16不等式组的应用含答案.docx
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16不等式组的应用含答案
16.不等式(组)的应用
知识纵横
在客观世界中,相等的关系是相对的、局部的,不等的关系是绝对的、普遍的,因此,我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计,列出不等式(组),运用不等式(组)的相关知识予以求解。
不等式(组)的应用主要表现在:
作差或作商比较数的大小;求代数式的取值范围;求代数式的最值,列不等式(组)解应用题。
列不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿,一般步骤是:
1.弄清题意和题中的数量关系,用字母表示未知数;
2.找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系;
3.列出不等式(组);
4.解这个不等式(组),求出解集并作答。
例题求解
【例1】(“希望杯”邀请赛试题)给出四个自然数a、b、c、d,其中每三个数之和分别是180、197、208、222,则a、b、c、d中最大的数是______.
思路点拨较繁的一般解法是解关于a、b、c、d的四元一次方程组,由题意知a、b、c、d互不相等,不妨设a
解:
89提示:
整体叠加,先求出(a+b+c+d)的值.
【例2】(2000年山东省竞赛题)甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条
元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是().
A.a>bB.a思路点拨把买卖的钱数作差比较,推导出a与b的关系.
解:
选A提示:
-(3a+2b)=
<0,得a>b.
【例3】已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7是彼此互不相等的正整数,它们的和等于159,求其中最小数a1的最大值.(2003年北京市竞赛题)
思路点拨设a1设a、b为整数,若a
解:
设a1故a1的最大值为19.
【例4】(2003年广州市中考题)现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用为6000元,使用B型车厢每节费用为8000元.
(1)设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x之间的关系式;
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?
(3)在上述方案中,哪个方案运费最省?
最少运费为多少元?
思路点拨
(2)解关于x的不等式组,由正整数x的值确定安排车厢的不同方案.
解:
(1)y=0.6x+0.8(40-x)=-0.2x+32
(2)由
得24≤x≤26
因为x取整数,故A型车厢可用24节或25节或26节,相应的装车方案是:
①24节A型和16节B型车厢;②25节A型和15节B型车厢;③26节A型和14节B型车厢.
(3)当x=26时,y最小=26.8(万元)
【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币,他要求硬币总数为150枚,且每种硬币不少于20枚,5分的硬币要多于2分的硬币,请你据此设计兑换方案.(2003年河北省竞赛题)
思路点拨引入字母,列出含等式、不等式的混合组,把解方程组、解不等式组结合起来.
解:
设兑换成的1分、2分、5分硬币分别为x枚、y枚、z枚,则
由①,②得
将x,y代入③,④得
解得40故z=41,42,43,44,45.
由此得出x、y的对应值,于是得到5种方案:
(x,y,z)=(73,36,41);(x,y,z)=(76,32,42);(x,y,z)=(79,28,43);(x,y,z)=(82,24,44);(x,y,z)=(85,20,45).
学力训练
一、基础夯实
1.若方程
│x│-x-1997=0只有负数根,则a的取值范围是________.
2.若方程组
的解x、y都是正数,则m的取值范围是________.
(2002年河南省中考题)
3.某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时,收集了如下信息:
(1)生产该种化肥的工人数不能超过200人;
(2)每个工人全年工作时数不得多于2100人;
(3)预计2002年该化肥至少可售销80000袋;
(4)每生产一袋该化肥需要工时4个;
(5)每袋该化肥需要原料20千克;
(6)现库存原料800吨,本月还需用200吨,2002年可以补充1200吨.
根据上述数据,确定2002年该种化肥的生产袋数的范围是________.
(2001年江苏徐州中考题)
4.设P=
Q=
则P、Q的大小关系是().
A.P>QB.P5.某种出租车的收费标准是:
起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费),超过3千米以后,每增加1千米,加收2.4元(不足1千米按1千米计),某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元,设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米,那么x的最大值是().
A.11B.8C.7D.5(2002年南京市中考题)
6.韩日“世界杯”期间,重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油,现有A、B两个出租车队,A队比B队少3辆车,若全部安排乘A队的车,每辆坐5人,车不够,每辆坐6人,有的车未坐满;若全部安排乘B队的车,每辆车坐4人,车不够,每辆车坐5人,有的车未坐满,则A队有出租车().
