立体几何练习题精.docx
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立体几何练习题精
C
A
A
E
1.设a、休丫为两两不重合的平面，I、m、n为两两不重合的直线，给岀下列四个命题:
若AG与所成角为30，则二面角EF为
的体积为（）
B.AB//平面SCD
6•如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD丄底面ABCD,PD=AD=1,
8•给出下列四个命题:
（1）若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则〃
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
（2）两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；
（3）两条异面直线中的一条平行于平面，则另一条必定不平行于平面；
（4）a,b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个.
其中正确命题的序号是
9•已知正方体ABCDABiCiDi中，点E是棱AR的中点，则直线AE与平而BDDiB所成角的正弦值是.
10•已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90°,ACAA,2.2,AB2,M为BBi的中
其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则-的取值范围是
a
12•已知矩形ABCD的长AB4，宽AD3，将其沿对角线BD折起，得到四面体ABCD，如图所示，
给出下列结论：
1四面体ABCD体积的最大值为72;
5
2
四面体ABCD外接球的表面积恒为定值；
3若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EF
4当二面角ABDC为直二面角时，直线
⑤当二面角ABDC的大小为60时，棱AC的长为14.
5
其中正确的结论有（请写出所有正确结论的序号）.
13.如图，在直三棱柱ABC-A1BG中，/BAC=90°,AB=BB，直线BQ与平面
ABC成30°角.
（I）求证：
平面B1ACL平面ABBA;
（II）求直线AC与平面BAC所成角的正弦值.
14.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,ACAB的中点.已知
PALACPA=AB=6BC=8DF=5.
（1）若PB丄BC证明平面BDEL平面ABC
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值.
15.如图，长方体ABCD-AiBQDi中，AB=AD=1AA=2，点P为DD的中点.
（1）求证：
直线BD//平面PAC
（2）求证：
平面PACL平面BDDB;
（3）求CP与平面BDDBi所成的角大小.
16.如图，四棱锥P-ABCD勺底面是正方形，PD丄底面ABCD点E在棱
PB上
（1）
求证：
ACL平面PDB
（2）当PD='AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ADC=45°,D=AC=1O为AC中点，P0丄平面ABCDP0=2,M为PD中点.
（I）求证：
PB//平面ACM
（H）求证：
ADL平面PAC
（川）求二面角M-AC-D的正切值.
18.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCE为矩形，PA丄平面ABCD点E在线段PC上，PC丄
平面BDE
（1）证明：
BDL平面PAC
（2）若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.
19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CALCBAA1=AC=CB=2D
是AB的中点.
（1）求证：
BC//平面ACD
（2）求证：
AC丄AB;
（3）若点E在线段BB上，且二面角E-CD-B的正切值是•儿，求此时
2|
三棱锥C-ADE的体积.
20.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的..倍，P为侧棱SD上的点.
（1）求证：
ACLSD
（2）
若SDL平面PAC求二面角P-AC-D的大小；
SEEC的值;
（3）在
（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC若存在，求
若不存在，试说明理由．
试卷答案
:
解：
若a丄丫，B丄丫，则a与B可能平行也可能相交，故①-错误;
由于mn不一定相交，故a//B不一定成立，故②错误；
由面面平行的性质定理，易得③正确；
由线面平行的性质定理，我们易得④正确；
故选B
考点：
棱柱的结构特征.
专题：
空间角.
分析：
找出BD与平面ABCD所成的角，计算余弦值.
•/DD丄平面ABCD：
BD是BD在平面ABCD勺射影，
•••/DBD是BD与平面ABCD所成的角；
设AB=1,则BD=：
'：
BD=二
•cos/DBD^^-=^=空；
故选：
D.
点评：
本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题.
考点：
球的体积和表面积.
专题：
计算题；空间位置关系与距离.
分析：
根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出
球的体积.
解答：
解：
由题意可知：
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，
因为△ABC是边长为.】的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为:
因为AA=2且AA丄平面ABC所以外接球的半径为：
「=府了=应.
