整理微积分公式手册95973.docx

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整理微积分公式手册95973

（2）规划实施中所采取的预防或者减轻不良环境影响的对策和措施有效性的分析和评估；

2）预防或者减轻不良环境影响的对策和措施。

主要包括预防或者减轻不良环境影响的政策、管理或者技术等措施。

（1）资质等级。

评价机构的环评资质分为甲、乙两个等级。

环评证书在全国范围内使用，有效期为4年。

（6）环境影响评价结论的科学性。

5.定性、定量评价

规划编制单位对规划环境影响进行跟踪评价，应当采取调查问卷、现场走访、座谈会等形式征求有关单位、专家和公众的意见。

《中华人民共和国环境保护法》和其他相关法律还规定：

“建设项目防治污染的设施，必须与主体工程同时设计，同时施工，同时投产使用（简称“三同时”）。

防治污染的设施必须经原审批环境影响报告书的环境保护行政部门验收合格后，该建设项目方可投入生产或者使用。

”“三同时”制度和建设项目竣工环境保护验收是对环境影响评价的延续，从广义上讲，也属于环境影响评价范畴。

（四）建设项目环境影响评价资质管理

（1）是否符合环境保护相关法律法规。

环境敏感区，是指依法设立的各级各类自然、文化保护地，以及对建设项目的某类污染因子或者生态影响因子特别敏感的区域。

高等数学公式手册

二〇〇六年七月

导数公式：

（tgx）′=sec2x

（ctgx）′=−csc2x

（arcsinx）′=

1

1−x2

（secx）′=secx⋅tgx

（cscx）′=−cscx⋅ctgx

（arccosx）′=−

1

1

1−x2

（ax）′=axlna

（logx）′=1

axlna

（arctgx）′=

1+x2

（arcctgx）′=−1

1+x2

基本积分表：

∫tgxdx=−lncosx+C

dx2

∫cos2x=∫sec

xdx=tgx+C

∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C

dx2

∫sin2x=∫csc

xdx=−ctgx+C

∫cscxdx=lncscx−ctgx+C

∫secx⋅tgxdx=secx+C

∫a2

dx

+x2

1arctgx+C

aa

∫cscx⋅ctgxdx=−cscx+C

x

x

dx

∫22

1ln

x−a+C

adx=+C

lna

x−a

dx

2ax+a

=1lna+x

∫shxdx=chx+C

∫a2−x2

dx

+C

2aa−x

x

∫chxdx=shx+C

dx

∫a2−x2

=arcsin+C

a

∫x2±a2

=ln（x+

x2±a2）+C

In=

ππ

22

∫sinnxdx=∫

00

cosnxdx=n−1I

n

2

n−2

∫x2

+a2

dx=x

2

x2+a2

+aln（x+

2

2

x2+a2

）+C

∫x2

2

−a2

2

dx=x

2

x

x2−a2

22

−alnx+

2

a2

x2−a2+C

x

∫a−x

dx=

2

a−x

+arcsin+C

2a

三角函数的有理式积分：

sinx=

2u

1+u2

，　cosx=

1−u2

1+u2

，　u=tg

x，　dx=

2

2du

1+u2

一些初等函数：

两个重要极限：

x

双曲正弦:

shx=e

−e−x

limsinx=1

2x→0x

x

双曲余弦:

chx=e

+e−x

lim（1+1）x=e=2.718281828459045...

x

2

x

双曲正切:

