专题3运动学典型问题和解决方法.docx

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专题3运动学典型问题和解决方法

专题运动学典型问题及解决方法

【例1】羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度4.0s.设猎豹距离羚羊xm时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：

猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？

【例2】高为h的电梯正以加速度a匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？

【例4】甲、乙两车相距S，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

【例5】在空中足够高的某处，以初速度v竖直上抛一小球，ts后在同一地点以初速度v/竖直下抛另一个小球，若使两个小球在运动中能够相遇，试就下述两种情况讨论t的取值范围：

（l）0＜v/＜v，

（2）v/＞v

一、选择题

1、下列关于质点的说法，正确的是（）

A、只有小的物体才能看作质点B、大的物体也可以看作质点

C、任何物体，在一定条件下都可以看作质点D、任何物体，在任何条件下都可以看作质点

2、物体从静止开始作匀加速直线运动，第3s时间内通过的位移为3m，则（）

A、物体前3s内通过的位移是6mB、物体第3s末的速度为3.6m/s

C、物体前3s内平均速度为2m/sD、物体第3s内的平均速度为3m/s

3、一列火车匀减速进站，停靠一段时间后又匀加速（同方向）出站。

在如图所示的四个v-t图象中，正确描述了火车运动情况的是（）

4、关于自由落体运动，正确的说法是（）

A、自由落体运动是一种匀变速运动B、自由落体的快慢与物体质量的大小有关

C、在地球表面上各处，物体自由落体运动的加速度大小相等

D、在地球表面上经度较大处，物体自由落体运动的加速度较大

5、某质点作直线运动，速度随时间的变化的关系式为v=（2t+4）m/s，则对这个质点运动描述，正确的是（）

A、初速度为4m/sB、加速度为2m/s2

C、在3s末，瞬时速度为10m/sD、前3s内，位移为30m

6、关于加速度的概念，以下说法中正确的是：

A．物体运动加速度的方向与初速度方向相同，物体的运动速度将增大

B．物体运动加速度的大小表示了速度变化的大小

C．加速度的正负表示了物体运动的方向

D．做匀变速直线运动的物体速度增大的过程中，它的加速废一定为正值

7、如图展示的四个图象分别是反映物体在不同的运动过程中速度v、位移s、加速度a随时间t变化的图象，由此可以推断出物体受到的外力的合力为零的是：

8、踢出去的足球在水平面上做匀减速直线运动，在足球停下来前的运动过程中：

A．加速度越来越小B．加速度方向总跟运动方向相反

C．位移随时间均匀减小D．速度随时间均匀减小

9、甲、乙两辆汽车在同一水平公路上做直线运动，若在描述它们运动情况时规定甲的运动方向为正方向，得出它们运动的加速度分别为a甲=0.4m／s2，a乙=−0.4m／s2。

那么由此而得出的正确判断是：

A．甲车的加速度大于乙车的加速度B．甲、乙两车的运动方向一定相反

C．甲做的一定是加速运动，乙车做的一定是减速运动D．甲车的加速度方向一定与速度方向相同

10、关于匀变速直线运动的公式，有下面几种说法，正确的是：

A．由公式a=（vt−v0）/t可知，做匀变速直线运动的物体，其加速度a的大小与物体运动的速度改变量（vt−v0）成正比，与速度改变量所对应的时间t成反比

B．由公式a=（vt2-v02）/2s可知，做匀变速直线运动的物体，其加速度a的大小与物体运动的速度平方的改变量（vt2-v02）成正比，与物体运动的位移s成反比

