初中数学函数知识点归纳1.docx
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初中数学函数知识点归纳1
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)
平面直角坐标系
1、定义:
平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系
2、各个象限内点的特征
第一象限:
(+,+)
第二象限:
(-,+)
第三象限:
(-,-)
第四象限:
(+,-)
3、点的对称特征:
已知点
关于x轴的对称点坐标是
关于y轴的对称点坐标是关于原点的对称点坐标是
4、点P()的几何意义:
点P()至Ux轴的距离为点P()至Uy轴的距离为
点P()到坐标原点的距离为
5、两点之间的距离:
已知A(x1,y1)>B(X2,y2)、(x2-xj(y2—yj
6、中点坐标公式:
已知A(xiy)、B(x2,y2)M为的中点,则:
(竺X1,上匕)
22
7、点的平移特征:
在平面直角坐标系中,
注意:
对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应
的变化;反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看
出对这个图形进行了怎样的平移。
函数的基本知识:
基本概念
1、函数:
般的,在个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于
x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x
称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。
2、定义域和值域:
定义域:
一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的
定义域。
值域:
一般的,一个函数的因变量所得的值的范围,叫做这个函数的值域。
3、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
4、函数解析式:
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
5:
增减性(单调性):
增减性又叫单调性,分两种情况:
单调增、单调减
口诀:
单调增:
y随x的增大而增大
单调减:
y随x的增大而减小
“同增异减”,
注意:
单调性只适用于单调区间,即有一个X只有唯一确定的y与之
对应时。
8描点法画函数图形的一般步骤
第一步:
列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:
描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
第三步:
连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
一次函数图象和性质
【知识梳理】
一、一次函数的基础知识
1、定义:
一般地,形如+b(是常数,kz0),那么y叫做x的一次函数
当0时,+b即,称为正比倒函数,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式:
(k^o)
说明:
①k不为零②x指数为1③b取任意实数
2、解析式:
(k、b是常数,k=0)
3、图像:
一次函数的图象是经过(0,b)和(-b,0)两点的一
k—
条直线,我们称它为直线,
4、增减性(单调性):
k>0,y随x的增大而增大(单调增);k<0,y随x而增大而减小(单调减)
5、必过点:
(0,力和(-b,0):
理由如下:
中,
k
⑴当,时,
所以,该函数经过(,)点
⑵当,时,
所以,该函数经过(,)点
所以,一次函数y二kxb的图象是必经过(一b,0)和(0,
k
b)两点的一条直线.,注:
两点确定一条直线。
画图时,可通
过这两点来确定直线。
7、增减性:
k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
8倾斜度(只与k相关):
越大,图象越接近于y轴;越小,图象越接近于
医的符号押
k>0^
k<0-
大致
y=5x-^iy=x;
y=-5x勻
y=-x;)Q
4
h1y=5x+^
lk|越大・圏象越掛近于y轴1p伍|越小,舷越接近于x轴卫
9、截点(与b有关):
(直线与y轴的交点,该点到原点的距离叫做截距)
1当b>0时直线与y轴交于原点上方(即y轴的正半轴);
2当b<0时,直线与y轴交于原点的下方。
(即y轴的负半轴)
10、图像的上下平移(只与b相关):
直线,它可以看作由直线平移个单位长度得到.
当b>0时,将直线的图象向上平移b个单位;口诀“正上”
当b<0时,将直线的图象向下平移b个单位.口诀“负下”
例如:
23,将直线2x的图象向上平移3个单位
23,将直线2x的图象向下平移3个单位
练习:
56,将直线5x的图象向下平移6—个单位
注:
一次函数图像的平移,只与b有关,将的图像平移,平移方向:
b正上移,b负卞移
11、一次函数y=kx•b的图象与性质
b>0
b<0
0(正比例函数)
经过:
第一、二、三象限
经过:
第一、三、四象限
经过:
第一、三象限
k>0
不经过:
第四象限
不经过:
第二象限
不经过:
第二、四象限
12、两直线之间的位置关系(平行或相交):
(3)若直线11:
y=kjX0l2:
y=k2xb2
①平行:
当k^k2时,h//l2;当d=b2二b时,1“与l2交于(0,b)点。
②相交:
y=ki■bi
将两直线方程联立成一个方程组,{y=k2・b2,解得结果,即为
13、二元一次方程组与一次函数的关系:
两元一次函数图象的交点的坐标
即为所对应方程组的解。
反比例函数图象和性质
【知识梳理】
一、反比例函数的基础知识
1、定义:
一般地,形如y=k(k为常数,k=o)的函数称为反比例函数。
x
y=k还可以写成y二kx‘
x
2、解析式:
y,(k为常数,)
x
注:
反比例函数解析式的特征:
1等号左边是函数y,等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数((也叫做比例系数k),分母中含有自变量x,且指数为1.
