初中数学函数知识点归纳1.docx
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初中数学函数知识点归纳1
函数知识点总结（掌握函数的定义、性质和图像）
平面直角坐标系
1、定义：
平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系
2、各个象限内点的特征
第一象限：
（+，+）
第二象限：
（-，+）
第三象限：
（-，-）
第四象限：
（+，-）
3、点的对称特征：
已知点
关于x轴的对称点坐标是
关于y轴的对称点坐标是关于原点的对称点坐标是
4、点P（）的几何意义：
点P（）至Ux轴的距离为点P（）至Uy轴的距离为
点P（）到坐标原点的距离为
5、两点之间的距离：
已知A（x1,y1）>B（X2,y2）、（x2-xj（y2—yj
6、中点坐标公式：
已知A（xiy）、B（x2,y2）M为的中点，则：
（竺X1，上匕）
22
7、点的平移特征：
在平面直角坐标系中，
注意：
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应
的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看
出对这个图形进行了怎样的平移。
函数的基本知识:
基本概念
1、函数:
般的，在个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于
x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x
称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
2、定义域和值域:
定义域：
一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的
定义域。
值域：
一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。
3、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
4、函数解析式：
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
5:
增减性（单调性）：
增减性又叫单调性，分两种情况：
单调增、单调减
口诀：
单调增：
y随x的增大而增大
单调减：
y随x的增大而减小
“同增异减”，
注意：
单调性只适用于单调区间，即有一个X只有唯一确定的y与之
对应时。
8描点法画函数图形的一般步骤
第一步：
列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：
描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：
连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
一次函数图象和性质
【知识梳理】
一、一次函数的基础知识
1、定义：
一般地，形如+b（是常数，kz0），那么y叫做x的一次函数
当0时，+b即，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：
（k^o）
说明：
①k不为零②x指数为1③b取任意实数
2、解析式：
（k、b是常数，k=0）
3、图像：
一次函数的图象是经过（0,b）和（-b,0）两点的一
k—
条直线，我们称它为直线,
4、增减性（单调性）：
k>0,y随x的增大而增大（单调增）；k<0,y随x而增大而减小（单调减）
5、必过点：
（0,力和（-b,0）：
理由如下：
中，
k
⑴当,时，
所以，该函数经过（,）点
⑵当,时，
所以，该函数经过（,）点
所以，一次函数y二kxb的图象是必经过（一b,0）和（0,
k
b）两点的一条直线.，注：
两点确定一条直线。
画图时，可通
过这两点来确定直线。
7、增减性：
k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小.
8倾斜度（只与k相关）：
越大，图象越接近于y轴；越小，图象越接近于
医的符号押
k>0^
k<0-
大致
y=5x-^iy=x;
y=-5x勻
y=-x；）Q
4
h1y=5x+^
lk|越大・圏象越掛近于y轴1p伍|越小，舷越接近于x轴卫
9、截点（与b有关）：
（直线与y轴的交点，该点到原点的距离叫做截距）
1当b>0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）；
2当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。
（即y轴的负半轴）
10、图像的上下平移（只与b相关）：
直线，它可以看作由直线平移个单位长度得到.
当b>0时，将直线的图象向上平移b个单位；口诀“正上”
当b<0时，将直线的图象向下平移b个单位.口诀“负下”
例如：
23,将直线2x的图象向上平移3个单位
23,将直线2x的图象向下平移3个单位
练习：
56,将直线5x的图象向下平移6—个单位
注：
一次函数图像的平移，只与b有关，将的图像平移，平移方向：
b正上移，b负卞移
11、一次函数y=kx•b的图象与性质
b>0
b<0
0（正比例函数）
经过：
第一、二、三象限
经过：
第一、三、四象限
经过：
第一、三象限
k>0
不经过：
第四象限
不经过：
第二象限
不经过：
第二、四象限
12、两直线之间的位置关系（平行或相交）：
（3）若直线11:
y=kjX0l2:
y=k2xb2
①平行：
当k^k2时，h//l2;当d=b2二b时，1“与l2交于（0,b）点。
②相交：
y=ki■bi
将两直线方程联立成一个方程组，{y=k2・b2，解得结果，即为
13、二元一次方程组与一次函数的关系：
两元一次函数图象的交点的坐标
即为所对应方程组的解。
反比例函数图象和性质
【知识梳理】
一、反比例函数的基础知识
1、定义：
一般地，形如y=k（k为常数，k=o）的函数称为反比例函数。
x
y=k还可以写成y二kx‘
x
2、解析式：
y，（k为常数，）
x
注：
反比例函数解析式的特征：
1等号左边是函数y，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数（（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.