所以外接球的体积为：
V冷"晋…近）呼H.
故选：
C.
点评：
本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积.着重考查了正三
棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题.
考点：
平面与平面垂直的性质.
专题：
计算题；空间位置关系与距离.
分析：
构造棱长分别为a,b,c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的
长，0P为长方体的对角线，求出0P即可.
解答：
构造棱长分别为a,b,c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的
长，
则a2+b2+c2=32+42+52=50
因为0P为长方体的对角线.
所以0P=5.'：
.
故选：
D.
点评：
本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题.
考点：
直线与平面垂直的性质.
专题：
综合题；探究型.
分析：
根据SDL底面ABCD底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证ACLSB根据线面平行
的判定定理易证AB//平面SCD根据直线与平面所成角的定义，可以找出/ASO是SA与平面SBD所
成的角，/CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果.
解答：
解：
•••SDL底面ABCD底面ABCD为正方形，
•••连接BD,则BDLAC根据三垂线定理，可得ACLSB故A正确；
•/AB//CDAB?
平面SCDCD?
平面SCD
•AB//平面SCD故B正确；
•SDL底面ABCD
/ASO是SA与平面SBD所成的角，/DSO是SC与平面SBD所成的，
而厶SAO^ACSO
•••/ASOMCSO即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；
•••AB//CD•-AB与SC所成的角是/SCDDC与SA所成的角是/SAB
而这两个角显然不相等，故D不正确；
故选D.
点评：
此题是个中档题•考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成
的角，异面直线所成的角等问题，综合性强.
考点：
点、线、面间的距离计算.
专题：
综合题；空间位置关系与距离；空间角.
分析：
过C做平面PAB的垂线，垂足为E,连接BE则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直
角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2Vdiv1•
解答：
解：
过C做平面PAB的垂线，
垂足为E,连接BE,
则三角形CEB为直角三角形，其中/CEB=90,
根据斜边大于直角边，得CEvCB即d2V1•
同理，div1•
再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，
所以d2vdi.
所以d2vdiv1.
故选D.
点评：
本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用.
7—
4
8.
（2）（4）
9.
10
1
12.②③④13.
考点：
平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.
专题：
证明题.
分析：
（I）欲证平面BACL平面ABBA，关键是寻找线面垂直，而AC!
平面ABBAi,又AC?
平面
BAC,满足面面垂直的判定定理；
（II）过Ai做AiMLBiAi,垂足为M,连接CM,/AQM为直线AiC与平面BiAC所成的角，然后在三角
形AiCM中求出此角的正弦值即可.
解答：
解：
（I）证明：
由直三棱柱性质，BiB丄平面ABC
•••BiB丄AC又BALACBBABA=B
•••AC丄平面ABBA,又AC?
平面BiAC,
•平面BiACL平面ABBAi.
（II）解：
过Ai做AiMLBA,垂足为Ml,连接CM
•••平面BiACL平面ABBA,且平面BiACA平面ABBAi=BA,
••AM!
平面BAC.
•/AiCM为直线AC与平面BiAC所成的角，
•••直线BiC与平面ABC成30°角，「./BiCB=30.
设AB=BB=a,可得BiC=2a,BC=「-丄-一:
-i,
•直线AiC与平面BAC所成角的正弦值为JE
6'
点评：
本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、
运算能力和推理论证能力.
i4.
考点：
直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定.
专题：
空间位置关系与距离；空间角.
分析：
（i）由已知得DELACDE+EF=DF,从而DEL平面ABC由此能证明平面BDEL平面ABC
（2）由DEL平面ABC得/DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值.
解答：
（i）证明：
•••在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PCACAB的中点.
PA^ACPA=AB=6BC=8DF=5,
•••DEIACDE=3EF=4,DF=5,
•••dW+eRdF,•DELEF,
又EFAAC=F•DEL平面ABC
又DE?
