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09数学建模

电力变压器铁心柱截面的优化设计

东北电力大学

热能动力工程O八三班

刘博

于鹏飞

郑瀚

摘要：

针对变压器铁心柱截面进行优化设计，建立数学模型并用lingo编程求解。

求解铁心柱外接圆半径为650毫米时，最优解的级数为14级，面积为320751.3

对于实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径两者的公差带设计。

为了让铁心柱有更好的截面积，使得在设计时增加铁心柱的直径。

下面以铁心柱的外接圆直径为650毫米为例：

根据lingo求解结果可知：

铁心柱的外接圆直径为650毫米，级数14为最优解

最优解的利用率比值96.67％

外接圆公差带为:

650

760

铁心柱截面积的公差带为:

639

747

为了使铁心柱散热良好，需在铁心柱内插入冷却油道。

以直径650为例时上下两半球各插入2条，分别在一二条之间和五六级之间插入

在第二问求解情况下考虑，上下半球各插入三条冷却油道。

分别在一二级之间，三四级之间，六七级之间插入。

以此为设计方案。

关键词

变压器铁心柱铁心利用率线性规划截面面积

符号约定：

Xi硅钢片宽度（i=1，2，3，4······）

Yi硅钢片厚度（i=1，2，3，4·······）

Ci题解过程中中间变量为整数值（i=1，2，3，4·······）

Si铁心柱截面面积（i=1，2，3，4······）

R外接圆半径

H各级硅钢片厚度和

（以下运算数值单位均为毫米）

问题的陈述：

针对电力变压器的铁心截面优化设计。

求解在铁心外接圆直径为650毫米时，铁心柱的有效截面积最大？

在设计线圈的内筒直径和贴心柱的外接圆半径时应由各自的公差带。

结合铁心柱的截面设计而设计二者的公差带。

为了保证散热，铁心柱中须设置冷却管道。

如何最优的设计冷却管道的位置。

模型的假设

针对变压器铁心柱截面的优化设计，建立数学模型，使用lingo软件编程求解。

使得出最优解。

问题的分析：

我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸，根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：

能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效益的同时降低变压器成本。

针对以上问题采用数学建模方法进行优化设计。

模型的建立以及求解：

模型一：

如何确定铁心柱的截面积级数各级宽度，才能使铁心柱的有效截面积最大

由于制造要求铁心柱硅钢片的宽度一般为5的整数倍（单位毫米）。

并且要求为了起到支撑作用第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米。

针对外铁心柱外接圆直径为650毫米时为例。

当外铁心柱外接圆直径为650毫米时，根据已知题目表一可知，级数应为12，13，14三种可能，并分解对其求解，之后分析整理，得到最优解。

对于直径650，以X1,X2,X3,X4····为各级宽度，Y1，Y2，Y3，Y4····为相对应的厚度。

面积为S=X1Y1+2X2Y2+2X3Y3····。

XY的对应关系（

）2

+（

）2=R2

必须为整数

y1第一级的厚度必须大于26毫米

Xn>=20第n级的宽度大于20毫米

X1>=X2>=X3>=······Xn

以此为根据应用lingo软件建立模型

对于级数为12：

面积：

318924.4

（算法过程结果见附录一）

针对级数13：

面积：

319923.9

（运算过程结果见附录二）

针对级数为14

面积：

320751.3

（运算过程结果见附录三）

根据lingo求解可知当级数为14时，铁心柱的有效截面积最大。

求得面积为320751.3

因此在实际设计中，对于直径为大于650毫米小于760毫米时进行计算。

模型二

对于实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径两者的公差带设计。

为了让铁心柱有更好的截面积，使得在设计时增加铁心柱的直径。

下面以铁心柱的外接圆直径为650毫米为例：

铁心柱的外接圆直径为650毫米，级数14为最优解。

应用数学建模设计计算铁心柱截面积与外接圆面积比。

比值越大说明利用率越高。

利用率比值=

以此数学建模，应用lingo工具

根据lingo求解结果可知：

最优解的利用率比值96.67％

外接圆公差带为:

