勾股定理导学案.docx

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勾股定理导学案

单元程序导学案

编号课题勾股定理

（一）主备教师徐斌学科组长

一.学习目标

1.勾股定理的概念和证明;

3.勾股定理的简单应用.

二.重难点:

勾股定理证明与应用。

三.课时安排（预习+展示）2课时

四.预习笔记要求（根据学科特点提出要求,学科组长检查签字）

结合课本知识，仔细做下面的练习,认真总结规律和方法,并将其写在相应的位置.

导学案

一、自学

知识点一：

勾股定理概念

1、请学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42___52，52+122___132，

那么就有勾2+股2____弦2。

2、勾股定理的具体内容是：

。

即：

______________________________________________________

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

提示：

（1）勾股定理应用的前提是___________________

（2）在式子

中，a、b、c分别代表________________________________________

3、如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。

4、△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

知识点二：

勾股定理的证明

5、等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为.

第6题图

6、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

知识点三：

勾股定理的简单应用

7、在△ABC中，∠C＝90°，

（1）已知a＝2.4，b＝3.2，则c＝；

（2）已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于；（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝.

8、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．

二、自展：

（典型例题解析）

例1、已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

方法一方法二

例2、如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？

1、利用勾股定理求解直角三角形的三边长

例3、已知直角三角形的两直角边长分别是6、8，求斜边的长。

2、利用勾股定理作长为

（n为大于1的整数）的线段

实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较容易找到与它对应的点，若要在数轴上直接找到与无理数对应的点较难。

因此，我们可以借助勾股定理来作出。

例4：

作长为

的线段。

三、自评：

基础强化

1、填空

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2、在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b=。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

3、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

4、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高是________

5、甲乙两人从同一地点出发，已知甲向东走了4km，乙向南走了3km，此时甲乙两人相距_________km。

能力提升

6、点M（-2，3）是坐标平面内一点，O为坐标原点，则OM的长为____________

7、直角三角形中两边长为15和20，则另一边长为_____________

8、边长为a的等边三角形面积等于___________________

9、在直角三角形中，若两直角边a、b满足a+b=17，ab=60，则斜边长为________________。

10、试在数轴上作出表示

的点。

11、如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？

请你试一试．

12、已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

13、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

14、已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

16、在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=

cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

17、如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?

拓展训练

18、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：

⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

19．在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1，且n为整数），这个三角形是直角三角形吗？

若是，哪个角是直角？

与同伴一起研究．

单元程序导学案

编号课题勾股定理

（二）主备教师徐斌学科组长

一.学习目标

1.勾股定理的简单应用;

2.了解勾股定理的重要作用;

3.勾股定理与几何计算.

二.重难点:

勾股定理与几何计算。

三.课时安排（预习+展示）2课时

四.预习笔记要求（根据学科特点提出要求,学科组长检查签字）

结合勾股定理的知识，认真完成下列练习，注意找出知识点，关键点和易错点.

导学案

一、自学

1、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为___________

2、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸,A和B是这个台阶的两个相对端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长度是寸.

3、如图,三个正方形围成一个直角三角形，81、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是

（第1题图）

D

3、如图：

在四边形ABCD中，若∠BAD=900,AD=3,AB=4,BC=12,CD=13,四边形ABCD的面积为____________

4、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？

二、自展：

（典型例题解析）

1、运用勾股定理求值

2、构造直角三角形解题

例3、如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：

3

、运用面积法解题

三、自评：

基础强化

1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）

A.0B.1C.2D.3

第4题图

第2题图

第1题图

2.如图所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（）

A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.c＜b＜aD.b＜a＜c

3．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为.

4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.

能力提升

5、在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，你能求出AC的值吗？

6．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?

7．已知：

正方形的边长为1.

（1）如图（a），可以计算出正方形的对角线长为

.如图（b）,求两个并排成的矩形的对角线的长.n个呢？

（2）若把（c）（d）两图拼成如下“L”形，

过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB=

，求DA的长度.

8、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

9、如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于。

10、如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，

请你说明AB2=AC2+BC·BD

拓展训练

11、勾股定理实质上说的是，直角三角形勾、股、弦上三个正方形的面积之间的关系（如图1），有a2+b2=c2。

那么，亲爱的同学，你能完成下面的三个问题吗？

（1）把“正方形”改成“正三角形”（如图2），上述关系式能成立吗？

（2）把“正方形”改成“半圆”（如图3），上述关系式能成立吗？

（3）把“正方形”改成其他任意相似多边形，上述关系式还能成立吗？

12、题目：

如图，在等腰△ABC中，已知BE、CF是底角平分线，AM⊥BE，AN⊥CF，请你说明AM=AN的理由。

以下是小刚同学的说理过程，请你判断他的对错。

解：

∵在等腰△ABC中，BE是∠ABC的平分线，

∴AE=EC（角平分线分对边相等）

同理，AF=FB，

∴AE=AF，

又∵BE=CF（两条底角平分线相等）

∴△ABE≌△ACF（SSS）

∴AM=AN。

单元程序导学案

编号课题勾股定理（三）主备教师徐斌学科组长

二.学习目标

1.勾股定理的简单应用;

2.直角三角形边与面积的关系;

3.勾股定理与图形的展开和折叠.

二.重难点:

勾股定理与图形的展开和折叠。

三.课时安排（预习+展示）2课时

四.预习笔记要求（根据学科特点提出要求,学科组长检查签字）

结合勾股定理的知识，认真完成下列练习，注意找出每一题的知识点，关键点和易错点.

导学案

一、自学

1、已知一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为多少？

2、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高是多少？

三角形的面积是多少？

3、设

、

为直角三角形的两条直角边，

为斜边，

为面积，于是有：

，

，

，

所以

.即

.

4.已知直角三角形的周长为24，斜边上的中线为5，求它的面积.

5、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，

求折痕AE的长。

二、自展：

（典型例题解析）

例1：

直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.

例2：

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.

例3：

三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积

例4：

如图1，一圆柱的底面周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是（　　）

A．6cmB．12cm

C．13cmD．16cm

三、自评：

1、一颗大树被风吹折在5M处倒下，树顶落在离树根12M处，则大树倒前的高度是____.

2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行______千米？

3、.已知直角三角形的周长为2＋

，斜边上的中线为1，求它的面积

4、如图，CD是RT△ABC斜边上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，若AC=8CM,则CD=_________

5、已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.

6.等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为cm.

7.直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于cm.

8.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于（　）

（A）

（B）

或

（C）

（D）

或

9.△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证:

AB2=AD2+BD2+2CD2

10.已知正方体的棱长为2，求正方体表面上从A点到

的最短距离.

11.右图是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标,由4个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是62

和4,则直角三角形的两条直角边长分别为（）

（A）6,4（B）6

4（C）6

4

（D）6,4

12、一长方体,底面长3cm,宽4cm,高12cm,求上下两底面的对角线MN的长.

13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形沿对角线BD对折，求图中△BDE的面积

14、有一只圆柱形笔筒，如图，底面半径为2.4CM，高为6.4CM，放入笔后，若笔端与上边缘相齐为恰好放下，则这只笔筒恰好能放下的最长笔是多长？