中考复习三角形专题一含答案.docx

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中考复习三角形专题一含答案

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2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷

一．选择题（共12小题）

1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，

则m﹣n等于（）

A．2B．3C．4D．无法确定

2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P

使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）

A．有且只有1个

B．有且只有2个

C．组成∠E的角平分线

D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）

3．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：

AC等于（）

A．BD：

CDB．AD：

CDC．BC：

ADD．BC：

AC

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4．如图，在△ABC中，∠A=36°A，B=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边

AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，

使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A．5B．6C．7D．8

6．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△

ADC的面积是（）

A．10B．8C．6D．4

7．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三

角形的是（）

A．B．C．D．

8．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂

足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（）

.word资料可编辑.

....

A．B．C．2D．2

9．如图，△ABC的面积为20，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB

上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分

的面积是（）

A．5B．10C．15D．20

10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°A，B=BC=2，E、F分别是AD、

CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为

（）

A．2B．C．D．3

二．填空题（共14小题）

11．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则

CE=．

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12．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线

交于点O，则S△ABO：

S△BCO：

S△CAO=．

13．如图，在△ABC中，∠B=40°三，角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于

点E，则∠AEC=．

14．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，

BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．

15．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=点30D°（，不与B，C重合）是BC

上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的

周长为（用含a的式子表示）．

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16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°A，B=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交

AB，AC于D，E两点，则CD的长为．

17．如图，△ABC中，∠C=90°C，A=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，

BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=

cm．

18．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的

高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切

圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，⋯，S10，则

S1+S2+S3+⋯+S10=．

19．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对

称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△

CEG的周长为．

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20．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先

沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换

后，等边△ABC的顶点C的坐标为．

21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠

AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．

22．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为

4cm的等腰三角形（要求：

等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其

余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．

23．在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积

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为．

24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，

DA=5，则四边形ABCD的面积为=，BD的长为．

三．解答题（共4小题）

25．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，A∠DB=∠ABC=105°．

（1）若AD=2，求AB；

（2）若AB+CD=2+2，求AB．

26．如图：

在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分

点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；

请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF

的面积）．

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27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°C，D是斜边AB上的中线，过点A作

AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．

（1）求sinB的值；

（2）如果CD=，求BE的值．

28．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接

BE．

（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°

①求证：

AD=BE；

②求∠AEB的度数．

（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°C，M为△DCE中DE边上的高，BN为△

ABE中AE边上的高，试证明：

AE=2CM+BN．

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2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，

则m﹣n等于（）

A．2B．3C．4D．无法确定

【分析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出m﹣n的值．

【解答】解：

设空白出图形的面积为x，

根据题意得：

m+x=9，n+x=6，

则m﹣n=9﹣6=3．

故选B．

【点评】本题考查了三角形的面积；设出未知数，根据三角形的面积得出关系式

是解决问题的关键．

2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P

使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）

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A．有且只有1个

B．有且只有2个

C．组成∠E的角平分线

D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）

【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相

等，即可得到S△PAB=S△PCD．

【解答】解：

作∠E的平分线，

可得点P到AB和CD的距离相等，

因为AB=CD，

所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．

故选D．

【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即

可．

3．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：

AC等于（）

A．BD：

CDB．AD：

CDC．BC：

ADD．BC：

AC

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【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线

段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再

利用相似三角形的性质可有=，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠

BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．

【解答】解：

如图

过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，

∵BE∥AC，

∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，

∴△BDE∽△CDA，

∴=，

又∵AD是角平分线，

∴∠E=∠DAC=∠BAD，

∴BE=AB，

∴=，

∴AB：

AC=BD：

CD．

故选：

A．

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【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段

成比例定理的推论．关键是作平行线．

4．如图，在△ABC中，∠A=36°A，B=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边

AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判

定即可找出图中的等腰三角形．

【解答】解：

∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形；

在△BCD中，∵∠BDC=18°0﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，

∴∠C=∠BDC=72°，

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∴BD=BC，

∴△BCD是等腰三角形；

∵BE=BC，

∴BD=BE，

∴△BDE是等腰三角形；

∴∠BED=（180﹣°36°）÷2=72°，

∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72﹣°36°=36°，

∴∠A=∠ADE，

∴DE=AE，

∴△ADE是等腰三角形；

∴图中的等腰三角形有5个．

故选D．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三

角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找

出所有的等腰三角形，不要遗漏．

5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，

使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A．5B．6C．7D．8

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【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2，然后分类讨论：

