福建专版201X高考数学一轮复习 课时规范练38 直线平面平行的判定与性质 文.docx
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福建专版201X高考数学一轮复习课时规范练38直线平面平行的判定与性质文
课时规范练38 直线、平面平行的判定与性质
基础巩固组
1.
如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:
BD∥平面FGH.
2.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA是四棱锥P-ABCD的高,PA=AB=2,点M,N,E分别是PD,AD,CD的中点.
（1）求证:
平面MNE∥平面ACP;
（2）求四面体A-MBC的体积.
3.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
（1）请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）;
（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.
4.
（2017安徽淮南一模,文19）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.
（1）若BE=3EC,求证:
DE∥平面A1MC1;
（2）若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.
5.
（2017福建南平一模,文19）如图,在多面体ABCDE中,平面ABE⊥平面ABCD,△ABE是等边三角形,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB⊥BC,AB=AD=
BC=2,M是EC的中点.
（1）求证:
DM∥平面ABE;
（2）求三棱锥M-BDE的体积.
〚导学号24190931〛
综合提升组
6.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:
在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?
若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.
7.
（2017山西太原三模,文19）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,点D,E分别是AA1,BC的中点.
（1）证明:
DE∥平面A1B1C;
（2）若AB=2,∠BAC=60°,求三棱锥A1-BDE的体积.
8.
（2017江西宜春二模,文19）在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=
.
（1）求证:
MN∥平面PDC;
（2）求点C到平面PBD的距离.
〚导学号24190932〛
创新应用组
9.
（2017吉林延边州模拟,文19）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中点,E为BC的中点.
（1）求证:
直线AE∥平面BC1D;
（2）若三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,AB=2,AA1=4,求点E到平面BC1D的距离.
〚导学号24190933〛
10.
如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=2
.
（1）求五棱锥A'-BCDFE的体积;
（2）在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?
若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.
答案：
1.证法一连接DG,CD,设CD∩GF=M.连接MH.
在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.
则M为CD的中点.
又H为BC的中点,
所以HM∥BD,又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
证法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,
所以四边形HBEF为平行四边形,可得BE∥HF.
在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,
所以GH∥AB.
又GH∩HF=H,
所以平面FGH∥平面ABED.
因为BD⊂平面ABED,
所以BD∥平面FGH.
2.
（1）证明∵M,N,E分别是PD,AD,CD的中点,∴MN∥PA,
又MN⊄平面ACP,∴MN∥平面ACP,同理ME∥平面ACP,又MN∩ME=M,∴平面MNE∥平面ACP.
（2）解∵PA是四棱锥P-ABCD的高,由MN∥PA知MN是三棱锥M-ABC的高,且MN=
PA=1,
∴VA-MBC=VM-ABC=
S△ABC·MN
=
×2×2×1=
.
3.解
（1）点F,G,H的位置如图所示.
（2）平面BEG∥平面ACH.证明如下:
因为ABCD-EFGH为正方体,
所以BC∥FG,BC=FG,
又FG∥EH,FG=EH,
所以BC∥EH,BC=EH,
于是四边形BCHE为平行四边形.
所以BE∥CH.
又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.
4.
（1）证明如图1,取BC中点N,连接MN,C1N,
∵M是AB中点,
∴MN∥AC∥A1C1,
∴M,N,C1,A1共面.
∵BE=3EC,∴E是NC的中点.
又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.
∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,∴DE∥平面A1MC1.
（2）解如图2,当AA1=1时,则AM=1,A1M=
A1C1=
.
∴三棱锥A-MA1C1的体积
AM·AA1·A1C1=
.
图1
图2
5.
（1）证法一取BE的中点O,连接OA,OM,
∵O,M分别为线段BE,CE的中点,
∴OM=
BC.
又AD=
BC,∴OM=AD,
又AD∥CB,OM∥CB,
∴OM∥AD.
∴四边形OMDA为平行四边形,
∴DM∥AO,
又AO⊂平面ABE,MD⊄平面ABE,
∴DM∥平面ABE.
证法二取BC的中点N,连接DN,MN（图略）,
∵M,N分别为线段CE,BC的中点,∴MN∥BE,
又BE⊂平面ABE,MN⊄平面ABE,
∴MN∥平面ABE,
同理可证DN∥平面ABE,
MN∩DN=N,∴平面DMN∥平面ABE,
又DM⊂平面DMN,
∴DM∥平面ABE.