C．由公式s=at2/2可知，做初速度为零的匀变速直线运动的物体，其位移s的大小与物体运动的时间t的平方成正比

D．由公式vt=vo+at可知，做匀变速直线运动的物体，若加速度a＞0，则物体做加速运动，若加速度a＜0，则物体做减速运动

11、水平地面上两个质点甲和乙，同时由同一地点沿同一方向作直线运动，它们的v-t图线如图所示。

下列判断正确的是（）

A、甲做匀速运动，乙做匀加速运动

B、2s前甲比乙速度大，2s后乙比甲速度大

C、在4s时乙追上甲

D、在第4s内，甲的平均速度大于乙的平均速度

12、质量为0.8kg的物体在一水平面上运动，如图所示的两条直线分别表示物体受到水平拉力作用和不受拉力作用的v—t图线。

由图线可知（）

A、图线a反映了物体受水平拉力的作用

B、图线b反映了物体受水平拉力的作用

C、水平拉力为1.2N

D、水平拉力为1.8N

二、填空

13、有甲、乙两个物体在同一水平面运动，它们的运动速度随时间变化的情况如图中的图象所示。

由图象可以判断乙物体做的是运动；甲物体的加速度乙物体的加速度（填“大于”、“小于”或“等于”）。

在第3秒初，甲物体的瞬时速度大小为m／s。

14、如图11所示,A、B两物体相距S=5m时，A正以vA=4m/s的速度向右作匀速直线运动，而物体B此时速度vB=10m/s，随即向右作匀减速直线运动，加速度大小a=2m/s2，由图示位置开始计时，则A追上B需要的时间是________s，在追上之前，两者之间的最大距离是________m。

15、在“研究匀变速直线运动的规律”实验中，小车拖纸带运动，打点计时器在纸带上打出一系列点，从中确定五个记数点，每相邻两个记数点间的时间间隔是0.1s，用米尺测量出的数据如图所示。

则小车在C点的速度VC=m/s，小车运动的平均加速度a=m/s2．

16、小车从坡路上由静止开始下滑,第一秒内的位移是2m，第二秒内的位移是5m,第三秒内的位移是10m，第四秒内的位移是14m，则物体前2s内的平均速度为____m/s,后2s内的平均速度是____m/s,物体在全程的平均速度____m/s.

