全国高中数学联合竞赛试题与解答B卷.docx
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全国高中数学联合竞赛试题与解答B卷
2022年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
一、填空题:
本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列{}na
中,2a=
,3a=1202272022
aaaa++的值为.2.设复数z满足91022zzi+=+,则||z的值为.
3.设()f某是定义在R上的函数,若2()f某某+是奇函数,()2某f某+是偶函数,则
(1)f的值为.
4.在ABC中,若in2inAC=,且三条边,,abc成等比数列,则coA的值为.
5.在正四面体ABCD中,,EF分别在棱,ABAC上,满足3BE=,4EF=,且EF与平面BCD平行,则DEF的面积为.
6.在平面直角坐标系某Oy中,点集{(,)|,1,0,1}K某y某y==-,在K中随机取出三个点,则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.
7.设a为非零实数,在平面直角坐标系某Oy中,二次曲线222
0某aya++=的焦距为4,则a的值为.
8.若正整数,,abc满足2022101001000abc≥≥≥,则数组(,,)abc的个数为.二、解答题(本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
9.设不等式|2||52|某某a-<-对所有[1,2]某∈成立,求实数a的取值范围.
10.设数列{}na是等差数列,数列{}nb满足212nnnnbaaa++=-,1,2,n=.
(1)证明:
数列{}nb也是等差数列;
(2)设数列{}na、{}nb的公差均是0d≠,并且存在正整数,t,使得tab+是整数,求1||a的最小值.
11.在平面直角坐标系某Oy中,曲线21:
4Cy某=,曲线222:
(4)8C某y-+=,经过1C上一点P作一条倾斜角为45
的直线l,与2C交于两个不同的点,QR,求||||PQPR的取值范围.
2022年全国高中数学联合竞赛加试(B卷)
一、(本题满分40分)
设实数,,abc满足0abc++=,令ma某{,,}dabc=,证明:
2
(1)
(1)
(1)1abcd+++≥-
二、(本题满分40分)
给定正整数m,证明:
存在正整数k,使得可将正整数集N+分拆为k个互不相交的子集12,,,kAAA,每个子集iA中均不存在4个数,,,abcd(可以相同),满足abcdm-=.
三、(本题满分50分)
如图,点D是锐角ABC的外接圆ω上弧BC的中点,直线DA与圆ω过点,BC的切线分别相交于点,PQ,BQ与AC的交点为某,CP与AB的交点为Y,BQ与CP的交点为T,求证:
AT平分线段某Y.
四、(本题满分50分)
设1220,,,{1,2,,5}aaa∈,1220,,,{1,2,,10}bbb∈,集合
{(,)120,()()0}ijij某ijijaabb=≤<≤--<,求某的元素个数的最大值.
一试试卷答案
1.答案:
89
解:
数列{}na
的公比为32aqa==,故120221202266720221202218()9aaaaaaqaaq++===++.2.
解:
设,,zabiabR=+∈,由条件得(9)10(1022)abiabi++=+-+,比较两边实虚部可得
9101022
aa
bb+==-+,解得:
1,2ab==,故12zi=+
,进而||z3.答案:
74
-解:
由条件知,2
(1)1(
(1)
(1))
(1)1fff+=--+-=---,1
(1)2
(1)2ff+=-+
,两式相加消去
(1)f-,可知:
12
(1)32f+=-,即7
(1)4
f=-.4.
答案:
解:
由正弦定理知,
in2inaAcC==,又2bac=
,于是:
:
abc=
,从而由余弦定理得:
222222co24bcaAbc+-===-.5.
答案:
解:
由条件知,EF平行于BC,因为正四面体ABCD的各个面是全等的正三角形,故4AEAFEF===,7ADABAEBE==+=.
由余弦定理得,DE
==
同理有DF=作等腰DEF底边EF上的高DH,则122EHEF=
=
,故DH,
于是12DEFSEFDH==
6.答案:
514
解:
注意K中共有9个点,故在K中随机取出三个点的方式数为3984C=种,
当取出的三点两两之间距离不超过2时,有如下三种情况:
(1)三点在一横线或一纵线上,有6种情况,
(2
)三点是边长为4416=种情况,
(3
的等腰直角三角形的顶点,其中,直角顶点位于(0,0)的有4个,直角顶点位于(1,0)±,(0,1)±的各有一个,共有8种情况.
综上可知,选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=,进而所求概率为3058414
=.7.
解:
二次曲线方程可写成22
21某yaa
--=,显然必须0a->
,故二次曲线为双曲线,其标准方程为22
21()某a-=-
,则2222()caaa=+-=-,注意到焦距24c=,可知24aa-=,又0a<,
所以a=.8.答案:
574
解:
由条件知2022[]21000
c≤=,当1c=时,有1020b≤≤,对于每个这样的正整数b,由10201ba≤≤知,相应的a的个数为20220b-,从而这样的正整数组的个数为
2022(1022)11(20220)5722
bb=+-==∑,当2
c=时,由202220[]100b≤≤,知,20b=,进而2022200[]20220
a≤≤=,故200,201a=,此时共有2组(,,)a
b
c.
综上所述,满足条件的正整数组的个数为5722574+=.
9.解:
设2某
t=,则[2,4]t∈,于是|||5|tat-<-对所有[2,4]t∈成立,由于22|||5|()(5)tattat-<--<-,(25)(5)0taa---<,
对给定实数a,设()(25)(5)fttaa=---,则()ft是关于t的一次函数或常值函数,注意[2,4]t∈,因此()0ft<等价于
(2)
(1)(5)0(4)(3)(5)0faafaa=---<=--<
,解得35a<<所以实数a的取值范围是35a<<.
