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概率论在经济中的应用
概率论在经济中的应用
摘要
随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广.而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处.由于传统的数学教育属于知识传授型，不注意学生对数学方法产生的背景和思想的理解，使学生不善于利用所学到的数学知识、数学方法去分析、解决实际问题.加强数学的应用性，让学生用数学知识和数学的思维方法去看待，分析，解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验，这是当前课程改革的趋势.我们不仅要学好理论知识，更重要的是应用理论来实践.学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养.本文将先对概率论的起源和发展做简单介绍，再通过实例讨论概率论在在经济管理、经济损失估测、投资风险估测、经济保险等几个经济管理估测问题中的应用.
关键字：
概率论;解决问题;经济领域;应用
ABSTRACT
Withthedevelopmentofscience,mathematicsapplicationindailylifeisbecomingmoreandmorepopular.Whiletheprobabilityofmathematicsasanimportantpart,butalsoplaysamoreandmorewidely.Duetothetraditionalmathematicseducationbelongstoknowledgeimparting,donotpayattentiontostudents'mathematicalmethodtoproducethebackgroundandideologicalunderstanding,sothatstudentsarenotgoodatlearntousetheknowledgeofmathematics,mathematicsmethodtoanalysis,solvepracticalproblems.Strengthenmathematicsapplication,allowingstudentstousemathematicalknowledgeandmathematicalthinkingmethodtotreat,analysis,solvereallifeproblems,inmathactivitiesoflifeexperience,whichisthecurrenttendencyofcurriculumreform.Weshouldnotonlylearnthetheoryknowledge,moreimportantistheapplicationoftheorytopractice.Learntheprobabilitytheory,andtheapplicationofprobabilitytheorytosolvepracticalproblemsisweneedalifequality.Thispaperwillbethefirstprobabilitytheoryoriginanddevelopmenttodoabriefintroduction,andthenthroughtheexamplesdiscussedinprobabilitytheoryineconomicmanagement,economiclossestimation,riskofinvestmentestimation,economicinsuranceeconomicmanagementestimateapplication.
Keywords:
Probabilitytheory;problemsolving;economy;application
1.引言
现实世界中形形色色的自然现象、社会现象大致可分为两类：
一类是事先能确定其结果的现象，即确定性现象，如今天太阳必然会落下去，同性电荷互相排斥等.另一类是事先不能确定其结果的现象为随机现象,这类现象的可能结果不会是一种,如同品种种子播种到肥力均匀的田地里,每粒种子是否发芽、掷一枚骰子,可能结果有6种等，这种随机现象是否有规律,便成为数学研究中的一个问题.概率论就是运用数学方法研究随机现象统计规律性的一门数学学科.概率,简单地说,就是随机现象出现的可能性大小的一种度量.随着现代科学的发展，人们越来越多地认识到，一种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步，而经济学也不例外.数学能为经济学提供特有的、严密的分析方法，经济学的发展需要数学，数学方法能使经济学研究理论的表述更清晰准确，逻辑推理更严密.其作用体现在以下几个方面：
一是数学方法为经济学理论的突破提供了科学的方法论；二是经济数学化表明人类对社会经济活动的认识和理解已经由定性到定量；三是数学方法的运用大大拓展和深化了经济学科；四是数学方法的运用有助于提高经济理论的实用性以及经济政策的科学性；五是运用数学方法对经济理论进行实证研究.当代西方经济学家认为，经济学研究的基本方法是从经济的实际出发建立数学经济模型，运用数学的理论和
方法求解模型，进而形成经济理论.在实践中验证理论，并利用它来指导经济运作.经济学及其相关学科飞速发展，同时也促使多门数学分支在经济学中的应用不断加深.概率论研究随机现象的统计规律性；数理统计是研究样本数据的搜集、整理、分析和推断的各种方法，这其中又包含两方面的内容：
试验设计与统计推断.它在自然科学、工程技术、社
会科学、军事和工农业生产中，尤其是在社会经济活动中有着广泛的应用.国外有人作过专门调查，在企业管理中，有三分之二以上的数据处理和决策分析的问题，可以通过统计手段来解决.
3.概率论在经济管理估测中的应用
3.1.在经济管理中的应用
在进行经济管理决策之前，往往存在不确定的随机因素，而所作的决策有一定风险.只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本.概率虽不能直接提供决策建议，但是它能提供一些帮助决策者更好理解与问题有关风险和不确定性等方面信息.最终这些信息可以帮助决策者制定出好的决策.下面从具体例子说明它在经济管理决策中的应用.