17、在“测定匀变速直线运动的加速度”的实验中，打点计时器使用的交流电频率为50Hz，如图所示是记录小车做匀变速运动情况的纸带的一部分。

在纸带上选定标有A-F的六个记数点，相邻两个记数点之间还有四个点（图上没有画出）。

纸带旁边有一根最小刻度为毫米的刻度尺测量记数点间的距离，刻度尺的零刻度线跟“A”记数点对齐。

由图可读出记数点“B”与“C”之间的距离为cm；打下记数点“D”时小车运动的速度为m/s。

三、计算题

18、一辆汽车沿着一条平直的公路行驶，公路旁边与公路平行有一行电线杆，相邻电线杆间的间隔均为50m。

取汽车驶过某一根电线杆的时刻为零时刻，此电线杆作为第1根电线杆，此时刻汽车行驶的速度为5m/s。

若汽车的运动为匀变速直线运动，在10s末汽车恰好经过第3根电线杆。

试求：

（1）汽车运动的加速度大小；

（2）汽车继续行驶，经过第7根电线杆时的瞬时速度；

（3）汽车在第3根至第7根电线杆间运动所用的时间。

19、（10分）一质点做匀加速直线运动，初速度为10m/s，加速度为2m/s2。

试求该质点：

（1）第5s末的速度

（2）前5s内的平均速度

（3）第5s内的平均速度

20、（10分）跳伞运动员在空中的运动可分为两个阶段：

开始一段伞未张开，可近似看成自由落体运动；伞张开后，则做匀减速运动。

设运动员的初始高度为1500m，第一段的下落高度为500m，试求：

（1）张开伞的一瞬间，运动员的速度

（2）要运动员充分安全地着地（即着地速度趋于零），第二阶段的合适加速度应是多少？

21．（14分）一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平面的中央。

桌布的一边与桌的AB边重合，如图。

已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。

现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。

若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？

（以g表示重力加速度）

专题3运动学典型问题及解决方法

知识目标

一、相遇、追及与避碰问题

对于追及问题的处理，要通过两质点的速度比较进行分析，找到隐含条件（即速度相同时，而质点距离最大或最小）。

再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应的方程求解，必要时可借助两质点的速度图象进行分析。

二、追击类问题的提示

1．匀加速运动追击匀速运动，当二者速度相同时相距最远．

2．匀速运动追击匀加速运动，当二者速度相同时追不上以后就永远追不上了．此时二者相距最近．

3．匀减速直线运动追匀速运动，当二者速度相同时相距最近，此时假设追不上，以后就永远追不上了．

4．匀速运动追匀减速直线运动，当二者速度相同时相距最远．

5．匀加速直线运动追匀加速直线运动，应当以一个运动当参照物，找出相对速度、相对加速度、相对位移．

规律方法

1、追及问题的分析思路

（1）通过对运动过程的分析，画出简单的图示或v-t图

（2）寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等等．利用这些临界条件常能简化解题过程．

（3）根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系．找出两物体的运动位移间的关系式．

（4）求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解．

【例1】羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度4.0s.设猎豹距离羚羊xm时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：

猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？

解析：

先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最大值，即可求x的范围。

设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m达到最大速度用时间t2，则

，

羚羊从静止开始匀加速奔跑50m达到最大速度用时间t1，则

，

猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运动时间最多4s，而羚羊最多匀速3s而被追上，此x值为最大值，即x=S豹－S羊=[（60＋30×4）－（50＋25×3）]=55m，所以应取x<55m。

【例2】一辆小车在轨道MN上行驶的速度v1可达到50km/h，在轨道外的平地上行驶速度v2可达到40km/h，与轨道的垂直距离为30km的B处有一基地，如图所示，问小车从基地B出发到离D点100km的A处的过程中最短需要多长时间（设小车在不同路面上的运动都是匀速运动，启动时的加速时间可忽略不计）？

【解析】建构合理的知识体系，巧用类比，触发顿悟性联想。

显然，用常规解法是相当繁琐的。

我们知道，光在传播过程中“走”的是时间最短的路径。

可见，我们可以把小车的运动类比为光的全反射现象的临界状态（如图所示），根据临界角知识得：

sinC=v2/v1＝4/5，由图得：

sinC＝x/

，小车运动时间：

t=（100－x）/vl＋

/v2由以上几式可得：

c＝40km，t＝2．45h。

【例2】高为h的电梯正以加速度a匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？

解析：

此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的示意图，如图2—27所示．这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动．从示意图还可以看出，电梯与螺钉的位移关系：

S梯一S钉=h式中S梯＝vt十½at2，S钉＝vt－½gt2

可得t=

错误：

学生把相遇过程示意图画成如下图，则会出现S梯＋S钉=h

式中S梯＝v0t十½at2，S钉＝v0t－½gt2

这样得到v0t十½at2＋v0t－½gt2=h，即½（a－g）t2＋2v0t－h=0

由于未知v0，无法解得结果。

判别方法是对上述方程分析，应该是对任何时间t，都能相遇，即上式中的Δ＝4v02＋2（a－g）h≥0

也就是v0≥

，这就对a与g关系有了限制，而事实上不应有这样的限制的。

点评：

对追及类问题分析的关键是分析两物体运动的运动过程及转折点的条件．可见，在追赶过程中，速度相等是一个转折点，要熟记这一条件．在诸多的物理问题中存在“隐蔽条件”，这类问题往往是难题，于是，如何分析出“隐蔽条件”成为一个很重要的问题，一般是根据物理过程确定．该题中“隐蔽条件”就是当两车速度相同时距离最大．解析后，问题就迎刃而解．

2、相遇问题的分析思路

相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同．

（1）列出两物体运动的位移方程，注意两个物体运动时间之间的关系．

（2）利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系．

（3）寻找问题中隐含的临界条件．

（4）与追及中的解题方法相同

【例3】．在某铁路与公路交叉的道口外安装的自动拦木装置如图所示，当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯，警告来越过停车线的汽车迅速制动，而且超过停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口。

已知高速列车的速度V1=120km/h，汽车过道口的速度V2=5km/h，汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是S0＝5m，道口宽度s＝26m，汽车长l=15m。

若栏木关闭时间tl＝16s，为保障安全需多加时间t2=20s。

问：

列车从A点到道口的距离L应为多少才能确保行车安全？

解析：

由题意知，关闭道口时间为16s，为安全保障再加20s，即关闭道口的实际时间为t0=20+16=36s，汽车必须在关闭道口前已通过道口，汽车从停车线到通过道口实际行程为S=26+5+15=46m，需用时