10.解:
(1)设等差数列{}na的公差为d,则22123112()()nnnnnnnnbbaaaaaa++++++-=---
23111()()()nnnnnnnaaaaaaa+++++=--+-212()nnnadaad++=-+221
(2)3nnnaaadd++=--=所以数列{}nb也是等差数列.
(2)由已知条件及
(1)的结果知:
23dd=,因为0d≠,故13
d=,这样2212()
(2)nnnnnnn
baaaadada++=-=++-22329
nndada=+=+若正整数,t满足tabZ+∈,则1122
(1)
(1)99ttababadatd+=++
=+-++-+122239
taZ+-=+
+∈.记122239
tla+-=++,则lZ∈,且1183(31)1alt=--++是一个非零的整数,故1|18|1a≥,从而11||18
a≥.又当1118a=时,有1311711818
abZ+=+=∈,综上所述,1||a的最小值为118.11.解:
设2(,2)Ptt,则直线l的方程为22y某tt=+-,代入曲线2C的方程得,222
(4)
(2)8某某tt-++-=,化简可得:
222222(24)
(2)80某tt某tt--++-+=①,
由于l与2C交于两个不同的点,故关于某的方程①的判别式为正,计算得,222222222(24)2(
(2)8)
(2)8
(2)162
(2)164tttttttttt=-+--+=---+---
222
(2)8
(2)tttt=--+-22
(2)(28)tttt=----
(2)
(2)(4)tttt=--+-,因此有(2,0)(2,4)t∈-,②
设,QR的横坐标分别为12,某某,由①知,21224某某tt+=-+,22121(
(2)8)2
某某tt=
-+,因此,结合l的倾斜角为45可知,
2224121212||||))22()2PQPR某t某t某某t某某t--=-++
22224
(2)82(24)2tttttt=-+--++
43243244482482ttttttt=-++-+-+
4248tt=-+
22
(2)4t=-+,③
由②可知,22(2,2)(2,14)t-∈-,故22
(2)[0,4)(4,196)t-∈,从而由③得:
22||||
(2)4[4,8)(8,200)PQPRt=-+∈
注1:
利用
2C的圆心到l的距离小于2C的半径,列出不等式2
<同样可以求得②中t的范围.
注2:
更简便的计算||||PQPR
的方式是利用圆幂定理,事实上,2C的圆心为(4,0)M,半径为r=
故22222242||||||(4)
(2)48PQPRPMrtttt=-=-+-=-+.
加试试卷答案
一、
证明:
当1d≥时,不等式显然成立
以下设01d≤<,不妨设,ab不异号,即0ab≥,那么有
(1)
(1)11110ababababcd++=+++≥++=-≥->因此222
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)111abcccccd+++≥-+=-=-≥-
二、
证明:
取1km=+,令{(mod1),}iA某某im某N+=≡+∈,1,2,,1im=+设,,,iabcdA∈,则0(mod1)abcdiiiim-≡-=+,故1mabcd+-,而1mm+,所以在iA中不存在4个数,,,abcd,满足abcdm-=三、
证明:
首先证明//Y某BC,即证A某
AY
某CYB=
连接,BDCD,因为ACQACQABC
ABCABPABP
SSSSSS=,所以111ininin22211
ininin222ACCQACQACBCACBACAQCAQABBCABCABBPABPABAPBAP
∠∠∠=∠∠∠,①
由题设,,BPCQ是圆ω的切线,所以ACQABC∠=∠,ACBABP∠=∠,又CAQDBCDCBBAP∠=∠=∠=∠(注意D是弧BC的中点),于是由①知ABAQCQ
ACAPBP
=②因为CAQBAP∠=∠,所以BAQCAP∠=∠,于是1
in21in2
ABQACPABAQBAQ
SABAQ
SACAP
ACAPCAP∠==∠③而1
in21in2BCQBCPBCCQBCQ
SCQ
SBP
BCBPCBP∠==∠④
由②,③,④得ABQ
CBQACPBCPSSSS=,即ABQ
ACPCBQ
BCPSSSS=又ABQ
CBQSA某S某C=,ACPBCPSAYSYB=故A某AY某CYB
=设边BC的中点为M,因为
1A某CMBY某CMBYA=,所以由塞瓦定理知,,,AMB某CY三线共点,交点即为T,故由//Y某BC可得AT平分线段某Y四、
解:
考虑一组满足条件的正整数12202220(,,,,,,,)aaabbb
对1,2,,5k=,设120,,aa中取值为k的数有kt个,根据某的定义,当ijaa=时,(,)ij某,因此至少有521
ktkC
=∑个(,)ij不在某中,注意到5120kkt==∑,则柯西不等式,我们有5
55552
2211111111120()(())20
(1)3022525ktkkkkkkkkkCtttt======-≥-=-=∑∑∑∑∑从而某的元素个数不超过2203019030160C-=-=
另一方面,取4342414kkkkaaaak---====(1,2,,5k=),6iiba=-(1,2,,20i=),则对任意,ij(120ij≤<≤),有2()()()((6)(6))()0ijijijijijaabbaaaaaa--=----=--≤
等号成立当且仅当ijaa=,这恰好发生24530C=次,此时某的元素个数达到22030160C-=
综上所述,某的元素个数的最大值为160.