例1某人有一笔资金,可投入三个项目:
房产X、地产Y和商业Z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为p1=0.2,p2=0.7,p3=0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益（万元）,见表:
优（P1=0.2）
良（P2=0.6）
差（P3=0.2）
房产
11
3
-3
地产
6
4
-1
旅游
10
2
-2
问：
如何投资最为合理？
解：
考察数学期望：
E（X）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4.0
E（Y）=6×0.2+4×0.7+（-1）×0.1=3.9
E（Z）=10×0.2+2×0.7+（-2）×0.1=3.2
根据数学期望可知，投资房产的平均收益最大，可能选择房产，但投资也要考虑风险，再对它们的方差进行观察：
D（X）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4
D（Y）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29
D（Z）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96
因为方差愈大，则收益的波动大，从而风险也大，所以从方差看，投资房产的风险比投资地产的风险大得多，若收益与风险综合权衡，该投资者还是应该选择投资地产为好，虽然平均收益少0.1万元，但风险要小一半以上.通过以上实例说明在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本.而期望和方差的数字特征含义可以帮助我们可以进行合理的选择,为我们的科学决策提供良好的依据，从而最优地实现目标.
例2为了防止“甲型
流感”病情的近一步蔓延，我校积极出台了一系列的预防措施.设我校可实际采用的四个预防措施为甲、乙、丙、丁，并且认为它们是相互独立的.经过多方论证，可得下表：
预防措施
甲
乙
丙
丁
P
0.95
0.85
0.75
0.65
费用（万元）
9
6
3
1
请问:
该投资者如何投资好?
注：
P表示单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率.“费用”表示单独采用相应措施的花费.由于学校财力有限，仅能提供资金12万.问我们应采取怎样的预防措施会比较合理？
（方案可单独采用也可联合采用）
解：
方案一：
单独采用甲措施，费用9万.可使此事件不发生的概率最大为0.95.
方案二：
联合采用甲、丙、两种措施，费用12万.可使此事件不发生的概率最大为P=1-（1-0.95）（1-0.75）=0.9875
方案三：
联合采用乙、丙、丁三种措施，费用10万.可使此事件不发生的概率最大为P=1-（1-0.85）（1-0.75）（1-0.65）=0.986875
综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过12万元的前提下，运用方案三比较合理.
因为方案一虽然所用花费最低，但此突发事件不发生的概率比较低，对防止“甲型
流感”病情的近一步蔓延起不到很高系数的保证.为了起到对防止“甲型
流感”病情的近一步蔓延有很高系数的保证，并且又可以最大限度的节省财力的情况下，方案三比较方案二要合理一些.以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本，是科学管理的一项重要内容.
例3.某研究中心有同类型仪器300台，各仪器工作相互独立，而且发生故障的概率均为0.01，通常一台仪器的故障由一人即可排除.问：
为保证仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于0.01，至少要配备多少个维修工人？
有两种维修方案，方案A：
一人维修固定的20台仪器，方案B：
三人维修固定的80台仪器，哪种方案好？
解:
设X表示300台仪器中发生故障的台数，则X～B（300，0.01），设b为需要配备的维修工人数，则应有P{X>b}≤0.01，即{X>b}=1-P{X≤b}=
由于n=300较大，p=0.01较小，根据泊松定理，可以用λ=np=3的泊松分布近似计算.则有P{X>b}=
≤0.01，查表得
=0.9962，所以为达到要求至少需配备8名维修工人.
解：
设Y表示20台仪器中发生故障的台数，则Y～B（20，0.01）.若在同一时刻发生故障的仪器数Y≥2，则一个工人不能维修，此概率为
=P{Y≥2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}=0.0169.设Z表示80台仪器中发生故障的台数，则Z～B（80，0.01）.若在同一时刻发生故障的仪器数Z≥4，则由三个工人共同负责保修时不能及时维修，此概率为
=P{Z≥4}=1-P{Z≤3}=0.0091.由于
>
，所以方案B比方案A好.
本问题涉及的是如何有效地使用人力问题，其中包括合理确定人员数和安排工作方式.例如为保证仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于0.01，配备8人即可达到要求，若安排人员过多，就会造成人力资源的浪费.比较维修方案A和B的结果可以看出：
虽然3人共同负责80台仪器，每个人的任务比1人负责20台仪器的任务大，但方案B的安排是合理的，工作质量不仅没有降低，反而提高了，能够保证仪器的正常运转.有效地使用人力、物力和财力，是科学管理的一项重要内容，概率论在这方面可以发挥很大的作用.
3.2在投资风险估测中的应用
投资者冒险投资的报酬超过无风险所获得的报酬的部分就是投资风险价值.投资风险程度和投资风险价值成正比关系.投资风险程度就是指我们现金（广义上的）的实际流量和预期流量之间的差异程度.现金的流入与流出的差额就是现金的净流量.现金的流入是指所投资的项目在周期内的流入量,主要是指营业收入、其他收入.现金的流出是指所投资
的项目在周期内为该项目所支付的现金量包括投资及营业成本等.