650

760

铁心柱截面积的公差带为:

639

747

（具体过程结果见附录四）

模型三：

为了使铁心柱散热良好，需在铁心柱内插入冷却油道。

在铁心柱直径超过380毫米时需插入冷却油道。

使分割部分之间面积尽可能相等。

以直径为650毫米为例，根据已知题干须上下两半圆各插入两条冷却油道。

分别求得每级硅钢片的面积，从而分解得到面积划分的最优解。

所求的的结果为：

一二级中间，一级面积：

72690.048

五六级中间，2到5级面积：

66819.92

七到十四级，剩余面积:

57169

（具体过程结果见附录五）

在第二问求得结果上进行一下运算，在所求直径750毫米时，应插入上下各三条冷却油道。

分别求解各硅钢片面积，从而进行分析解答。

求解结果如下：

一二级之间一级面积92147.175

三四级之间面积57854.50

六七级之间面积58451.47

剩余面积56890.22

（具体运算过程结果见附录六）

结果分析

对于实际生产加工中，所需求的零件宽度和厚度都应为整数。

在设计实验中，因考虑到lingo计算时间问题。

所求的的厚度和宽度都为进行整数化。

建议在以后的求解过程中，采用matlab求解。

由于lingo模型的局限性，不能进行非线性运算。

在设计油管插入时无法精确求解。

求解过程中做了大量尝试，希望能够应用lingo循环语句通过运算对比油管插入的所有可能。

所划分的部分面积比值。

找到面积比值最接近于1的划分方法。

由于能力有限和技术力量不足等多方面原因。

最后没有成功，很是遗憾。

对于所求得结果均已进行验算。

通过求得结果和实际问题的对比中，所求结果均有借鉴意义。

模型评价

本文对于电力变压器铁心柱截面积面积优化设计给出的算法达到了优化的目的。

在以d=650毫米为例中进行运算。

在截面面积最优化，选择最优级得到预想结果。

并且经过计算可是最有级是14级，面积为320751.3。

在提高面积的利用率方面，通过建模求解得知最优解的利用率比值96.67％

外接圆公差带为:

650

760

铁心柱截面积的公差带为:

639

747

在所得出的计算结果对于实际的生产加工均有借鉴意义，希望对于实际的生产有所帮助。

参考文献：

1.张杰周硕.运筹学模型与实验中国电力出版社2007

附录一：

对于级数为12：

max=x1*y1+2*x2*y2+2*x3*y3+2*x4*y4+2*x5*y5+2*x6*y6+2*x7*y7+2*x8*y8+2*x9*y9+2*x10*y10+2*x11*y11+2*x12*y12;

x1<=650;

x1>=x2;

x2>=x3;

x3>=x4;

x4>=x5;

x5>=x6;

x6>=x7;

x7>=x8;

x8>=x9;

x9>=x10;

x10>=x11;

x11>=x12;

x12>=20;

x1/5=c1;

x2/5=c2;

x3/5=c3;

x4/5=c4;

x5/5=c5;

x6/5=c6;

x7/5=c7;

x8/5=c8;

x9/5=c9;

x10/5=c10;

x11/5=c11;

x12/5=c12;

@gin（c1）;

@gin（c2）;

@gin（c3）;

@gin（c4）;

@gin（c5）;

@gin（c6）;

@gin（c7）;

@gin（c8）;

@gin（c9）;

@gin（c10）;

@gin（c11）;

@gin（c12）;

（x1/2）*（x1/2）+（y1/2）*（y1/2）=325*325;

（x2/2）*（x2/2）+（y1/2+y2）*（y1/2+y2）=325*325;

（x3/2）*（x3/2）+（y1/2+y2+y3）*（y1/2+y2+y3）=325*325;

（x4/2）*（x4/2）+（y1/2+y2+y3+y4）*（y1/2+y2+y3+y4）=325*325;