A.11辆B.10辆C.9辆D.8辆(2002年重庆市中考题)
7.(2002年宁波市中考题)为了能有效地使用电力资源,宁波市电业局从2002年1月起进行居民峰谷用电试点,每天8:
00至22:
00用电每千瓦时0.56元(“峰电”价),22:
00至次日8:
00每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.
(1)一居民家庭在某月使用“峰谷”电后,付电费95.2元,经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元,问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时?
(2)当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时,使用“谷电”合算?
(精确到1%)。
8.(2003年黑龙江省中考题)为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表:
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费(万元/台)
1
1
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;
(3)在第
(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10年节约资金多少万元?
(注:
企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)
二、能力拓展
9.大、中、小三个正整数,大数与中数之和等于2003,中数减小数之差等于1000,那么这三个正整数的和为_________.(2003年北京市竞赛题)
10.已知a+b+c=0,a>b>c,则
的取值范围是________.(第17届江苏省竞赛题)
11.适合方程
的正整数x的值是_________.
12.设x1,x2,……,x7为自然数,且x113.正五边形广场ABCDE的周长为2000m,甲、乙两人分别从A、C两点同时出发绕广场沿A→B→C→D→E→A的方向行走,甲的速度为50m/min,乙的速度为46m/min,则出发后经过_______min,甲、乙第一次行走在同一条边上.(2003年河北省竞赛题)
14.如果│x│+││x│-1│=1,那么()
A.(x+1)(x-1)>0B.(x+1)(x-1)<0
C.(x+1)(x-1)≥0D.(x+1)(x-1)≤0(1999年山东省竞赛题)
15.小林拟将1,2,……,n这n个数输入电脑,求平均数.当他认为输入完毕时,电脑显示只输入了(n-1)个数,平均数为35
假设这(n-1)个数输入无误,则漏输入的一个数为().
A.10B.53C.56D.67(第14届江苏省竞赛题)
16.(2002年重庆市竞赛题)已知0≤a-b≤1且1≤a+b≤4,则a的取值范围是().
A.1≤a≤2B.2≤a≤3C.
≤a≤
D.
≤a≤
17.某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运往B市销售,现有三家运输公司可供选择,这三家运输公司提供的信息如下:
运输单位
运输速度
(千米/时)
运输费用
(元/千米)
包装与装卸时间(时)
包装与装卸费用(元)
甲公司
60
6
4
1500
乙公司
50
8
2
1000
丙公司
100
10
3
700
解答下列问题:
(1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍,求A、B两市的距离(精确到个位);
(2)如果A、B两市的距离为S千米,且这批水果在包装与装卸及运输过程上损耗为300元/时,那么要使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小,应选择哪家公司?
(2003年南通市中考题)
18.(北京市竞赛题)今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克,现要配制浓度为7%的盐水100克,问甲种盐水最多可用多少克?
最少可用多少克?
三、综合创新
19.某企业有员工300人生产A种产品,平均每人每年可创造利润m万元(m为大于零的常数).为减员增效,决定从中调配x人去生产新开发的B种产品.根据评估,调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%,生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元.
(1)调配后企业生产A种产品的年利润为_______万元,生产B种产品的年利润为______万元(用含m的代数式表示),若设调配后企业全年的总利润为y万元,则y关于x的关系式为__________.
(2)若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四,生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半,应有哪几种调配方案?
请设计出来,并指出其中哪种方案全年总利润最大(必要时运算过程可保留3个有效数字).
(3)企业决定将
(2)中的年最大总利润(m=2)继续投资开发新产品,现有六种产品可供选择(不得重复投资同一种产品),各产品所需资金以及所获利润如下表:
产品
C
D
E
F
G
H
所需资金(万元)
200
348
240
288
240
500
年利润(万元)
50
80
20
60
40
85
如果你是企业决策者,为使此项投资所获年利润不少于145万元,你可以投资开发哪些产品?
请你写出两种投资方案.(2002年江苏镇江市中考题)
20.一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位,生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料,售价为45元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数,可以使小熊和小猫总售价尽可能高.请你用你所学过的数学知识分析,总售价是否可能达到2200元?
(第12届“希望杯”邀请赛试题)
答案
1.-1997≤a≤1997提示:
若x>0,则x=
得a>1997,
若x<0,则x=
得a>-1997.2.