在投资环境日趋复杂的现代社会，几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的，一般地说，投资者都讨厌风险并力求回避风险.由概率知识对风险系统进行分析可以直接获得风险决策，下面以例说明一下它在投资风险中的应用.
例1设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8,0.6,0.5.求
（1）任两种股票至少有一种获利的概率；
（2）三种股票至少有一种股票获利的概率.
解：
设A,B,C分别表示三种股票获利,依题意A,B,C相互独立.则由乘法公式与加法公式:
（1）任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率.
P
（1）=P（AB+AC+BC）=P（AB）+P（AC）+P（BC）-2P（ABC）
=P（A）P（B）+P（A）P（C）+P（B）P（C）-2P（A）P（B）P（C）=0.7
（2）三种股票至少有一种股票获利的概率
P
（2）=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=0.96
计算结果表明投资于多只股票获利的概率大于投资于单只股票获利的概率这就是投资决策中分散风险的一种策略，前些年，股票市场的异常火爆让许多的投资者都对之产生了瑰丽的幻想和期望，即使面临这几年的股票市场低潮，仍然有许多人寄希望于股市让自己的资产迅速增值，因而将自己的资产集中投资在某一个股票.其实，这些投资者都违反了投资最重要的原则之一，就是分散投资原则.以股市为例，组合可以包括公用股、地产股、工业股、银行股等，目的是建立一个相关系数较低的投资组合，从而减低风险；另外，当投资的股票数量增加时，组合的风险相对降低.单而言如果将资金平均分配在50只股票上，就算其中一家公司不幸倒闭，损失亦只占投资总额之2%，比单独投资在这家要倒闭的公司而蒙受的损失少得多.用一句简单俗语，就是把鸡蛋分散地放在不同的篮子里.
3.3.在生产决策中的应用
决策的方法与所选的决策准则值直接相关，期望值准则是风险决策中最常用的准则．以期望值为准则的基本方法是：
首先根据付酬表，计算各行动方案的期望值，最后从各期望值选择期望收益最大（或期望损益最小）的方案为最优方案．
例1.假如已知某厂预计日产量的机会亏损的未来各种需求量发生的概率．试就此资料进行期望机会亏损决策．
生产量（箱）
后悔值
（元）
概率
状
态
市场需求量（箱）
100
110
120
130
0.2
0.4
0.3
0.1
100
0
500
1000
1500
110
300
0
500
1000
120
600
300
0
500
130
900
600
300
0
某厂预计日产量的机会亏损表
解：
设
为日产100箱；
为日产110箱；
为日产120箱；
为日产130箱.则有：
=0.2×0＋0.4×500＋0.3×1000＋0.1×1500=650（箱）
=0.2×300＋0.4×0＋0.3×500＋0.1×1000=320（箱）
=0.2×600＋0.4×300＋0.3×0＋0.1×500=290（箱）
=0.2×900＋0.4×600＋0.3×300＋0.1×0=510（箱）
min
=290于是选择日产120箱的方案
对于同一资料．根据期望损益值进行抉择的结果和根据期望机会亏损值的抉择结果是一致的．从上例可以发现．即期望值收益与期望机会亏损互余．即期望收益越大时，期望机会亏损值必小．这就是说一个方案若期望获利最大，那么执行该方案后悔值必然最小．因此，按两种法则择优的结果必定相同．
3.4在估测最大经济利润问题中的应用
如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路.
例1某一商场经销的某种商品，每周的需求量X在20至40范围内等可能取值，该商品的进货量也在20至40范围内等可能取值（每周只在周日前进货物一次）商场每销售一单位商品可获利600元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，可从外单位调拨，此时一单位商品可获利300元.试测算进货量多少时，商场可获得最佳利润？
并求出最大利润的期望值.
分析：
由于该商品的需求量（销售量）X是一个连续型随机变量，它在区间[20，40]上均匀分布，而销售该商品的利润值Y也是随机变量，它是X的函数，称为随机变量的函数.本问题涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即平均利润的最大值.因此，本问题的解算过程是，先确定Y与X的函数关系，再求出Y的期望E（Y），最后利用极值方法求出的极大值点及最大值.
解：
设每周的进货量为a，则：
实现利润最大化是商界的最终目标，影响的因素很多，主要有两个方面，一是扩大产品收入，利润是收入创造的，没有收入上量的保障，利润是无从谈起的.二是严格控制成本和费用支出，在利润增加的同时，成本和费用的支出的越少，利润就越大.这从会计的要素等式：
收入--费用=利润就能明白.
例2某公司经销某种原料,根据历史资料:
这种原料的市场需求量X（单位:
吨）服从（300,500）上的均匀分布,每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?
分析:
此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案.
解：
设公司组织该货源a吨,则显然应该有300
a
500,又记Y为在a吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即Y=g（X）,由题设条件知:
当X
a时,则此a吨货源全部售出,共获1.5a；X得上述计算表明E（Y）是a的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,当a=450吨时,能够使得期望的利润达到最大.
