人大附中初二上期中数学.docx

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人大附中初二上期中数学

2015人大附中初二（上）期中数学

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列四个图形中不是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（3分）若分式

的值为0，则x的值为（　　）

A．﹣2B．4C．﹣2或4D．无法确定

3．（3分）在下列运算中，正确的是（　　）

A．a2+a3=2a5B．（a2）3=a6C．a6÷a2=a3D．a2•a3=a6

4．（3分）在直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　）

A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）

5．（3分）如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　）

A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab

6．（3分）若x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n的值为（　　）

A．﹣2B．2C．0D．1

7．（3分）如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE等于（　　）

A．1mB．2mC．3mD．4m

8．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB=BC，则下列结论中错误的是（　　）

A．BD⊥ACB．∠A=∠EDAC．2AD=BCD．BE=ED

9．（3分）将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（3分）如图所示，在正五边形的对称轴直线l上找点P，使得△PCD、△PDE均为等腰三角形，则满足条件的点P有（　　）

A．4个B．5个C．6个D．7个

二、填空题（19题后两空各1分，其余每空2分，共20分）

11．（2分）计算（π﹣3）0=　　．

12．（2分）如果分式

有意义，那么的取值范围是　　．

13．（2分）32016×

2015=　　．

14．（2分）已知x+y=7，xy=7，则x2+y2的值是　　．

15．（2分）如图，四边形ABCD沿直线AC对折后重合，若AD=3，BC=2，则四边形ABCD周长为　　．

16．（2分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△BCD和△ABC的周长分别为14和22，则AE长为　　．

17．（2分）如图，将正方形纸片对折，折痕为EF，展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则∠AGB的度数为　　．

18．（2分）对于数a，b，c，d，规定一种运算

=ad﹣bc，如

=1×（﹣2）﹣0×2=﹣2，那么当

=27时，则x=　　．

19．（4分）平面直角坐标系中有一点A（1，1），对点A进行如下操作：

第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2=AA1；

第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4=A2A3；

第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6=A4A5；

…

则点A2的坐标为　　，点A2015的坐标为　　．

若点An的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式　　．

三、解答题（每小题8分，共28分）

20．（8分）计算：

（1）x4÷x2+（x+6）（x﹣3）

（2）（2x+y）（2x﹣y）+（3x+2y）2．

21．（8分）分解因式：

（1）5ax2﹣5ay2

（2）9m2n﹣6mn+n．

22．（8分）先化简，再求值：

（1）（7a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（3a+b），其中a=1.5，b=﹣1

（2）（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2），其中4x2+5x﹣1=0．

23．（4分）尺规作图：

请作出线段AB的垂直平分线CD，并说明作图依据．

结论：

作图依据：

　　．

四、解答题（每小题4分，共12分）

24．（4分）如图，AD=BC，AC与BD相交于点E，且AC=BD，求证：

AE=BE．

25．（4分）列方程解应用题：

如果一个正方形的边长增加4厘米，那么它的面积就增加40平方厘米，则这个正方形的边长是多少？

26．（4分）如图，点E为AC的中点，点D为△ABC外一点，且满足射线BD为∠ABC的平分线，∠ABC+∠ADC=180°，请判断DE和AC的位置关系，并证明．

27．（5分）阅读理解应用

待定系数法：

设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为值等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．

待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：

因式分解x3﹣1．

因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．

故我们可以猜想x3﹣1可以分解成x3﹣1=（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：

x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：

a﹣1=0，b﹣a=0，﹣b=﹣1，可以求出a=1，b=1．

所以x3﹣1=（x﹣1）（x2+x+1）

（1）若x取任意值，等式x2+2x+3=x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a=　　；

（2）已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．

（3）请判断多项式x4﹣x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．

28．（5分）已知，点D是△ABC内一点，满足AD=AC

（1）已知∠CAD=2∠BAD，∠ABD=30°，如图1，若∠BAC=60°，∠ACB=80°，请判断BD和CD的数量关系（直接写出答案）

（2）如图2，若∠ACB=2∠ABC，BD=CD，试证明∠CAD=2∠BAD．

数学试题答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．【解答】A、不是轴对称图形，正确；B、是轴对称图形，错误；C、是轴对称图形，错误；D、是轴对称图形，错误．故选A．

