版理数练习第三章 第四节 yAsinωx+φ的图像及应用.docx

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版理数练习第三章第四节yAsinωx+φ的图像及应用

课时作业

A组——基础对点练

1．将函数y＝cos2x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝f（x）·cosx的图像，则f（x）的表达式可以是（　　）

A．f（x）＝－2sinx　　B．f（x）＝2sinx

C．f（x）＝sin2xD．f（x）＝（sin2x＋cos2x）

解析：

将y＝cos2x的图像向左平移个单位长度后得y＝cos＝－sin2x＝－2sinxcosx的图像，所以f（x）＝－2sinx，故选A.

答案：

A

2．（2018·福州市质检）要得到函数f（x）＝sin2x的图像，只需将函数g（x）＝cos2x的图像（　　）

A．向左平移个周期　B．向右平移个周期

C．向左平移个周期D．向右平移个周期

解析：

因为f（x）＝sin2x＝cos（2x－）＝cos[2（x－）]，且函数g（x）的周期为＝π，所以将函数g（x）＝cos2x的图像向右平移个单位长度，即向右平移个周期，得到函数f（x）＝sin2x的图像，故选D.

答案：

D

3．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（　　）

A．y＝cos（2x＋）B．y＝sin（2x＋）

C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx

解析：

采用验证法．由y＝cos（2x＋）＝－sin2x，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.

答案：

A

4．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图像向左平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则ω的最小值是（　　）

A.B．2

C．1D.

解析：

依题意得，函数f（x＋）＝sinω（x＋）（ω＞0）的图像过点（，0），于是有f（＋）＝sinω（＋）＝sinωπ＝0（ω＞0），ωπ＝kπ，k∈Z，即ω＝k∈Z，因此正数ω的最小值是1，选C.

答案：

C

5．三角函数f（x）＝sin＋cos2x的振幅和最小正周期分别是（　　）

A.，B.，π

C.，D.，π

解析：

f（x）＝sincos2x－cossin2x＋cos2x＝cos2x－sin2x＝＝cos，故选B.

答案：

B

6．（2018·石家庄市质检）已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos2x，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）

A．[，]B．[－，]

C．[－，]D．[－，]

解析：

f（x）＝sin（2x＋）＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋cos2x＝sin2x＋

cos2x＝sin（2x＋）．由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），所以f（x）的一个单调递减区间为[，]，故选A.

答案：

A

7．将函数y＝cosx＋sinx（x∈R）的图像向左平移m（m>0）个单位长度后，所得图像关于y轴对称，则m的最小值是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

将函数y＝cosx＋sinx＝2cos的图像向左平移m（m>0）个单位长度后，所得图像的函数解析式为y＝2cos.因为所得的函数图像关于y轴对称，所以m－＝kπ（k∈N），即m＝kπ＋（k∈N），所以m的最小值为，故选B.

答案：

B

8．若函数f（x）＝sinωx－cosωx，ω>0，x∈R，又f（x1）＝2，f（x2）＝0，

且|x1－x2|的最小值为，则ω的值为（　　）

A.B.

C.D．2

解析：

由题意知f（x）＝2sin（ωx－），设函数f（x）的最小正周期为T，因为f（x1）＝2，f（x2）＝0，所以|x1－x2|的最小值为＝，所以T＝6π，所以ω＝，故选A.

答案：

A

9．已知f（x）＝2sin（2x＋），若将它的图像向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则函数g（x）的图像的一条对称轴的方程为（　　）

A．x＝B．x＝

C．x＝D．x＝

解析：

由题意知g（x）＝2sin[2（x－）＋]＝2sin（2x－），令2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋π，k∈Z，当k＝0时，x＝，即函数g（x）的图像的一条对称轴的方程为x＝，故选C.

答案：

C

10．函数f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx的最大值为．

解析：

因为f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx＝sinx·cosφ－cosxsinφ＝sin（x－φ），

－1≤sin（x－φ）≤1，所以f（x）的最大值为1.

答案：

1

11．（2018·昆明市检测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0），A，B是函数y＝f（x）图像上相邻的最高点和最低点，若|AB|＝2，则f

（1）＝.

解析：

设f（x）的最小正周期为T，则由题意，得＝2，解得T＝4，所以ω＝＝＝，所以f（x）＝sin（x＋），所以f

（1）＝sin（＋）＝sin＝.

答案：

12．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0,0＜φ＜π）的图像如图所示，则f（0）的值为．

解析：

由函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0,0＜φ＜π）的图像可知，其最小正周期T＝2π，则ω＝1.又f（－）＝sin（－＋φ）＝0,0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（0）＝sin＝sin（＋）＝cos＝.

答案：

13．已知函数y＝g（x）的图像由f（x）＝sin2x的图像向右平移φ（0<φ<π）个单位长度得到，这两个函数的部分图像如图所示，则φ的值为．

解析：

函数f（x）＝sin2x的图像在y轴右侧的第一条对称轴为x＝，直线x＝关于x＝对称的直线为x＝.由图像可知，图像向右平移之后，横坐标为的点平移到横坐标为的点，所以φ＝－＝.