无论是公司或是企业，都是以盈利为目的的生产经营组织，追求最大利润是每一个在市场经济中角逐的企业的现实目标.因此，可以说企业存在的目的就是追求其利润的最大化.但也要注意以下几点：
①利润最大化只是一个相对理想的概念.利润的形成受诸多因素的影响，其中包括一些不可控因素.因此在实际工作中，往往是选择次优化目标.为获得最大利润而不惜任何代价的做法，是不必要也是不可取的.②利润最大化不等于效益最大化.利润最大化是企业生产经营净成果的最大化，是企业生产经营收入减去生产经营支出后的余额.而效益最大化是投入产出之比例.利润最大化是一个绝对指标，而效益最大化则是一个相对指标.因此，利润最大化并不意味着投入产出之比也是最高的.这就提醒管理者，在追求利润最大化的基础上，同时要提高效益之比.这样才能使企业规模扩展与集约经营并重，效益和利润协调增长.③利润最大化不仅意味着报告期的利润最大化，同时也应包括更长时期内的利润最大化.因此，在实现当期利润目标的同时，要顾及本期决策可能给以后各期带来的不良影响.
3.5在经济保险估测中的应用
目前，保险问题在我国是一个热点问题.保险属于经济范畴，是综合同类风险单位以分摊损失的一种经济制度.其手段是集合大量同类风险单位，其作用是损失的分摊，其目的是补偿风险事故所造成的损失以确保经济生活安定.下面以中心极限定理说明它在这一方面的应用.
例1.某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金.已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5,000人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务所得到总收益在20万到40万之间的概率？
保险公司亏本的概率？
解：
设一年中发生重大事故的人数为X，发生重大事故概率为p=0.005，于是X～B（5000,0.005），则np=25，np（1-p）=24.875，总收益为0.016×5000-2X=80-2X
由中心极限定理得：
风险事故是否发生具有不确定性，风险事故引发的损失即损失的程度也具有不确定性，正是由于这种不确定性，导致了危险的产生，从而产生了对保险的需求.可以讲，没有风险就没有保险.保险人分散风险、分摊损失的功能是通过集合大量的具有相同性质的经济单位或个人来实现的.一个深层次的问题是，为什么保险人通过这种风险汇聚的方式能够实现分摊损失、降低风险的目的，其理论依据是什么？
大数定律将对这个问题作出科学地回答和解释.大数定律是用来说明大量重复的随机现象往往呈现必然规律的一系列定理的统称，它是保险经营的重要数理基础.现代保险学是建立在概率论和大数定律基础上的，概率论和大数定律为保险经营的稳定性、费率厘定的科学以及保险风险的集合与分散的可行性提供了科学依据
例2.已知在某人寿保险公司有2500个人参加保险,在一年里这些人死亡的概率为0.001,每人每年的头一天向保险公司交付保险费12元,死亡时家属可以从保险公司领取2000元保险金,求:
（1）保险公司一年中获利不少于10000元的概率;
（2）保险公司亏本的概率
.
解：
设一年中死亡的人数为X,死亡率为p=0.001,把考虑2500人在一年里是否死亡看成2500重Bernoulli试验,则np=2500×0.001=2.5,np（1-p）=2500×0.001×0.999=2.4975,
保险公司每年收入为2500×12=30000,付出2000X元,
则根据中心极限定理得:
据以上计算可知保险公司亏本的概率为0，这也是保险公司之所以开展业务的一个原因.在保险市场的竞争过程中，在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用，一是降低保险费，另一个是提高赔偿金，而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保户.
例3：
在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问:
1）保险公司亏本的概率有多大?
2）保险公司一年的利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多大?
解：
1）设ζ表示一年内参保人的死亡数，则ζ～B（10000,0.06）.已知ζ和保险公司盈利近似服从正态分布：
（补充说明：
ζ～B（n,p）,n>50时，可以用中心极限定理计算p（a≤ζ≤b）的近似值）要使保险公司亏本，必须满足12×10000-1000ζ<0∴ζ>120
∵本题中E（ζ）=np,D（ζ）=npq，化为标准正态分布：
Ф（x-np/
）∴P（ζ>120）=1-p（0≤ζ≤120）≈1-[Ф（120-10000×0.006/
）-Ф（0-10000×0.006/
）]=1-[2Ф（7.722）-1]=2-2=0
∴即公司会亏本的概率为0.
2）当保险公司一年的利润不少于40000、60000、80000元时，必须满足：
12×10000-1000ζ≥40000（或60000或80000）∴ζ≤80（或60或40）
p（0≤ζ≤80）≈Ф（80-10000×0.006/
）-Ф（0-10000×0.006/
）=Ф（2.59）+Ф（7.77）-1≈0.9951
p（
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