（x5/2）*（x5/2）+（y1/2+y2+y3+y4+y5）*（y1/2+y2+y3+y4+y5）=325*325;

（x6/2）*（x6/2）+（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6）*（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6）=325*325;

（x7/2）*（x7/2）+（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7）*（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7）=325*325;

（x8/2）*（x8/2）+（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8）*（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8）=325*325;

（x9/2）*（x9/2）+（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9）*（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9）=325*325;

（x10/2）*（x10/2）+（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10）*（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10）=325*325;

（x11/2）*（x11/2）+（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11）*（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11）=325*325;

（x12/2）*（x12/2）+（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11+y12）*（y1/2+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11+y12）=325*325;

h1=y1+y2+y3+y3+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11+y12;

求解结果为：

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

318924.4

Objectivebound:

318924.4

Infeasibilities:

0.2400483E-01

Extendedsolversteps:

Totalsolveriterations:

21852

VariableValueReducedCost

X1640.00000.000000

Y1113.57860.000000

X2620.00000.000000

Y240.806810.000000

X3595.00000.000000

Y333.242530.000000

X4565.00000.000000

Y429.843500.000000

X5530.00000.000000

Y527.466740.000000

X6490.00000.000000

Y625.392690.000000

X7445.00000.000000

Y723.352400.000000

X8395.00000.000000

Y821.212120.000000

X9340.00000.000000

Y918.886700.000000

X10280.00000.000000

Y1016.307410.000000

X11210.00000.000000

Y1114.270940.000000

X12120.00000.000000

Y1211.842400.000000

C1128.0000-4.402540

C2124.0000-11.02568

C3119.00008.643625

C4113.00009.237668

C5106.00007.024447

C698.000004.219587

C789.000001.285712

C879.00000-1.694148

C968.00000-4.746646

C1056.000003.990254

C1142.0000010.91358

C1224.00000-5.717395

H1442.68790.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

1318924.41.000000

210.000000.000000

320.000000.000000

425.000000.000000

530.000000.000000

635.000000.000000

740.000000.000000

845.000000.000000

950.000000.000000

1055.000000.000000

1160.000000.000000

1270.000000.000000

1390.000000.000000

14100.00000.000000

150.0000004.402540

160.00000011.02568

170.000000-8.643625

180.000000-9.237668

190.000000-7.024447

200.000000-4.219587

210.000000-1.285712

220.0000001.694148

230.0000004.746646

240.000000-3.990254

250.000000-10.91358

260.0000005.717395

27-0.2400483E-010.3521803

280.0000000.2561577

290.0000000.2292901

300.0000000.2178213

310.0000000.2125976

320.0000000.2107318

330.0000000.2110649

340.0000000.2130907

350.0000000.2166121

360.0000000.2386633

370.0000000.2926152

380.0000000.3756885

390.0000000.000000

附录二：

针对级数13：

max=x1*y1+2*x2*y2+2*x3*y3+2*x4*y4+2*x5*y5+2*x6*y6+2*x7*y7+2*x8*y8+2*x9*y9+2*x10*y10+2*x11*y11+2*x12*y12+2*x13*y13;

x1<=650;

x1>=x2;

x2>=x3;

x3>=x4;

x4>=x5;

x5>=x6;

x6>=x7;

x7>=x8;

x8>=x9;

x9>=x10;

x10>=x11;

x11>=x12;

x12>=x13;

x13>=20;

x1/5=c1;

x2/5=c2;

x3/5=c3;

x4/5=c4;

x5/5=c5;

x6/5=c6;

x7/5=c7;

x8/5=c8;

x9/5=c9;

x10/5=c10;

x11/5=c11;

x12/5=c12;

x13/5=c13;

@gin（c1）;

@gin（c2）;

@gin（c3）;

@gin（c4）;

@gin（c5）;

@gin（c6）;

@gin（c7）;

@gin（c8）;

@gin（c9）;

@gin（c10）;

@gin（c11）;

@gin（c12）;

@gin（c13）;