学年人教B版高中数学选修41教学案第一章圆内接四边形的性质与判定 可直接打印.docx

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学年人教B版高中数学选修41教学案第一章圆内接四边形的性质与判定可直接打印

1．3.2　圆内接四边形的性质与判定

[对应学生用书P29]　

[读教材·填要点]

1．圆内接四边形的性质定理

圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．

2．圆内接四边形的判定

（1）定理：

如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．

（2）符号语言表述：

在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆．

[小问题·大思维]

1．所有的三角形都有外接圆吗？

所有的四边形是否都有外接圆？

提示：

所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆．

2．如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？

提示：

因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为180°，所以该平行四边形一定是矩形．

[对应学生用书P29]　

证明四点共圆

[例1]　如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．

（1）证明：

A，P，O，M四点共圆；

（2）求∠OAM＋∠APM的大小．

[思路点拨]　本题考查四点共圆的判定及性质的应用问题，解答

（1）可利用圆内接四边形的判定定理证明。

解答问题

（2）可利用四点共圆的性质求解．

[精解详析]　

（1）证明：

连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.

由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．

（2）由

（1）得A，P，O，M四点共圆，

所以∠OAM＝∠OPM.

由

（1）得OP⊥AP，由圆心O在∠PAC的内部，

可知∠OPM＋∠APM＝90°，

所以∠OAM＋∠APM＝90°.

判定四点共圆的方法

（1）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．

（2）如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

1.如图，在正△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝

BC，CE＝

CA，AD，BE相交于点P，求证：

（1）P，D，C，E四点共圆；

（2）AP⊥CP.

证明：

（1）在正△ABC中，由BD＝

BC，CE＝

CA，可得△ABD≌△BCE，

∴∠ADB＝∠BEC，

∴∠ADC＋∠BEC＝180°，

∴P，D，C，E四点共圆．

（2）如图，连接DE，在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，

由正弦定理知∠CED＝90°，

由P，D，C，E四点共圆知，

∠DPC＝∠DEC，

∴AP⊥CP.

证明线段相等或角相等

[例2]　如图，两圆⊙O1，⊙O2相交于A，B.⊙O1的弦BC交⊙O2于E点，⊙O2的弦BD交⊙O1于F点．

证明：

（1）若∠DBA＝∠CBA，则DF＝CE.

（2）若DF＝CE，则∠DBA＝∠CBA.

[思路点拨]　本题考查圆内接四边形的判定及性质．解决本题需要借助三角形全等证明角相等或边长相等．

[精解详析]　

（1）连接AE，AF，AC，AD，

则∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD.

又∵∠DBA＝∠CBA，∴

＝

.

∴AD＝AE，∴△ACE≌△AFD.

故CE＝DF.

（2）由

（1）∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD，

又∵DF＝CE，∴△ACE≌△AFD，

∴AD＝AE，∴∠DBA＝∠CBA.

（1）圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新的途径．

（2）在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意两者的综合运用．

（3）构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等、角相等或线段成比例等目的．

2．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.

求证：

∠E＝∠C.

证明：

如图，连接OD，因为BD＝DC，

O为AB的中点，

所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.

因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.

于是∠B＝∠C.

因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.

证明比例线段或比例式

[例3]　如图所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.

求证：

AE·AC＝AF·DE.

[思路点拨]　本题考查圆内接四边形的判定及性质以及相似三角形等问题．解答本题可连接BD，通过证明△EBD∽△EFA来解决．

[精解详析]　连接BD，因为AB∥CD，

所以BD＝AC.

因为A、B、D，F四点共圆，

所以∠EBD＝∠F.

因为∠E为△EBD和△EFA的公共角，

所以△EBD∽△EFA.

所以

＝

，所以

＝

.

即AE·AC＝AF·DE.

证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，而证明三角形相似，常利用圆内接四边形的性质寻找角之间的关系．

3．试证明：

在圆内接四边形ABCD中，

AC·BD＝AD·BC＋AB·CD.

证明：

如图，在AC上取点E，使∠ADE＝∠1.

又∠3＝∠4，∴△ADE∽△BDC.

