BAC=30°,
BC为半圆的切线，且BC=4：
3,则点0到
AC的距离0D=.
平面几何选讲练习题答案
1.
（1）证明：
连接AB,TAC是OOi的切线，•••/BAC=/D,又•••/BAC=/E,「./D=/E°「.AD//EC（4分）
（2）设BP=x,
PE=y,TPA=6
PC=2,•
xy=12，①
•/AD//EC,•
.DPAP
9
x6—
②,
PEPC
y
2
由①②可得，
x3亠x
12
（舍去）•
或
DE=9+x+y=16,
y4y
1
•/AD是OO2
的切线，
•••AD2=DB?
DE=9X16,
•••AD=12。
（6分）
2•证法一：
•••ACOB,•（AGB二90补,
又AD是OO的直径，•••[DCA二90・,
又•/[BAG二/ADC（弦切角等于同弧对圆周角）4分
BA■竺,又•••OG
Rt△AGBsRt△DCA5分
AC•-GCAG7分
BA■GC
AD■DC
即BA?
DC=GC?
AD10
证法二：
•••BA与OO相切于A
•[bAO二90：
又AG_[BO于G,
•[abg二[goa
Rt△BGAsRt△AGO
①…
BA■AO
AG・OG
OG弦AC于G,•G为AC的中点
又•/O为直径AD的中点,
AO■1AD,OG■1DC
22
BA
AG
-DC
AD
DC
BA?
DC=GC?
AD
10
AB=AC=3a
，贝UAE=BD=a,
CF=..2a.
CE
（1）-
CB
2a
3、2a
v'2CFV2a
T，ca
3a
2
~3
又/C公共，故△
•••/EFC=90°
BACEFC，由/,•EF±BC
BAC=90
4分
（2）由
（1）得EF
屁故罟盍弓
o
6分
AEAD
EFBF.
•••/DAE=/BFE=90°
•••/ADE=/EBC。
4.证明：
（1）过D点作
8分
10分
DG//BC,并交AF于G点，2分
•/E是BD的中点，•BE=DE，又EBF=ZEDG，/BEF=ZDEG,
•△BEF^ADEG，贝UBF=DG,•BF:
FC=DG:
FC,
又•••D是AC的中点，贝UDG:
FC=1:
2,
贝UBF:
FC=1:
2;
（2）若厶BEF以BF为底，△BDC以BC为底，
则由
（1）知BF:
BC=1:
3,
又由BE:
BD=1:
2可知h1:
h2=1:
2,
分别为△BEF和厶BDC的高，贝U丄宜
SBDC
则Si:
S2=1:
5.
5.AC为圆
又知，DC是
•••ACD即ADF
ADF
1O的切线，•B
ACB的平分线，
DCBAFD
1
—（180
2
.B
又因为
DAE）
EAC
DCBEAC
BE为圆O的直径，•
45
ACD
DAE90
（2）
BEAC,
ACB
ACB,•ACEs
ABC•
AC
BC
又
AB=AC,•B
ACB
30,
亠AC
AE
3
•••在
RT"ABE中，
tanBtan30
10分
BC
AB
3
6•证明:
:
tPA与圆相切于
A,
2
MAMBMC,
2分
•/M为PA中点，•••PMMA,
3分
AE
AB
BMPPMC,6分
•△BMPs\pmc,8分
MCPMPB.10分
证明：
AD是OO的直径，AB是OO的切线，直线BM
NC,AB2,2BM24,BM.2,BC3BM
7
OO的半径为^（CACD）8分
214
8.解：
（I）连结OC，•/OAC=/OCA，又TCA是/BAF的角平分线，
•••/OAC=/FAC，•/FAC=/ACO,•OC//AD.3分
•/CD丄AF,•CD丄OC，即DC是OO的切线5分
（H）连结BC,在Rt△ACB中，
CM丄AB,•CM2=AM•MB.又tDC是OO的切线，•DC2=DF・DA.易知△AMCADC,•DC=CM,•AM•MB=DF•DA10分
19.（I）证明：
连结OP,OM.
因为AP与OO相切于点P,所以OP丄AP.
因为M是OO的弦BC的中点，所以于是/OPA+ZOMA=°，由圆心O可知四边形APOM的对角互补，所以
在PAC的部，B
A,P,O,M四点共圆…6分四点共圆，所以/OAM=/OPM.
（H）解：
由（I）得A,P,O,M
由（I）得OP丄AP.
由圆心O在PAC的部，可知/OPM+ZAPM=90°
所以/OAM+ZAPM=90°.……10分
10.（I）证明：
因为MA是圆O的切线，所以OA丄AM
又因为AP丄OM，在Rt△OAM中，由射影定理知,
OA2OMOP.
（n）证明：
因为BK是圆O的切线，BN丄OK,
同（I）,有OB2=ON•OK，又OB=OA,
又/NOP=/MOK，所以△ONPOMK，故/OKM=/OPN=9O°
11.证明：
由厶ABC也厶BAD得/ACB=/BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而/CBA=
/CDB。
再由△ABC◎△BAD得/CAB=/DBA。
因此/DBA=/CDB，所以AB//CD。
12.解：
（I）如图，设F为AD延长线上一点
•••A,B,C,D四点共圆，•••/CDF=/ABC
又AB=AC•/ABC=/ACB,且/ADB=/ACB,•/
ADB=/CDF,
对顶角/EDF=ZADB,
故/EDF=/CDF,即AD的延长线平分/CDE.
（n）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH丄BC.
/ACB=75OCH=6O
连接OC,A由题意/OAC=/OCA=15
设圆半径为r,则r+3r=2+.3,a得r=2，外接圆的面积为4
2
13.解：
（I）在厶ABC中，因为/B=60°,
所以/BAC+/BCA=120°.
因为AD,CE是角平分线，所以/HAC+/HCA=60故/AHC=120°.
于是/EHD=/AHC=120°.
因为/EBD+/EHD=°，所以B,D,H,E四点共圆
（H）连结BH,则BH为/ABC的平分线，得/HBD=30由（I）知B,D,H,E四点共圆，所以/CED=/HBD=30
又/AHE=/EBD=60°，由已知可得EF丄AD，可得/CEF=30
所以CE平分
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