thx=shx=e

−e−x

x→∞

chx

ex+e−x

arshx=ln（x+

archx=±ln（x+

x2+1）

x2−1）

arthx=1ln1+x

21−x

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sin

cos

tg

ctg

-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

90°-α

cosα

sinα

ctgα

tgα

90°+α

cosα

-sinα

-ctgα

-tgα

180°-α

sinα

-cosα

-tgα

-ctgα

180°+α

-sinα

-cosα

tgα

ctgα

270°-α

-cosα

-sinα

ctgα

tgα

270°+α

-cosα

sinα

-ctgα

-tgα

360°-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

360°+α

sinα

cosα

tgα

ctgα

·和差角公式：

·和差化积公式：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

sinα+sinβ=2sinα+βcosα−β

22

cos（α±β）=cosαcosβmsinαsinβ

tgα±tgβ

sinα−sinβ=2cosα+βsinα−β

tg（α±β）=22

1mtgα

⋅tgβ

cosα+cosβ=2cosα+βcosα−β

ctg（α±β）=ctgα⋅ctgβm122

ctgβ±ctgα

cosα−cosβ=2sinα+βsinα−β

22

·倍角公式：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2α

ctg2α−1

sin3α=3sinα−4sin3α

cos3α=4cos3α−3cosα

ctg2α=

tg2α=

2ctgα

2tgα

3tgα−tg3α

tg3α=

1−3tg2α

1−tg2α

·半角公式：

sinα=±

1−cosα　　　　　　　　　　　　cosα=±

1+cosα

2

tgα=±

2

2

1−cosα

1+cosα

=1−cosα=

sinα

sinα

1+cosα

2

　　ctgα=±

2

2

1+cosα

1−cosα

=1+cosα=

sinα

sinα

1−cosα

·正弦定理：

a

sinA

=b

sinB

=c

sinC

=2R

·余弦定理：

c2=a2+b2−2abcosC

·反三角函数性质：

arcsinx=π−arccosx　　　arctgx=π−arcctgx

22

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

（uv）（n）=

n

∑

k=0

k（n−k）（k）

Cuv

n

=u（n）v+nu（n−1）v′+n（n−1）u（n−2）v′+L+n（n−1）L（n−k+1）u（n−k）v（k）+L+uv（n）

2!

k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f（b）−f（a）=f′（ξ）（b−a）

f（）−（）

′（ξ）

柯西中值定理：

b

fa=f

F（b）−F（a）

F′（ξ）

当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：

ds=

1+y′2dx,其中y′=tgα

平均曲率：

K=

Δα.Δα:

从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量；Δs：

MM′弧长。

Δs

M点的曲率：

K=limΔα

=dα=y′.

直线：

K=0;

Δs→0Δsds

（1+y′2）3

半径为a的圆：

K=1.

a

定积分的近似计算：

b

矩形法：

∫f（x）≈

a

b

梯形法：

∫f（x）≈

a

b−a

n

b−a

n

（y0+y1+L+yn−1）

[1（y+y）+y++y]

20n1n−1

b

抛物线法：

∫f（x）≈

a

b−a

3n

[（y0+yn）+2（y2+y4+L+yn−2）+4（y1+y3+L+yn−1）]

定积分应用相关公式：

功：

W=F⋅s

水压力：

F=p⋅A

引力：

F=km1m2,k为引力系数

r2

1b

函数的平均值：

y=f（x）dx

b−aa

12

均方根：

f

b−aa

（t）dt

空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：

d=M1M2=

（x2

−x）2+（y

−y）2+（z

−z）2

向量在轴上的投影：

PrjuAB=

AB⋅cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。

vvv

Prju（a1+a2）=Prja1+Prjav2

vvvv

a⋅b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,

两向量之间的夹角：

cosθ=

axbx

+ayby

+azbz

a2+a

2+a2⋅

b2+b2+b2

ijk

v

xyz

v

xyz

cv=av×b=aa

bxby

az,cv=av⋅bsinθ.例：

线速度：

vv=wv×rv.