2．【解答】由

的值为0，得

，解得x=4，故选：

B．

3．【解答】A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确；

C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D错误；故选：

B．

4．【解答】点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，2），故选：

C．

5．【解答】根据题意得：

（a+b）2=a2+2ab+b2，故选：

A．

6．【解答】∵（x+n）（x+2）=x2+2x+nx+2n=x2+（2+n）x+2n，

又∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，

∴2+n=0，

∴n=﹣2；

故选A．

7．【解答】∵点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，

∴点E是AC的中点，

∴DE是直角三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得：

DE=

BC，

又∵在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴BC=

AB=

×8=4．

故DE=

BC=

×4=2m，

故选：

B

8．【解答】∵BD是△ABC的角平分线，AB=BC，

∴BD⊥AC，∠A=∠C，∠EBD=∠DBC，

∵DE∥BC，

∴∠C=∠EDA，∠EDB=∠DBC，

∴∠A=∠EDA，∠EBD=∠EDB，

∴BE=ED．

故选C．

9．【解答】拿一张纸具体剪一剪，结果为A．故选A．

10．【解答】∵P点在直线L上，

∴此时PC=PD，即△PCD是等腰三角形，

分为三种情况：

①作DE的垂直平分线，交直线l于一点P，此时PE=PD；

②以D为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时DP=DE；

③以E为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时EP=DE；

共1+2+2=5点．

故选B．

二、填空题（19题后两空各1分，其余每空2分，共20分）

11．【解答】（π﹣3）0=1，故答案为：

1．

12．【解答】分式

有意义，得x﹣5≠0．解得x≠5，故答案为：

x≠5．

13．【解答】32016×

2015=3×（3×

）2015=3．故答案为：

3．

14．【解答】∵x+y=7，xy=7，

∴原式=（x+y）2﹣2xy=49﹣14=35．

故答案为：

35．

15．【解答】∵四边形ABCD沿直线AC对折后重合，

∴△ADC≌△ABC，

∴AB=AD=3，BC=DC=2，

∴四边形ABCD周长为：

AB+BC+CD+AD=3+2+2+3=10，

故答案为：

10．

16．【解答】∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，

由题意得，BD+DC+BC=14，AB+BC+AC=22，则AC=8，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE=4，

故答案为：

4．

17．【解答】∵将正方形纸片对折，折痕为EF，

∴BF=

AB，∠GAB=90°，

∴∠BAF=30°，

∴ABF=60°，

∵展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，

∴∠ABG=

×（90°﹣60°）=15°，

∴∠AGB=90°﹣15°=75°．

故答案为：

75°．

18．【解答】根据运算规则：

=27可化为：

（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）（x+2）=27，

去括号得：

﹣1﹣x+2=27，

移项合并同类项得：

x=﹣26．

故填﹣26．

19．【解答】由题意得，A1（1，﹣1），A2（1，﹣2），

A3（﹣1，﹣2），A4（﹣2，﹣2），

A5（﹣2，2），A6（﹣2，4），

A7（2，4），A8（4，4），

∵2015÷8=251余7，

∴点A2015为第252循环组的第一象限的倒数第二个点，

∴A2015（2503，2504），

点An的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式m=n．

故答案为：

（1，﹣2）；（2503，2504），m=n．

三、解答题（每小题8分，共28分）

20．【解答】解：

（1）x4÷x2+（x+6）（x﹣3）=x2+x2﹣3x+6x﹣18=2x2+3x﹣18；

（2）（2x+y）（2x﹣y）+（3x+2y）2=4x2﹣y2+9x2+12xy+4y2=13x2+12xy+3y2．

21．【解答】解：

（1）原式=5a（x2﹣y2）=5a（x+y）（x﹣y）；

（2）原式=n（9m2﹣6m+1）=n（3m﹣1）2．

22．【解答】解：

（1）（7a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（3a+b）=7a2﹣2ab﹣b2﹣3a2﹣ab﹣3ab﹣b2=4a2﹣6ab﹣2b2，