（2）解法一∵平面ABE⊥平面ABCD,AB⊥BC,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥平面ABE,
∵OA⊂平面ABE,∴BC⊥AO,
又BE⊥AO,BC∩BE=B,
∴AO⊥平面BCE,
由
（1）知DM=AO=
DM∥AO,
∴DM⊥平面BCE,
∴VM-BDE=VD-MBE=
×2×2×
.
解法二取AB的中点G,连接EG,
∵△ABE是等边三角形,
∴EG⊥AB,
∵平面ABE∩平面ABCD=AB,平面ABE⊥平面ABCD,且EG⊂平面ABE,
∴EG⊥平面ABCD,即EG为四棱锥E-ABCD的高,
∵M是EC的中点,
∴M-BCD的体积是E-BCD体积的一半,∴VM-BDE=VE-BDC-VM-BDC=
VE-BDC,
∴VM-BDE=
×2×4×
.
即三棱锥M-BDE的体积为
.
6.解方法一:
当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.
证明如下:
在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG.
因为B1E=3EC1,
所以EG=
A1C1.
又因为AF∥A1C1,且AF=
A1C1,所以AFEG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EF∥AG.
又因为EF⊄平面A1ABB1,AG⊂平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1.
方法二:
当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.
证明如下:
在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G,
因为EG∥BB1,EG⊄平面A1ABB1,BB1⊂平面A1ABB1,
所以EG∥平面A1ABB1.
因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,
所以FG∥AB.
又因为AB⊂平面A1ABB1,FG⊄平面A1ABB1,
所以FG∥平面A1ABB1.
又因为EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,
所以平面EFG∥平面A1ABB1.
因为EF⊂平面EFG,
所以EF∥平面A1ABB1.
7.
（1）证明如图,取AC的中点F,连接DF,EF,
在△AA1C中,点D,F分别是AA1,AC的中点,∴DF∥A1C,
同理,得EF∥AB∥A1B1,DF∩EF=F,A1C∩A1B1=A1,
∴平面DEF∥平面A1B1C,
又DE⊂平面DEF,
∴DE∥平面A1B1C.
（2）解过点A1作AC的垂线,垂足为H,由题知侧面ACC1A1⊥底面ABC,
∴A1H⊥底面ABC,在△AA1C中,
∵∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,
∴A1H=
∵AB=2,∠BAC=60°,
∴BC=2
点E是BC的中点,
∴BE=
S△ABE=
AB·BE=
×2×
∵D为AA1的中点,∴
-VD-ABE=
×A1H×S△ABE=
.
8.
（1）证明在正三角形ABC中,BM=2
.
在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD.
∵∠ADC=120°,∴DM=
∴
=3.
在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=4,PB=4
∴
=3,∴
∴MN∥PD.
又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,∴MN∥平面PDC.
（2）解设点C到平面PBD的距离为h.
由
（1）可知,BD=
PM=
=2
∴S△PBD=
×2
.
∵S△BCD=
×2=
∴由等体积可得
×4=
h,∴h=
∴点C到平面PBD的距离为
.
9.
（1）证明设BC1的中点为F,连接EF,DF,则EF是△BCC1的中位线,
根据已知得EF∥DA,且EF=DA,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴AE∥DF,
∵DF⊂平面BDC1,AE⊄平面BDC1,∴直线AE∥平面BDC1.
（2）解由
（1）的结论可知直线AE∥平面BDC1,
∴点E到平面BDC1的距离等于点A到平面BDC1的距离,设为h.
∴
∴
·h=
∴
×2
·h=
×2×2×
解得h=
.
∴点E到平面BDC1的距离为
.
10.解
（1）连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.
因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,
所以H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH.
从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,
又A'H∩CH=H,所以EF⊥平面A'HC,且EF⊂平面ABCD,
从而平面A'HC⊥平面ABCD.
过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,则A'O⊥平面ABCD.
因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,故A'H=2
CH=4
所以cos∠A'HC
=
=
.
所以HO=A'H·cos∠A'HC=
则A'O=
.
所以五棱锥A'-BCDFE的体积
V=
.
（2）线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=
.
证明如下:
连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过点O.
A'M=
A'C,HO=
HC,
所以OM∥A'H.
又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,所以OM∥平面A'EF.
又BD∥EF,BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF,
所以BD∥平面A'EF.
又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF,
因为BM⊂平面MBD,
所以BM∥平面A'EF.
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