初中数学因式分解竞赛题精选.docx

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初中数学因式分解竞赛题精选

初中数学因式分解

（二）

　1．双十字相乘法

　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．

某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），可以用十字相乘法分解因式．

　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

　　可以看作是关于x的二次三项式．

　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　即：

-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．

　　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　　所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］

　　　　=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

　　它表示的是下面三个关系式：

　　（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；

　　（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

　　（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3．

　　双十字相乘法因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1分解因式：

（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；

（2）x2-y2+5x+3y+4；

　　（3）xy+y2+x-y-2；

2．求根法

　　形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x），g（x），…等记号表示，如f（x）=x2-3x+2，g（x）=x5+x2+6，…，

当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）

　　f

（1）=12-3×1+2=0；

　　f（-2）=（-2）2-3×（-2）+2=12．

　　若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．

　　定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a．

　　根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

　　定理2　　

　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f（x）的整数根均为an的约数．

　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

例2分解因式：

x3-4x2+6x-4．

　　例3分解因式：

9x4-3x3+7x2-3x-2．

　　3．待定系数法

　　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

　　例4分解因式：

x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

　　例5分解因式：

x4-2x3-27x2-44x+7．

练习二

　　1．用双十字相乘法分解因式：

（1）x2-8xy+15y2+2x-4y-3；

（2）x2-xy+2x+y-3；

（3）3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．

　　2．用求根法分解因式：

（1）x3+x2-10x-6；

（2）x4+3x3-3x2-12x-4；

　　（3）4x4+4x3-9x2-x+2．

　　3．用待定系数法分解因式：

（1）2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；

（2）x4+5x3+15x-9．

初中数学因式分解

（二）

　　1．双十字相乘法

　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．

　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

　　可以看作是关于x的二次三项式．

　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　即：

-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．

　　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　　所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］

　　　　=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

　　它表示的是下面三个关系式：

　　（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；

　　（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

　　（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3．

　　这就是所谓的双十字相乘法．

　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

　　例1分解因式：

（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；

（2）x2-y2+5x+3y+4；

　　（3）xy+y2+x-y-2；

　　解

（1）

　　原式=（x-5y+2）（x+2y-1）．

（2）

　　原式=（x+y+1）（x-y+4）．

　　（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．

2．求根法

　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x），g（x），…等记号表示，如

　　f（x）=x2-3x+2，g（x）=x5+x2+6，…，

　　当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）

　　f

（1）=12-3×1+2=0；

　　f（-2）=（-2）2-3×（-2）+2=12．

　　若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．

　　定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a．

　　根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

　　定理2　　

　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f（x）的整数根均为an的约数．

　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

　　例2分解因式：

x3-4x2+6x-4．

　　分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：

±1，±2，±4，只有

　　f

（2）=23-4×22+6×2-4=0，

　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

　　解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）．

　　原式=（x3-2x2）-（2x2-4x）+（2x-4）

　　　　=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）

　　　　=（x-2）（x2-2x+2）．

　　解法2用多项式除法，将原式除以（x-2），

　　所以

原式=（x-2）（x2-2x+2）．

　　说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

　　例3分解因式：

9x4-3x3+7x2-3x-2．

　　分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±

为：

　　所以，原式有因式9x2-3x-2．

　　解9x4-3x3+7x2-3x-2

　　　=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

　　　=x2（9x3-3x-2）+9x2-3x-2

　　　=（9x2-3x-2）（x2+1）

　　　=（3x+1）（3x-2）（x2+1）

　　说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

　　可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．

　　总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式（x-a），那么f（x）就可以分解为（x-a）g（x），而g（x）是比f（x）低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分解了．

　　3．待定系数法

　　待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

　　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

　　例4分解因式：

x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

　　分析由于

　　（x2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y），

　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

　　解设

　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3

　　=（x+2y+m）（x+y+n）

　　=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn，

　　比较两边对应项的系数，则有

　　解之得m=3，n=1．所以

原式=（x+2y+3）（x+y+1）．

　　说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

　　例5分解因式：

x4-2x3-27x2-44x+7．

　　分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7（7的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式．

　　解设

　　原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）

　　　　=x4+（a+c）x3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd，

　　所以有

　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　　所以

　　原式=（x2-7x+1）（x2+5x+7）．

　　说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系