2比例系数k=0
3自变量x的取值为一切非零实数。
（反比例函数有意义的条件：
分母
工0）
4函数y的取值是一切非零实数。
3、增减性（单调性）：
k>0,y随x的增大而减小（单调减）；k<0,y随x增大而增大（单调增）
4、反比例函数的图象：
双曲线
（1）图像的画法：
描点法
1列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的
数）
2描点（有小到大的顺序）
3连线（从左到右光滑的曲线）
‘⑴是中心对称图形，对称中心是原点
（2）对称性：
丄2）是轴对称图形，对称轴是直线y=x和y=-x
（3）反比例函数y」（k为常数，k=0）中自变量x=0，函数值y=0,
x
所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐
渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
k.0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小
3）$
]kc0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大
（4）比例系数k的几何含义（右图）：
反比例函数y=兰（k
x
系数k的
几何意义，即过双曲线y=-（k工0）上任意一点P作x轴、x
设垂足分
别为A、B,则所得矩形的面积（阴影面积）为_|k|_
（由y=k变形可得：
因为面积为正数，所以k取绝对值。
）
x
5、反比例函数性质如下表:
k的符号
k>0
kv0
图像的大致
位置
lx
7x
经过象限
第象限
第象限
增减性（单调
在每一象限内，从左
在每一象限内，从左
性：
单调区间
到右看，y随x的增
到右看
内讨论）
大而减小：
y随x的增大而增大
（-汽0）U（0,+
（-8,0）U（0,+
8）区间内，单调减
8）区间内，单调增
图像的对称
中心称图形，对称中心是原点；
性
同时，也是轴对称图形，对称轴是直线和直线
二次函数图象和性质
【知识梳理】
一、二次函数的基础知识：
1.定义：
一般地，形如y=ax2bxc（a,b,c是常数，a=0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a"，而b,c可以
为零.
二次函数的定义域（X的取值范围）：
全体实数，R.
2.解析式（表达式）：
一般式：
y=ax2，bx，c（a=0,a,b,c是常数）：
说明：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最
高次数是2.
⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
对于二次函数y=axbx・c,经过配方变形为顶点式：
y=a（x+—）4ac—b,其顶点坐标为（-卫,4ac_b）
2a4a2a4a
补充：
⑴二次函数解析式的表示方法（三种）
1一般式：
y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a^O）；
2顶点式：
y=a（x—h）2+k（a，h，k为常数，a式0）；［抛物线的顶点P（h，k）］
22
对于二次函数y=ax2bx・c,经过配方变形顶点式：
y=a（x+—）2-4a^b,其顶点坐标为（-丄,4ac_b）
2a4a2a4a
3两根式（交点式）：
y=a（x_xJ（x_X2）（a^O，人，x?
是抛物线与x轴两交点的横坐标）•
［仅限于与x轴有两个交点A（xi，0）和B（X2，0）的抛物线，即△
>0］
b,b-4ac-b….b-4ac
其中Xi,X2.（即一兀二次万程求根公式）
2a2a
注：
在3种形式的互相转化中，有如下关系:
②②然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与y轴的交点o,C、以及0,C关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点X1,0，X2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）•
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
3、二次函数的图像：
抛物线
唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当0时，抛物线的对称轴是y轴
（即直线0）
（2）抛物线有一个顶点P，坐标为P（丄，色Q）
2a4a
当-B=0时，P在y轴上；当厶=b2-4ac=0时，P在x轴上。
2a
4、与抛物线的关系（a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项）
开口大小：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（2）a、b共同决定对称轴：
直线x=-—
2a
ab的符号决定对称轴x—P的位置，分两种情况：
2a
①当a与b同号时（即〉0），对称轴在y轴左侧；②当a与b异号时（即v0），对称轴在y轴右侧。
概括的说就是“左同右异”
（3）常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0,c），分三种情况：
⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点
的纵坐标为0；
⑶当S0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
6、抛物线与X轴交点个数
△=b2-4ac>0时，抛物线与X轴有2个交点。
A（xi,0）和B（X2,0）
△b2—4ac0时，抛物线与X轴有1个交点。
顶点P（-卫,0）
2a
7、类比一兀二次方程的根的情况：
特别地，二次函数（以下称函数）^ax2bxc
当0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2bx30
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
8二次函数y=ax丄2的图像和性质
I2a丿4a
a>0
aV0
\
0
V
Kx
O
图象
开口
对称轴
顶点坐标
最值
当x=
时，
y有最—值，y
当x=
时，
y有最—值，y
增
减
性
在对称轴
左侧
y随x的增大而
y随x的增大而
在对称轴
右侧
y随x的增大而
y随x的增大而
10、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=ax—h2k，确定其顶点坐
标h,k；
⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方
法如下：
2.
平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.
概括成八个字“左加右减，上加下减”.
y=ax2bxc变成
y=ax2bxc变成
方法二：
⑴^ax2bxc沿y轴平移:
向上（下）平移m个单位，y=ax2bxcm（或y=ax2bxc-m）⑵y=ax2bxc沿轴平移：
向左（右）平移m个单位，y=a（xm）2b（xm）c（或y=a（x-m）2b（x-m）•c）
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