初中数学三角形技巧及练习题附解析.docx

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初中数学三角形技巧及练习题附解析

初中数学三角形技巧及练习题附解析

一、选择题

1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）

A．20°B．30°C．45°D．60°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．

【详解】

在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，

由作图可知MN为AB的中垂线，

∴DA=DB，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，

故选B．

【点睛】

本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．

2．△ABC中，∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为（　　）cm

A．6B．8C．

D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】

设∠A＝x，

则∠B＝2x，∠C＝3x，

由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，

解得x＝30°，

即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，

此三角形为直角三角形，

故AB＝2BC＝2×4＝8cm，

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.

3．等腰三角形两边长分别是5cm和11cm，则这个三角形的周长为（）

A．16cmB．21cm或27cmC．21cmD．27cm

【答案】D

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：

当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．

【详解】

解：

当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去；

当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质,三角形三边关系是解题的关键．

4．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（）

A．12B．10C．8D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8．

【详解】

解：

由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，

∵∠BED+∠DEA=180°，

∴∠BED=90°．

又∵∠B=30°，

∴BD=2DE．

∴BC=3ED=24．

∴DE=8．

故答案为8．

【点睛】

本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键．

5．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，5cmB．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cmD．3cm，3cm，4cm

【答案】D

【解析】

【详解】

A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；

B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；

C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；

D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．

故选D．

6．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（　　）

A．65°B．70°C．75°D．80°

【答案】D

【解析】

【分析】

由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．

【详解】

解：

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠1＝45°，

∵∠3是△CDE的一个外角，

∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，

故选：

D．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．

7．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（　　）

A．60B．48C．24D．96

【答案】D

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．

【详解】

解：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，

∴AO＝

，

∴AC＝16，BD＝12，

∴菱形面积＝

＝96，

故选：

D．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．

8．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为（　　）

A．50°B．55°C．65°D．70°

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．

【详解】

如图，延长l2，交∠1的边于一点，

∵11∥l2，

∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，

由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，

∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，

故选B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．

9．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（　　）

A．2B．

C．

D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．

【详解】

解：

∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，

∴∠AOP=∠COP=30°，

∵CP∥OA，

∴∠AOP=∠CPO，

∴∠COP=∠CPO，

∴OC=CP=2，

∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，

∴∠CPE=30°，

∴CE=

CP=1，

∴PE=

，

∴OP=2PE=2

，

∵PD⊥OA，点M是OP的中点，

∴DM=

OP=

．

故选C．

考点：

角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

10．下列说法不能得到直角三角形的（）

A．三个角度之比为1：

2：

3的三角形B．三个边长之比为3：

4：

5的三角形

C．三个边长之比为8：

16：

17的三角形D．三个角度之比为1：

1：

2的三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.

【详解】

A中，三个角之比为1:

2:

3，则这三个角分别为：

30°、60°、90°，是直角三角形；

D中，三个角之比为1:

1:

2，则这三个角分别为：

45°、45°、90°，是直角三角形；

B中，三边之比为3:

4:

5，设这三条边长为：

3x、4x、5x，满足：

，是直角三角形；

C中，三边之比为8:

16:

17，设这三条边长为：

8x、16x、17x，

，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形

故选：

C

【点睛】

本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；

（1）有一个角是直角的三角形；

（2）三边长满足勾股定理逆定理.

11．对于图形的全等，下列叙述不正确的是（　　　）

A．一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等

B．一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等

C．一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等

D．一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等

【答案】C

【解析】

A.一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；

B.一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；

C.一个图形放大后得到的图形，与原来的图形不全等，故错误，符合题意；

D.一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意，

故选C.

【点睛】本题考查了对全等图形的认识，解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形，而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形，得不到全等图形.

12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（　　）

A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC的长，再比较无理数的大小确定点C的横坐标介于哪个区间．

【详解】

∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），

∴OA＝2，OB＝3，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

AB＝

∴AC＝AB＝

，

∴OC＝

﹣2，

∴点C的坐标为（

﹣2，0），

∵

，

∴

，

即点C的横坐标介于1和2之间，

故选：

B．

【点睛】

本题考查了弧与x轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．

13．如图，已知A,D,B,E在同一条直线上，且AD=BE,AC=DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC≌△DEF的是（）

A．BC=EFB．AC//DFC．∠C=∠FD．∠BAC=∠EDF

【答案】C

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．

【详解】

∵BE＝CF，

∴BE＋EC＝EC＋CF，

即BC＝EF，且AC=DF，

∴当BC=EF时，满足SSS，可以判定△ABC≌△DEF；

当AC//DF时，∠A=∠EDF，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF；

当∠C=∠F时，为SSA，不能判定△ABC≌△DEF；

当∠BAC=∠EDF时，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF，

故选C.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

14．如图，

中，

，

平分

交

于点

，点

为

的中点，连接

，则

的长为（）

A．2B．2.5C．3D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE的长度．

【详解】

解：

∵

，

平分

，

∴AE⊥BC，

又∵点

为

的中点，

∴

，

故选：

B．

【点睛】

本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．

15．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）

A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

【答案】B

【解析】

设原直角三角形的三边长分别是