若AC=AB；若

BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．

【解答】解：

∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．

∴AB=2，

①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），

即（0，0）、（4，0）、（0，4），

∵点（0，4）与直线AB共线，

∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；

②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），

即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；

③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰

三角形的C点有2个；

综上所述：

点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．

故选A

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及

分类讨论思想的运用．

6．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△

ADC的面积是（）

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A．10B．8C．6D．4

【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S

△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．

【解答】解：

如图，延长BD交AC于点E，

∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，

∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，

在△ABD和△AED中，

，

∴△ABD≌△AED（ASA），

∴BD=DE，

∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，

∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，

∴S△ADC═S△ABC=×12=6，

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD=DE得到S△ABD=S△

ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键．

7．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三

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角形的是（）

A．B．C．D．

【分析】A、D是黄金三角形，C、过A点作BC的垂线即可；只有B选项不能被

一条直线分成两个小等腰三角形．

【解答】解：

A、中作∠B的角平分线即可；

C、过A点作BC的垂线即可；

D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；

只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．

故选B．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的4

个选项中只有D选项有点难度，所以此题属于中档题．

8．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂

足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（）

A．B．C．2D．2

【分析】首先连接PA、PB、PC，再根据正三角形的面积的求法，求出边长为2的

正三角形的面积是多少；然后判断出SABC=SAPB+SAPC+SBPC=PD+PE+PF，据此

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求出PD+PE+PF的值为多少即可．

【解答】解：

如图，连接PA、PB、PC，，

∵△ABC是边长为2的正三角形，

∴△ABC的面积为：

；

∵SABC=SAPB+SAPC+SBPC

=×2×PD+×2×PF+×2×PE

=PD+PE+PF

∴PD+PE+PF=，

即PD+PE+PF的值为．

故选：

B．

【点评】

（1）此题主要考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题

的关键是要明确：

①等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．②等边三

角形是轴对称图形，它有三条对称轴；③它的任意一角的平分线都垂直平分对

边，三边的垂直平分线是对称轴．

（2）此题还考查了等边三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是

要明确：

边长是a的等边三角形的面积是a2．

9．如图，△ABC的面积为20，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB

上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分

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的面积是（）

A．5B．10C．15D．20

【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底

边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行

四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC，由此即可得出结论．

【解答】解：

设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH

底边GH上的高为h2，

则有h=h1+h2，S△ABC=BC?

h=2，

∴S阴影=S△AGH+S△CGH=GH?

h1+GH?

h2=GH?

（h1+h2）=GH?

h．

∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，

∴GH=BD=BC，

∴S阴影=×（BC?

h）=S△ABC=5．

故选A．

【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找

出S阴影=S△ABC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角

形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键．

10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°A，B=BC=2，E、F分别是AD、

CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为

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（）

A．2B．C．D．3

【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面

积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可

得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，

由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．

【解答】解：

连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，

∵∠ABC=90°AB，=BC=2，

∴AC===4，

∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，

∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，

∴AG=BG=2

∵S△ABC=?

AB?

BC=×2×2=4，

∴S△ADC=2，

∵=2，

∵△DEF∽△DAC，

∴GH=BG=，

∴BH=，

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又∵EF=AC=2，

∴S△BEF=?

EF?

BH=×2×=，

故选C．

方法二：

S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，

易知S△ABE+S△BCF=S四边形ABCD=3，S△EDF=，

∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=．

故选C．

【点评】此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底

和高是解答此题的关键．

二．填空题（共14小题）

11．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=

3．

【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．

【解答】解：

△ABE和△ACD中，

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，

∴△ABE≌△ACD（AAS），

∴AD=AE=2，AC=AB=5，

∴CE=BD=AB﹣AD=3，

故答案为3．

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．

12．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线

交于点O，则S△ABO：

S△BCO：

S△CAO=4：

5：

6．

【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得

OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求

得S△ABO：

S△BCO：

S△CAO的值．

【解答】解：

过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，

∴OD=OE=OF，

∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，

∴S△ABO：

S△BCO：

S△CAO=（AB?

OD）：

（BC?

OF）：

（AC?

OE）=AB：

BC：

AC=40：

50：

60=4：

5：

6．

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故答案为：

4：

5：

6．

【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，

注意数形结合思想的应用．

13．如图，在△ABC中，∠B=40°三，角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于

点E，则∠AEC=70°．

【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠

DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理

可以求得∠AEC的度数．

【解答】解：

∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，

∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；

又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），

∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）

=110°（外角定理），

∴∠AEC=18﹣0（°∠DAC+∠ACF）=70°．

故答案为：

70°．

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【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平

分线的性质是解题关键．

14．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，

BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．

【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，

根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相

似比求出x的值，即为EH的长．

【解答】解：

如图所示：

∵四边形EFGH是矩形，

∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC，

∵AM⊥EH，AD⊥BC，

∴，

设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，

∴，

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解得：

x=，

则EH=．

故答案为：

．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似

三角形的判定与性质是解本题的关键．

15．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=点30D°（，不与B，C重合）是BC

上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的

周长为3a（用含a的式子表示）．

【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三

角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长．

【解答】解：

由折叠的性质得：

B点和D点是对称关系，DE=BE，

则BE=EF=a，

∴BF=2a，

∵∠B=30°，

∴DF=BF=a，

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∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；

故答案为：

3a．

【点评】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形周

长的计算；熟练掌握翻折变换的性质，由含30°角的直角三角形的性质得出

DF=a是解决问题的关键．

16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°A，B=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交

AB，AC于D，E两点，则CD的长为．

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，

设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．

【解答】解：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴CD=AD，

∴AB=BD+AD=BD+CD，

设CD=x，则BD=4﹣x，

在Rt△BCD中，

CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，

解得x=．

故答案为：

．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到

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线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

17．如图，△ABC中，∠C=90°C，A=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，

BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=4cm．

【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△

BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对

应边相等得到：

BE=MH，所以BG=MH=4．

【解答】解：

如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，

∵△ABC中，∠C=90°C，A=CB，

∴∠ABC=∠A=45°，

∵∠GMB=∠A，

∴∠GMB=∠A=22.5°，

∵BG⊥MG，

∴∠BGM=90°，

∴∠GBM=90﹣°22.5°=67.5°，

∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．

∵MD∥AC，

∴∠BMD=∠A=45°，

∴△BDM为等腰直角三角形

∴BD=DM，

.word资料可编辑.

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而∠GBH=22.5°，

∴GM平分∠BMD，

而BG⊥MG，

∴BG=EG，即BG=BE，

∵∠MH