2比例系数k=0
3自变量x的取值为一切非零实数。
(反比例函数有意义的条件:
分母
工0)
4函数y的取值是一切非零实数。
3、增减性(单调性):
k>0,y随x的增大而减小(单调减);k<0,y随x增大而增大(单调增)
4、反比例函数的图象:
双曲线
(1)图像的画法:
描点法
1列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的
数)
2描点(有小到大的顺序)
3连线(从左到右光滑的曲线)
‘⑴是中心对称图形,对称中心是原点
(2)对称性:
丄2)是轴对称图形,对称轴是直线y=x和y=-x
(3)反比例函数y」(k为常数,k=0)中自变量x=0,函数值y=0,
x
所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支(称为左、右支),延伸部分逐
渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。
k.0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小
3)$
]kc0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大
(4)比例系数k的几何含义(右图):
反比例函数y=兰(k
x
系数k的
几何意义,即过双曲线y=-(k工0)上任意一点P作x轴、x
设垂足分
别为A、B,则所得矩形的面积(阴影面积)为_|k|_
(由y=k变形可得:
因为面积为正数,所以k取绝对值。
)
x
5、反比例函数性质如下表:
k的符号
k>0
kv0
图像的大致
位置
lx
7x
经过象限
第象限
第象限
增减性(单调
在每一象限内,从左
在每一象限内,从左
性:
单调区间
到右看,y随x的增
到右看
内讨论)
大而减小:
y随x的增大而增大
(-汽0)U(0,+
(-8,0)U(0,+
8)区间内,单调减
8)区间内,单调增
图像的对称
中心称图形,对称中心是原点;
性
同时,也是轴对称图形,对称轴是直线和直线
二次函数图象和性质
【知识梳理】
一、二次函数的基础知识:
1.定义:
一般地,形如y=ax2bxc(a,b,c是常数,a=0)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a",而b,c可以
为零.
二次函数的定义域(X的取值范围):
全体实数,R.
2.解析式(表达式):
一般式:
y=ax2,bx,c(a=0,a,b,c是常数):
说明:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最
高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
对于二次函数y=axbx・c,经过配方变形为顶点式:
y=a(x+—)4ac—b,其顶点坐标为(-卫,4ac_b)
2a4a2a4a
补充:
⑴二次函数解析式的表示方法(三种)
1一般式:
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a^O);
2顶点式:
y=a(x—h)2+k(a,h,k为常数,a式0);[抛物线的顶点P(h,k)]
22
对于二次函数y=ax2bx・c,经过配方变形顶点式:
y=a(x+—)2-4a^b,其顶点坐标为(-丄,4ac_b)
2a4a2a4a
3两根式(交点式):
y=a(x_xJ(x_X2)(a^O,人,x?
是抛物线与x轴两交点的横坐标)•
[仅限于与x轴有两个交点A(xi,0)和B(X2,0)的抛物线,即△
>0]
b,b-4ac-b….b-4ac
其中Xi,X2.(即一兀二次万程求根公式)
2a2a
注:
在3种形式的互相转化中,有如下关系:
②②然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与y轴的交点o,C、以及0,C关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点X1,0,X2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)•
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
3、二次函数的图像:
抛物线
唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当0时,抛物线的对称轴是y轴
(即直线0)
(2)抛物线有一个顶点P,坐标为P(丄,色Q)
2a4a
当-B=0时,P在y轴上;当厶=b2-4ac=0时,P在x轴上。
2a
4、与抛物线的关系(a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项)
开口大小:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(2)a、b共同决定对称轴:
直线x=-—
2a
ab的符号决定对称轴x—P的位置,分两种情况:
2a
①当a与b同号时(即〉0),对称轴在y轴左侧;②当a与b异号时(即v0),对称轴在y轴右侧。
概括的说就是“左同右异”
(3)常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c),分三种情况:
⑴当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点
的纵坐标为0;
⑶当S0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
6、抛物线与X轴交点个数
△=b2-4ac>0时,抛物线与X轴有2个交点。
A(xi,0)和B(X2,0)
△b2—4ac0时,抛物线与X轴有1个交点。
顶点P(-卫,0)
2a
7、类比一兀二次方程的根的情况:
特别地,二次函数(以下称函数)^ax2bxc
当0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax2bx30
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
8二次函数y=ax丄2的图像和性质
I2a丿4a
a>0
aV0
\
0
V
Kx
O
图象
开口
对称轴
顶点坐标
最值
当x=
时,
y有最—值,y
当x=
时,
y有最—值,y
增
减
性
在对称轴
左侧
y随x的增大而
y随x的增大而
在对称轴
右侧
y随x的增大而
y随x的增大而
10、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=ax—h2k,确定其顶点坐
标h,k;
⑵保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方
法如下:
2.
平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
y=ax2bxc变成
y=ax2bxc变成
方法二:
⑴^ax2bxc沿y轴平移:
向上(下)平移m个单位,y=ax2bxcm(或y=ax2bxc-m)⑵y=ax2bxc沿轴平移:
向左(右)平移m个单位,y=a(xm)2b(xm)c(或y=a(x-m)2b(x-m)•c)