bz

axayaz

vvv

向量的混合积：

[avbcv]=（av×b）⋅cv=bb

cxcy

b=av×b⋅cvcosα,α为锐角时，

cz

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：

A（x−x0）+B（y−y0）+C（z−z0）=0，其中nv={A,B,C},M0（x0,y0,z0）

2、一般方程：

Ax+By+Cz+D=0

xyz

、截距世方程：

+=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：

d=

Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2

⎧x=x0+mt

x−x0

y−y0

z−z0v⎪

空间直线的方程：

=

mn

二次曲面：

==t,其中s={m,n,p};参数方程：

⎨y=y0+nt

p

⎪

⎩z=z0+pt

x2

1、椭球面：

+

a2

x2

2

yz2

+=1

b2c2

y2

2、抛物面：

+

2p2q

3、双曲面：

=z（,

p,q同号）

x2y2z2

单叶双曲面：

+−

a2b2c2

x2y2z2

双叶双曲面：

−+

a2b2c2

=1

=（1马鞍面）

多元函数微分法及应用

全微分：

dz=∂zdx+∂zdy　　　du=∂udx+∂udy+∂udz

∂x∂y

∂x∂y∂z

全微分的近似计算：

Δz≈dz=fx（x,y）Δx+fy（x,y）Δy

多元复合函数的求导法：

z=f[u（t）,v（t）]

dz=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v　

dt

∂u∂t

∂v∂t

z=f[u（x,y）,v（x,y）]