∴

＝

，

∴AE·BD＝AD·BC.①

又∵∠ADE＝∠1，∴∠ADB＝∠CDE.

又∵∠5＝∠6，∴△ABD∽△ECD.

∴

＝

，∴BD·EC＝AB·CD.②

①②两式相加：

AE·BD＋BD·EC＝AD·BC＋AB·CD，

即AC·BD＝AD·BC＋AB·CD.

[对应学生用书P31]　

一、选择题

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝（　　）

A．35°　　　　　　　　B．90°

C．125°D．150°

解析：

连接BD，则∠MAB＝∠ADB＝35°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，所以∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.

答案：

C

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE＝50°，则∠BOD等于（　　）

A．75°B．90°

C．100°D．120°

解析：

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠DCE＝∠A，

∴∠A＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°.

答案：

C

3．若AD、BE、CF为△ABC的三条高线，交于H，则图中四点共圆的组数是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

其中：

B、D、H、F共圆；C、D、H、E共圆；A、E、H、F共圆；A、F、D、C共圆；B、C、E、F共圆；A、B、E、D共圆．

答案：

D

4.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于（　　）

A.

aB．

a

C.

aD．

a

解析：

∵AC为BD的垂直平分线，

∴AB＝AD＝a，AC⊥BD，

∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°.

∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°.

∴∠CDB＝30°，

∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝

a.

答案：

A

二、填空题

5．圆内接四边形ABCD中，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，则∠A＝________，∠B＝________，∠C＝________，∠D＝________.

解析：

∵∠B＋∠D＝180°，∠B∶∠D＝1∶3，

∴∠B＝45°，∠D＝135°.又∠B∶∠C＝1∶2，

∴∠C＝90°.又∠A＋∠C＝180°，

∴∠A＝90°.

答案：

90°　45°　90°　135°

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝130°，则∠BCD＝________.

解析：

∵∠BOD＝130°，∴∠A＝

＝

＝65°.

∴∠BCD＝180°－65°＝115°.

答案：

115°

7．如图，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB，则AC＝______，

BD＝________.

解析：

∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.

在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，

∴AC＝

＝6.

又∵CD平分∠ACB，

即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.

∴BD＝

＝5

.

答案：

6　5

8．若两条直线（a＋2）x＋（1－a）y－3＝0，（a－1）x＋（2a＋3）y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.

解析：

∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则有对角互补，又两坐标轴互相垂直，

∴这两条直线垂直，

即（a＋2）（a－1）＋（1－a）（2a＋3）＝0.

∴a2＝1，∴a＝±1.

答案：

±1

三、解答题

9．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足．

求证：

E，B，C，F四点共圆．

证明：

如图，连接EF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴A，E，D，F四点共圆．

∴∠1＝∠2.

∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°.

∴∠BEF＋∠C＝180°.

∴B，E，F，C四点共圆．

10．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.

（1）证明：

B，D，H，E四点共圆；

（2）证明：

CE平分∠DEF.

证明：

（1）在△ABC中，因为∠B＝60°，

所以∠BAC＋∠BCA＝120°.

因为AD，CE是角平分线，

所以∠HAC＋∠HCA＝60°，

故∠AHC＝120°.

于是∠EHD＝∠AHC＝120°.

因为∠EBD＋∠EHD＝180°，

所以B，D，H，E四点共圆．

（2）连结BH，则BH为∠ABC的平分线，

得∠HBD＝30°.

由

（1）知，B，D，H，E四点共圆，

所以∠CED＝∠HBD＝30°.

又∠AHE＝∠EBD＝60°，

由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.

所以CE平分∠DEF.

11．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.

（1）求证：

FB＝FC；

（2）求证：

FB2＝FA·FD；

（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长．

解：

（1）证明：

∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD＝∠DAC.

∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.

∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB.

∴FB＝FC.

（2）证明：

∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，

∠AFB＝∠BFD，

∴△FBA∽△FDB.∴

＝

，∴FB2＝FA·FD.

（3）∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.

∵∠EAC＝120°，

∴∠DAC＝

∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.

∴∠D＝30°.

∵BC＝6，∴AC＝2

cm.

∴AD＝2AC＝4

cm.