平面BDE•平面BDEL平面ABC
（2）vDEL平面ABC•-PAL平面ABC•-PALAB
•/PB丄BC•AB丄BC
•-AC=J%W4=1O，•BE#\C=5，
由DEL平面ABC得/DBE是直线BD与平面ABC所成的角，
tan/DBE^~：
=—I.
be!
•直线BD与平面ABC所成角的正切值为半.
5
点评：
本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解
题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.
15.
考点：
直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.
专题：
证明题.
分析：
（1）设AC和BD交于点0,由三角形的中位线的性质可得P0//BDi,从而证明直线BD//平
面PAC
（2）证明ACLBDDDLAC,可证ACL面BDDB,进而证得平面PACL平面BDDBi.
（3）CP在平面BDDBi内的射影为0P故/CP0是CP与平面BDDB所成的角，在Rt△CP0中，利用边角关系求得/CP0的大小.
解答：
（1）证明：
设AC和BD交于点0,连PQ由P,0分别是DD,BD的中点，故P0//BD,
•/P0平面PACBD?
平面PAC所以，直线BD//平面PAC
（2）长方体ABCD-AiBCD中，AB=AD=1底面ABCD是正方形，贝UACLBD又DDL面ABCD贝UDDLAC•/BD?
平面BDDB,DD?
平面BDDB1,BDAD1D=D•-ACL面BDDB1.VAC?
平面PAC••平面PACL平面BDDBi.
（3）由
（2）已证：
ACL面BDDB1,•CP在平面BDDB内的射影为0PCP0是CP与平面BDDB
所成的角.
•CP与平面BDDB所成的角为30°.
点评：
本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平
面所成的角是解题的难点，属于中档题.
16.
考点：
直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定.
专题：
综合题；空间位置关系与距离；空间角.
分析：
（1）根据题意证明ACLBDPDLAC可得ACL平面PDB
（2）设ACHBD=O连接OE根据线面所成角的定义可知/AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可.
解答：
（1）证明：
•••四边形ABCD是正方形，•ACLBD
■/PDL底面ABCD
•PDLAC
又BDHPD=D.ACL平面PDB（3分）
（2）设ACHBD=O连接OE由
（1）知ACL平面PDB于O,
•••/AEO为AE与平面PDB所的角，（5分）
又O,E分别为DBPB的中点，
•OE/PDOE丄PD,
1
在Rt△AOE中，OE~PD=ilAB=AO
22
•/AEO=45,（7分）
即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.（8分）
点评：
本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、
运算能力和推理论证能力，属于中档题.
17.
考点：
与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.
专题：
计算题.
分析：
（I）连接OMBD,由MO分别为PD和AC中点，知OM/PB由此能够证明PB//平面
ACM
（H）由PQL平面ABCD知PQLAD,由/ADC=45,AD=AC=1知ACLAD,由此能够证明ADL平面PAC
（川）取DQ中点N,连接MN）由MN/PQ知MNL平面ABCD过点N作NELAC于E,由E为AQ中
点，连接ME由三垂线定理知/MEN即为所求，由此能求出二面角M-AC-D的正切值.
解答：
（I）证明：
连接QMBD
•/MQ分别为PD和AC中点，
•••QM/PB
•••QM平面ACMPB?
AC呼面，
•PB//平面ACIM-.（4分）
（H）证明：
由已知得PQL平面ABCD
•PQLAD,
•••/ADC=45,AD=AC=1
•ACLAC,
•/ASPQ=QAC,PQ平面PAC
•ADL平面PAC…..（8分）
（川）解：
取DQ中点N,连接MN贝UMIN/PQ
•MNL平面ABCD
过点N作NELAC于E,贝UE为AQ中点，
连接ME由三垂线定理可知/MEN即为二面角M-AC-D的平面角，
•/MN=1NE=
•tan/MEN=-2-..（13分）
点评：
本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时
要认真审题，仔细解答,注意三垂直线定理的合理运用.
18.
考点：
二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.
专题：
空间位置关系与距离；空间角；立体几何.