，由此亮起红灯的时间为T=t0+t2，故A点离道口的距离应为：

L=V1T=

=2304m

【例4】火车以速度Vl匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一火车沿同方向以速度V2（对地、且V1＞V2）做匀速运动．司机立即以加速度a紧急刹车．要使两车不相撞，a应满足什么条件？

解法一：

后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和V2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度，两车距离将逐渐增大．可见，当两车速度相等时，两车距离最近．若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未过上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车．这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度．综上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程：

V1t－a0t2/2＝V2t＋SV1—a0t=V2解之可得：

a0=

．所以当a≥

时，两车即不会相撞

解法二：

要使两车不相撞，其位移关系应为V1t－at2/2≤S＋V2t

即at2/2＋（V2－V1）t＋S≥0

对任一时间t，不等式都成立的条件为Δ＝（V2－V1）2－2as≤0由此得a≥

解法三：

以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度V0=V1－V2，加速度为a的匀减速直线运动．当后车相对前车的速度成为零时，若相对位移S/≤S，则不会相撞．故由

S/=V02/2a=（V1－V2）2/2a≤S，得a≥

点评：

三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程．然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙地选取参照物，使两车运动的关系变得简明．

说明：

本题还可以有多种问法，如“以多大的加速度刹车就可以不相碰？

”，“两车距多少米就可以不相碰？

”，“货车的速度为多少就可以不相碰？

”等，但不管哪一种问法，都离不开“两车速度相等”这个条件．

【例5】甲、乙两车相距S，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

【分析】由于两车同时同向运动，故有v甲=v0＋a2t，v乙=a1t。

①当al＜a2时，alt＜a2t，可得两车在运动过程中始终有，V甲＞V乙。

由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。

②当al=a2时，alt＝a2t，可得v甲=v0＋v乙，同样有v甲＞v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次。

③当al＞a2时，alt＞a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化。

刚开始，alt和a2t相差不大且甲有初速v0，所以v甲＞v乙；随着时间的推移，alt和a2t相差越来越大；当alt－a2t＝v0时，v甲=v乙，接下来alt－a2t＞v0，则有v甲＜v乙，若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲＜v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲=v乙时，两车刚好相遇，随后v甲＜v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v甲=v乙前，甲车已超过乙车，即已相通过一次，随后由于v甲＜v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车后反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次。

【解】由于S甲=v0t＋½a2t2，S乙=½a1t2，

相遇时有S甲－S乙＝s，则v0t＋½a2t2－½a1t2＝S，½（a1一a2）t2一v0t＋S＝0．

①当a1＜a2时，①式；只有一个正解，则相遇一次。

②当a1＝a2时S甲一S乙=v0t＋½a2t2－½a1t2=v0t=S，∴t=S/v0t只有一个解，则相遇一次。

③当al＞a2时，若v

＜2（al－a2）s，①式无解，即不相遇。

若v02=2（al－a2）s，①式t只有一个解，即相遇一次。

若v02＞2（al－a2）s，①式t有两个正解，即相遇两次。

解法2：

利用v一t图象求解。

①当al＜a2时，甲、乙车的运动图线分别为如图，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，着此而积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次。

②当al=a2时，甲、乙两车的运动图线分别如图，讨论方法同①，所以两车也只能相遇一次。

③当al＞a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图的1和11，其中划实斜线部分面积表示用车比乙车多发生的位移，划虚斜线部分的面积表示乙车比甲车多发生的位移。

若划线部分的面积小于S，说明甲追不上乙车，则不能相遇；若划实斜线部分的面积等于S，说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于S，说明tl内划实线部分的面积为S，说明t1时刻甲车追上乙车，以后在t1——t时间内，甲车超前乙车的位移为tl－——t时间内划实线部分的面积，随后在t——－t2时间内，乙车比甲车多发生划应线部分的面积，如果两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次。

【例6】在空中足够高的某处，以初速度v竖直上抛一小球，ts后在同一地点以初速度v/竖直下抛另一个小球，若使两个小球在运动中能够相遇，试就下述两种情况讨论t的取值范围：