3.8万到9万袋之间提示:
设2002年生产该化肥x袋,从工时上、从原料上、从销售量上考虑有
4.A提示:
设21999=x,则P=
Q=
作商比较.5.B
6.B提示:
设A队有出租车x辆,则B队有出租车(x+3)辆,
则(Ⅰ)
(Ⅱ)
解(Ⅰ)9
得解(Ⅱ)得8
其公共部分为9
7.
(1)“峰电”140千瓦时,“谷电”60千瓦时;
(2)设当“峰电”用电占每月总电量的百分率为z时,使用“谷电”合算,月用电总量为a,由0.56az+0.28a(1-z)<0.53a,得z<89%.
8.
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型(10-x)台,由12x+10(10-x)≤105,得x≤2.5,
x可取0,1,2,由此可得三种购买方案.
(2)由240x+200(10-x)≥2040,得x≥1,
故x=1或2.
当x=1时,购买资金为:
12×1+10×9=102(万元);
当x=2时,购买资金为:
12×2+10×8=104(万元),
所以,为了节约资金,应选购A型1台,B型9台.
(3)能节约资金为:
2040×12×10×10(元)-(102+10×10)(万元)
=244.8(万元)-202(万元)=42.8(万元)
9.2004
10.b=-a-c,-a-c-c,
>-2,
又把b=-a-c代入b>c,得-a-c>c,
<-
故-2<
<-
11.x=1提示:
由x+1则
12.61提示;159=x1+x2+…x7≥x1+(x1+1)+(x1+2)+…+(x1+6),
解得x1≤19
即x1的最大值为19,
同理x2、x3的最大值分别为20、22.
13.设甲走完x条边时,两人走在同一条边上,
此时甲走了400xm,乙走了46×
=368xm,
甲、乙两人的距离不大于正五边形的边长400m,
所以(368x+800)-400x≤400,解得x≥12.5,
而x为整数,取x=13,
所以,甲、乙走了
=104min后走到一条边上.
14.D提示:
令│x│=a≥0,即a+│a-1│=1,所以-1≤x≤1,于是(x+1)(x-1)≤0.
15.C提示:
设漏输入的一个数是k,则
解得69
≤n≤71
又7│n-1,则n=71,于是
解得k=56.
16.C
17.
(1)217千米;
(2)设选择三家运输公司所需的总费用分别为y、y、y,
由于三家运输公司包装与装卸及运输所需的时间分别为:
甲公司(
+4)小时,乙公司(
+2)小时,丙公司(
+3)小时,所以
y=6S+1500+(
+4)×300=11S+2700.
y=8S+1000+(
+2)×300=14S+1600.
y=10S+700+(
+3)×300=13S+1600.
∵S>0,∴y2>y3恒成立,所以只要比较y1与y3的大小.
∵y1-y3=-2S+1100,
∴①当S<550(千米)时,y1>y3,又y2>y3,故此时选择丙公司较好;
②当S=550(千米)时,y2>y1=y3,此时选择甲公司或丙公司;
③当S>550(千米)时,y2>y3>y1,此时选择甲公司较好.
18.提示:
设甲、乙、丙三种盐水应分别取x克、y克、z克,则
解得
从而
解得35≤x≤49.
19.
(1)(300-x)(1+20%)m,1.54mx.y=(300-x)(1+20%)m+1.54mx.
(2)由题意,得
解之,得97
因为x为正整数,所以x只能取98,99,100.
故共有三种调配方案:
①202人继续生产A种产品,调98人生产B种产品;②、③类似.
又y=0.34mx+360m,而0.34m>0,
故y随x增大而增大,从而知当x=100时,即200人继续生产A种产品,调配100人去生产B种产品,获得的总利润最大.
(3)当m=2时,最大利润为788万元,故可投资额最大为788万元,要使获取年利润不少于145万元,可投资开发产品F、H,或C、D、E,或C、D、G或C、F、G.
20.提示:
设小熊和小猫的个数分别为x、y,总售价为z,则
当总售价为z=2200小时,即为
也即
解得14≤x≤14,此时y=24,当x=14,y=24时,z=80×14+45×24=2200(元)
故安排生产小熊14个、小猫24个可达到总售价2200元.