当a=1.5，b=﹣1时，原式=4×1.52﹣6×1.5×（﹣1）﹣2×（﹣1）2=16；

（2）（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2）=4x2+4x+1﹣x2+x+x2﹣4=4x2+5x﹣3，

∵4x2+5x﹣1=0，

∴4x2+5x=1，

∴原式=1﹣3=﹣2．

23．【解答】解：

如图，CD为所作．

故答案为CD为所作，垂直平分线的性质定理的逆定理．

四、解答题（每小题4分，共12分）

24．【解答】解：

在△ABC和△BAD中，

∴△ABC≌△BAD（SSS），

∴∠CAB=∠DBA，

∴AE=BE．

25．【解答】解：

设这个正方形的边长为x，

根据题意得：

（x+4）2=x2+40，

整理得：

x2+8x+16=x2+40，

移项合并得：

8x=24，

解得：

x=3．

则这个正方形的边长是3．

26．【解答】解：

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAC+∠BCD=180°，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC，

∵射线BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠DAC=∠DCA，

∴△ADC为等腰三角形，

∵点E为AC的中点，

∴DE⊥AC（三线合一）．

27．【解答】解：

（1）∵x2+2x+3=x2+（3﹣a）x+s，

∴3﹣a=2，a=1；

（2）设x4+x2+1=（x2+ax+1）（x2+x+1）=x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，

a+1=0，a=﹣1，

多项式的另一因式是x2﹣x+1；

（3）能，

∵设x4﹣x2+1=（x2+ax+1）（x2+bx+1）=x4+（a+b）x3+（ab+2）x2+（a+b）x+1，

∴a+b=0，ab+2=﹣1，

解得：

a=

或﹣

，则b=﹣

或

，

∴x4﹣x2+1=（x2+

x+1）（x2﹣

x+1）．

28．【解答】解：

（1）BD和CD的数量关系是BD=CD；

理由：

∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°，

∴∠ABC=40°，

∵∠CAD=2∠BAD，

∴∠CAD=40°，∠BAD=20°，

又∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD=70°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=40°﹣30°=10°，∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=80°﹣70°=10°，

∴∠DBC=∠DCB，

∴DB=DC；

（2）作∠EBC=∠ACB，使EB=AC，连接ED、EA，则四边形AEBC是等腰梯形，

∴AE∥BC，

∴∠EAB=∠ABC，

∵BD=CD，

∴∠DBC=∠DCB，

∴∠EBD=∠ACD，

在△EBD和△ACD中

∴△EBD≌△ACD（SAS），

∴ED=AD，

∵∠ACB=2∠ABC，∠EBC=∠ACB，

∴∠EBC=2∠ABC，

∴∠ABE=∠ABC，

∴∠EAB=∠ABE，

∴BE=AE，

∵AD=AC=EB，

∴EA=ED=AD，

∴△AED是等边三角形，

∴∠EAD=60°，

∴∠BAD=60°﹣∠EAB=60°﹣∠ABC，

∴2∠BAD=120°﹣2∠ABC=120°﹣∠ACB，

∵AE∥BC，

∴∠ACB+∠EAC=180°，

∴∠ACB=180°﹣∠EAC，

∵∠EAC=60°+∠DAC，

∴2∠BAD=120°﹣（180°﹣60°﹣∠DAC）=∠DAC，

∴∠DAC=2∠BAD．