答案：

B组——能力提升练

1．（2018·广州市检测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）（ω＞0,0＜φ＜π）是奇函数，直线y＝与函数f（x）的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（　　）

A．f（x）在（0，）上单调递减

B．f（x）在（，）上单调递减

C．f（x）在（0，）上单调递增

D．f（x）在（，）上单调递增

解析：

f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）＝sin（ωx＋φ＋），因为0＜φ＜π且f（x）为奇函数，所以φ＝，即f（x）＝－sinωx，又直线y＝与函数f（x）的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，所以函数f（x）的最小正周期为，由＝，可得ω＝4，故f（x）＝－sin4x，由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，此时f（x）在（，）上单调递增，故选D.

答案：

D

2．将函数y＝sin（2x＋φ）（φ>0）的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的最小值为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

将函数y＝sin（2x＋φ）（φ>0）的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数y＝sin＝sin的图像，则由＋φ＝kπ＋，得φ＝kπ＋（k∈Z），所以φ的最小值为，故选C.

答案：

C

3．已知函数f（x）＝2sin（ωx＋）－1（ω>0）的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值是（　　）

A．3B.

C.D.

解析：

将f（x）的图像向右平移个单位长度后得到图像的函数解析式为y＝2sin[ω（x－）＋]－1＝2sin（ωx－＋）－1，所以＝2kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z，因为ω>0，k∈Z，所以ω的最小值为3，故选A.

答案：

A

4．若关于x的方程2sin（2x＋）＝m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（　　）

A．（1，）B．[0,2]

C．[1,2）D．[1，]

解析：

2sin（2x＋）＝m在[0，]上有两个不等实根等价于函数f（x）＝2sin（2x＋）的图像与直线y＝m有两个交点．如图，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝m的图像，由图可知m的取值范围是[1,2）．

答案：

C

5．函数f（x）＝cos（2x－）＋4cos2x－2－（x∈[－，]）所有零点之和为

（　　）

A.B.

C．2πD.

解析：

函数f（x）＝cos（2x－）＋4cos2x－2－（x∈[－，]）的零点可转化为函数g（x）＝cos（2x－）＋4cos2x－2与h（x）＝的交点的横坐标g（x）＝cos（2x－）＋4cos2x－2＝sin2x＋cos2x＝sin（2x＋），h（x）＝＝，可得函数g（x），h（x）的图像关于点（，0）对称．函数g（x），h（x）的图像如图所示．

结合图像可得在区间[－，]上，函数g（x），h（x）的图像有4个交点，且关于点（，0）对称．所有零点之和为2×＋2×＝，故选B.

答案：

B

6．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f（x）≤f成立，则f（x）图像的一个对称中心的坐标是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

由f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为4π，得ω＝.因为f（x）≤f恒成立，所以f（x）max＝f，即×＋φ＝＋2kπ（k∈Z），所以φ＝＋2kπ（k∈Z），由|φ|<，得φ＝，故f（x）＝sin，将各选项代入验证，可知选A.

答案：

A

7．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|≤），x＝－为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图像的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（　　）

A．11B．9

C．7D．5

解析：

因为x＝－为函数f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图像的对称轴，所以＝＋（k∈Z，T为周期），得T＝（k∈Z）．又f（x）在（，）上单调，所以T≥，k≤，又当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f（x）在（，）上不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f（x）在（，）上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.

答案：

B

8．（2018·衡水中学调研）已知点（a，b）在圆x2＋y2＝1上，则函数f（x）＝acos2x＋bsinxcosx－－1的最小正周期和最小值分别为（　　）

A．2π，－B．π，－

C．π，－D．2π，－

解析：

因为点（a，b）在圆x2＋y2＝1上，所以a2＋b2＝1，可设a＝cosφ，

b＝sinφ，代入原函数f（x）＝acos2x＋bsinxcosx－－1，得f（x）＝cosφcos2x＋

sinφsinxcosx－cosφ－1＝cosφ（2cos2x－1）＋sinφsin2x－1＝cosφcos2x＋

sinφsin2x－1＝cos（2x－φ）－1，故函数－的最小正周期为T＝＝π，函数f（x）的最小值f（x）min＝－－1＝－，故选B.

答案：

B

9．（2018·太原模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期是π，若将f（x）的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则函数f（x）的图像

（　　）

A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称

C．关于点对称D．关于点对称

解析：

∵f（x）的最小正周期为π，∴＝π，

ω＝2，∴f（x）的图像向右平移个单位后得到g（x）＝sin＝sin的图像，又g（x）的图像关于原点对称，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，

∴φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝－，∴f（x）＝sin.当x＝时，2x－＝－，

∴A，C错误；当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．

答案：

B

10．已知f（x）＝sin（ω>0），f＝f，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝.

解析：

依题意，x＝＝时，y有最小值，即sin＝－1，则ω＋＝2kπ＋（k∈Z）．所以ω＝8k＋（k∈Z）．因为f（x）在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.

答案：

11．已知函数f（x）＝cos，其中x∈，若f（x）的值域是，则m的最大值是．

解析：

由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，∵f＝cos＝－，且f＝cosπ＝－1，∴要使f（x）的值域是，需要π≤3m＋≤，解得≤m≤，即m的最大值是.

答案：

12．已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>0），x∈R.若函数f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为．

解析：

f（x）＝sinωx＋cosωx＝sin（ωx＋），因为函数f（x）的图像关于直线x＝ω对称，所以f（ω）＝sin（ω2＋）＝±，所以ω2＋＝＋kπ，k∈Z，即ω2＝＋kπ，k∈Z，又函数f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，所以ω2＋≤，即ω2≤，取k＝0，得ω2＝，所以ω＝.