（l）0＜v/＜v，

（2）v/＞v

【解析】若两小球在运动中能够在空中相遇，必须是下抛小球刚抛出时，上抛小球已进入下降阶段，且速度大的小球在后，追赶前面速度小的球，

（1）如图甲所示．上抛小球速度方向变为向下，大小达v/时所经历的时间为t0，则

t0=

＋

∴当t＞t0时，上抛小球的即时速度vt＞v/，上抛小球能够追上下抛小球，但是，若上抛小球已越过抛出点，再向下抛出另一个小球时，两球就不会相遇，而上抛球回到抛出点的时间t1为：

t1=

即：

当

＜t＜

时两球能够在运动中相遇

（2）如图乙所示，上抛小球速度方向变为向下，大小达v/时所经历时间为t0/，则：

t0/=

当t＜t0/时，上抛时即时速度vt＜v/，但若使上抛球在前，t还大于t1=2v/g才行，因此，两球在运动中相遇的条件为：

＜t＜

章未检测题

一、选择题

1、下列关于质点的说法，正确的是（）

A、只有小的物体才能看作质点B、大的物体也可以看作质点

C、任何物体，在一定条件下都可以看作质点D、任何物体，在任何条件下都可以看作质点

2、物体从静止开始作匀加速直线运动，第3s时间内通过的位移为3m，则（）

A、物体前3s内通过的位移是6mB、物体第3s末的速度为3.6m/s

C、物体前3s内平均速度为2m/sD、物体第3s内的平均速度为3m/s

3、一列火车匀减速进站，停靠一段时间后又匀加速（同方向）出站。

在如图所示的四个v-t图象中，正确描述了火车运动情况的是（）

0

4、关于自由落体运动，正确的说法是（）

A、自由落体运动是一种匀变速运动B、自由落体的快慢与物体质量的大小有关

C、在地球表面上各处，物体自由落体运动的加速度大小相等

D、在地球表面上经度较大处，物体自由落体运动的加速度较大

5、某质点作直线运动，速度随时间的变化的关系式为v=（2t+4）m/s，则对这个质点运动描述，正确的是（）

A、初速度为4m/sB、加速度为2m/s2

C、在3s末，瞬时速度为10m/sD、前3s内，位移为30m

6、关于加速度的概念，以下说法中正确的是：

A．物体运动加速度的方向与初速度方向相同，物体的运动速度将增大

B．物体运动加速度的大小表示了速度变化的大小

C．加速度的正负表示了物体运动的方向

D．做匀变速直线运动的物体速度增大的过程中，它的加速废一定为正值

7、如图展示的四个图象分别是反映物体在不同的运动过程中速度v、位移s、加速度a随时间t变化的图象，由此可以推断出物体受到的外力的合力为零的是：

8、踢出去的足球在水平面上做匀减速直线运动，在足球停下来前的运动过程中：

A．加速度越来越小B．加速度方向总跟运动方向相反

C．位移随时间均匀减小D．速度随时间均匀减小

9、甲、乙两辆汽车在同一水平公路上做直线运动，若在描述它们运动情况时规定甲的运动方向为正方向，得出它们运动的加速度分别为a甲=0.4m／s2，a乙=−0.4m／s2。

那么由此而得出的正确判断是：

A．甲车的加速度大于乙车的加速度B．甲、乙两车的运动方向一定相反

C．甲做的一定是加速运动，乙车做的一定是减速运动D．甲车的加速度方向一定与速度方向相同

10、关于匀变速直线运动的公式，有下面几种说法，正确的是：

A．由公式a=（vt−v0）/t可知，做匀变速直线运动的物体，其加速度a的大小与物体运动的速度改变量（vt−v0）成正比，与速度改变量所对应的时间t成反比

B．由公式a=（vt2-v02）/2s可知，做匀变速直线运动的物体，其加速度a的大小与物体运动的速度平方的改变量（vt2-v02）成正比，与物体运动的位移s成反比

C．由公式s=at2/2可知，做初速度为零的匀变速直线运动的物体，其位移s的大小与物体运动的时间t的平方成正比

D