分析：
（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA!
BD与PCLBD再由线面垂直的
判定定理证明线面垂直即可;
（2）由图可令AC与BD的交点为0,连接0E证明出/BEO为二面角B-PC-A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值.
解答：
（1）•.•PA!
平面ABCD
•••PA!
BD
•/PCL平面BDE
•PCLBD又PAPPC=P
•BDL平面PAC
（2）设AC与BD交点为0,连0E
•/PCL平面BDE
•PCL平面B0E
•PCLBE
•/BE0为二面角B-PC-A的平面角
•/BDL平面PAC
•BDLAC
•四边形ABCD为正方形,又PA=1,AD=2,可得BD=AC=2:
PC=3
•0C='-=-..■：
■
在厶PA3A0EC中，更县—芈二唾
OCPCV233
又BDL0E
•tanZbEQ=-|j=3
•二面角B-PC-A的平面角的正切值为3
点评：
本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基
本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握
19.
考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定.
专题：
综合题；空间位置关系与距离；空间角.
分析：
（1）连接AG交AQ于点F,由三角形中位线定理得BG//DF,由此能证明BG//平面AQD
（2）利用线面垂直的判定定理证明AC丄平面ABCi,即可证明AQ丄AB;
（3）证明/BDE为二面角E-CD-B的平面角，点E为BB的中点，确定DELAiD,再求三棱锥C-
ADE的体积.
解答：
（1）证明：
连结AG,交AiC于点F,则F为AG中点,
又D是AB中点，连结DF,贝UBC//DF,
因为DF?
平面AiCDBC?
平面AiCD
所以BG//平面AiCD•••（3分）
（2）证明：
直三棱柱ABC-ABiCi中，
因为AA=AC所以AG丄AQ・・（4分）
因为CALCBBG//BC
所以BiCL平面ACCA,所以BiC丄6分）
因为BiCPAC=Ci，所以AiC丄平面ABCi
所以AiCLAB•••（8分）
（3）在直三棱柱ABC-AiBCi中，AA丄CD
因为AC=CBD为AB的中点，所以CDLABCDL平面ABBAi.
所以CDLDECDLDB
所以/BDE为二面角E-CD-B的平面角.
在Rt△DEB中，tan/BD匸誓.
由AA=AC=CB=2CALCB
所以丄•二,-L._.
所以——一,得BE=i.所以点E为BB的中点.…（ii分）
DB2
又因为CM,处g抚,DE=V3,AE=3,
故A^D^DE^AjE2,故有delaid
所以比“吕冥S△町deX*%后x衍x运二1•••（i4分厂
点评：
本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、
三棱锥C-AiDE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题.
20.
考点：
直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题.
专题：
计算题；证明题；压轴题.
分析：
（1）连BD设AC交于BD于0,由题意知SQL平面ABCD以0为坐标原点，|「「.厂-[分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系0-xyz，设底面边长为a,求出高SQ从而得到点S
OCLSD贝UACLSD
与点C和D的坐标，求出向量丨「与:
才，计算它们的数量积，从而证明出
（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量|：
和平面DAC的一个法向量：
，设所求二面角为0,则亡朋日二兰•巴护，从而求出二面角的大小；
|0S||ES|2
（3）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC根据（H）知：
是平面PAC的一个法向量，设二—:
:
内，故BE//平面PAC
解答：
证明：
（1）连BD设AC交于BD于Q由题意知SQL平面ABCD
以°为坐标原点，:
:
分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系0-xyz如图.
设底面边长为a，则高
于是:
•：
i.i._,.
故OCLSD
设所求二面角为0，则
所求二面角的大小为30°.
（3）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC
由（n）知厂是平面pac的一个法向量,
^BE=BC+（i=ECHCS=（-冷&净（1-t）
f■•..
而上丄.
即当SEEC=2:
1时，「而BE不在平面PAC内，故BE//平面PAC
.面角的求
点评：
本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和
法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强.
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