∂z=

∂z⋅∂u+∂z⋅∂v

∂x∂u∂x

当u=u（x,y），v=v（x,y）时，

∂v∂x

du=∂udx+∂udy　　　dv=∂vdx+∂vdy　

∂x∂y

∂x∂y

隐函数的求导公式：

隐函数F（x,y）=0

dy=−Fx

2

dy=

∂（−Fx）＋∂

（−Fx）⋅dy

，　　

dx

，　　

Fydx

∂xFy

∂yFydx

隐函数F（x,y,z）=0

∂z=−Fx

∂z=−Fy

，　

∂xFz

，　　

∂yFz

∂F

⎧F（x,y,u,v）=0∂（F,G）

隐函数方程组：

⎨　　　J==

∂F

∂v=FuFv

⎩G（x,y,u,v）=0

∂（u,v）

∂G∂G

∂u∂v

GuGv

∂u=−1⋅∂（F,G）

∂v1∂（F,G）

∂xJ

∂（x,v）

∂xJ

∂（u,x）

∂u=−1⋅∂（F,G）

∂v1∂（F,G）

∂yJ

∂（y,v）

∂yJ

∂（u,y）

微分法在几何上的应用：

⎧x=ϕ（t）

⎪y=ψ（t）在点M（x,y,z）

x−x0

=y−y0

=z−z0

空间曲线⎨

⎪z=ω（t）

000

处的切线方程：

ϕ′（t0）

ψ′（t0）

ω′（t0）

在点M处的法平面方程：

ϕ′（t0）（x−x0）+ψ′（t0）（y−y0）+ω′（t0）（z−z0）=0

若空间曲线方程为：

⎪⎧⎨

F（x,y,z）=0

则切向量v={Fy

Fz,Fz

Fx,FxFy}

G（x,y,z）=0

GyGzGz

GxGxGy

曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,y0,z0），则：

1、过此点的法向量：

nv={F（x,y,z）,F（x,y,z）,F（x,y,z）}

2、过此点的切平面方程：

Fx（x0,y0,z0）（x−x0）+Fy（x0,y0,z0）（y−y0）+Fz（x0,y0,z0）（z−z0）=0

3、过此点的法线方程：

x−x0

=y−y0

=z−z0

Fx（x0,y0,z0）

Fy（x0,y0,z0）

Fz（x0,y0,z0）

方向导数与梯度：

∂f∂∂

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为：

∂l

=fcosϕ+

∂x

fsinϕ

∂y

其中ϕ为x轴到方向l的转角。

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：

gradf（x,y）=∂fi+∂fv

∂fv

∂x∂y

vvv

它与方向导数的关系是：

∂l

=gradf（x,y）⋅e，其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j，为l方向上的

单位向量。

∴∂f是gradf（x,y）在l上的投影。

∂l

多元函数的极值及其求法：

设fx（x0,y0）=fy（x0,y0）=0，令：

fxx（x0,y0）=A,　fxy（x0,y0）=B,　fyy（x0,y0）=C

⎧⎧A<0,（x,y

）为极大值

⎪AC−B2>0时，⎨00

⎪⎩A>0,（x0,y0）为极小值

则：

⎨AC−B2<0时，　　　　　　无极值

⎪AC−B2=0时,　　　　　　　不确定

⎪

⎪⎩

重积分及其应用：

∫∫f（x,y）dxdy=∫∫f（rcosθ,rsinθ）rdrdθ

DD′

22

曲面z=f（x,y）的面积A=

1+⎛=∂z⎞

⎛∂z⎞

dxdy

∫∫⎜

⎟+⎜⎟

D⎝∂x⎠

⎝∂y⎠

M∫∫xρ（x,y）dσ

M∫∫yρ（x,y）dσ

平面薄片的重心：

x=x=D,　　y=

y=D

M∫∫ρ（x,y）dσ

D

2

M∫∫ρ（x,y）dσ

D

2

平面薄片的转动惯量：

对于x轴Ix=∫∫y

D

ρ（x,y）dσ,　　对于y轴Iy=∫∫x

D

ρ（x,y）dσ

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>0）的引力：

F={Fx,Fy,Fz}，其中：

Fx=

f∫∫

ρ（x,y）xdσ

，　　=

f∫∫

ρ（x,y）ydσ

3，　　Fz=−

fa∫∫

ρ（x,y）xdσ

3

D（x2+y2+a2）2

D（x2+y2+a2）2

D（x2+y2+a2）2

柱面坐标和球面坐标：

⎨

⎧x=rcosθ

柱面坐标：

⎪y=rsinθ,　　　∫∫∫f（x,y,z）dxdydz=∫∫∫F（r,θ,z）rdrdθdz,

⎩

⎪z=zΩΩ

其中：

F（r,θ,z）=f（rcosθ,rsinθ,z）

⎧x=rsinϕcosθ

球面坐标：

⎪y=rsinϕsinθ，　　dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=r2sinϕdrdϕdθ

⎨

⎪

⎩z=rcosϕ

2ππ

r（ϕ,θ）

∫∫∫f（x,y,z）dxdydz=∫∫∫F（r,ϕ,θ）r2sinϕdrdϕdθ=∫dθ∫dϕ

∫F（r,ϕ,θ）r2sinϕdr

ΩΩ

11

000

1

重心：

x=∫∫∫xρdv,　　y=∫∫∫yρdv,　　z=∫∫∫zρdv，　　其中M=x=∫∫∫ρdv

Ω

转动惯量：

Ix=∫∫∫（y

Ω

+z2

Ω

）ρdv，　　Iy=∫∫∫（x

Ω

+z2

Ω

）ρdv，　　Iz=∫∫∫（x

Ω

+y2

Ω

）ρdv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

⎨

设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：

⎧x=ϕ（t）

　　（α≤t≤β）,则：

⎩y=ψ（t）

β

⎧x=t

∫f（x,y）ds=∫f[ϕ（t）,ψ（t）]

ϕ′2（t）+ψ′2（t）dt　　（α<β）　　特殊情况：

⎨

Lα⎩y=ϕ（t）

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

⎧x=ϕ（t）

设L的参数方程为⎨

，则：

⎩y=ψ（t）

β

∫P（x,y）dx+Q（x,y）dy=∫{P[ϕ（t）,ψ（t）]ϕ′（t）+Q[ϕ（t）,ψ（t）]ψ′（t）}dt

Lα

两类曲线积分之间的关系：

∫Pdx+Qdy=∫（Pcosα+Qcosβ）ds，其中α和β分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

∂Q∂P∂Q∂P

格林公式：

∫∫（−）dxdy=∫Pdx+Qdy格林公式：

∫∫（−）dxdy=∫Pdx+Qdy

D∂x∂yL

D∂x∂yL

∂Q

当P=−y,Q=x，即：

−∂P

1

=2时，得到D的面积：

A=∫∫dxdy=∫xdy−ydx

∂x∂y

D2L

·平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P（x,