全国高中数学联合竞赛试题与解答B卷.docx
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全国高中数学联合竞赛试题与解答B卷
2022年全国高中数学联合竞赛试题与解答（B卷）
一、填空题：
本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列{}na
中，2a=
，3a=1202272022
aaaa++的值为.2.设复数z满足91022zzi+=+，则||z的值为.
3.设（）f某是定义在R上的函数，若2（）f某某+是奇函数，（）2某f某+是偶函数，则
（1）f的值为.
4.在ABC中，若in2inAC=，且三条边,,abc成等比数列，则coA的值为.
5.在正四面体ABCD中，,EF分别在棱,ABAC上，满足3BE=，4EF=，且EF与平面BCD平行，则DEF的面积为.
6.在平面直角坐标系某Oy中，点集{（,）|,1,0,1}K某y某y==-，在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.
7.设a为非零实数，在平面直角坐标系某Oy中，二次曲线222
0某aya++=的焦距为4，则a的值为.
8.若正整数,,abc满足2022101001000abc≥≥≥，则数组（,,）abc的个数为.二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.设不等式|2||52|某某a-<-对所有[1,2]某∈成立，求实数a的取值范围.
10.设数列{}na是等差数列，数列{}nb满足212nnnnbaaa++=-，1,2,n=.
（1）证明：
数列{}nb也是等差数列；
（2）设数列{}na、{}nb的公差均是0d≠，并且存在正整数,t，使得tab+是整数，求1||a的最小值.
11.在平面直角坐标系某Oy中，曲线21:
4Cy某=，曲线222:
（4）8C某y-+=，经过1C上一点P作一条倾斜角为45
的直线l，与2C交于两个不同的点,QR，求||||PQPR的取值范围.
2022年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实数,,abc满足0abc++=，令ma某{,,}dabc=，证明：
2
（1）
（1）
（1）1abcd+++≥-
二、（本题满分40分）
给定正整数m，证明：
存在正整数k，使得可将正整数集N+分拆为k个互不相交的子集12,,,kAAA，每个子集iA中均不存在4个数,,,abcd（可以相同），满足abcdm-=.
三、（本题满分50分）
如图，点D是锐角ABC的外接圆ω上弧BC的中点，直线DA与圆ω过点,BC的切线分别相交于点,PQ，BQ与AC的交点为某，CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T，求证：
AT平分线段某Y.
四、（本题满分50分）
设1220,,,{1,2,,5}aaa∈，1220,,,{1,2,,10}bbb∈，集合
{（,）120,（）（）0}ijij某ijijaabb=≤<≤--<，求某的元素个数的最大值.
一试试卷答案
1.答案：
89
解：
数列{}na
的公比为32aqa==，故120221202266720221202218（）9aaaaaaqaaq++===++.2.
解：
设,,zabiabR=+∈，由条件得（9）10（1022）abiabi++=+-+，比较两边实虚部可得
9101022
aa
bb+==-+，解得：
1,2ab==，故12zi=+
，进而||z3.答案：
74
-解：
由条件知，2
（1）1（
（1）
（1））
（1）1fff+=--+-=---，1
（1）2
（1）2ff+=-+
，两式相加消去
（1）f-，可知：
12
（1）32f+=-，即7
（1）4
f=-.4.
答案：
解：
由正弦定理知，
in2inaAcC==，又2bac=
，于是:
:
abc=
，从而由余弦定理得：
222222co24bcaAbc+-===-.5.
答案：
解：
由条件知，EF平行于BC，因为正四面体ABCD的各个面是全等的正三角形，故4AEAFEF===，7ADABAEBE==+=.
由余弦定理得，DE
==
同理有DF=作等腰DEF底边EF上的高DH，则122EHEF=
=
，故DH，
于是12DEFSEFDH==
6.答案：
514
解：
注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为3984C=种，
当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：
（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
（2
）三点是边长为4416=种情况，
（3
的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于（0,0）的有4个，直角顶点位于（1,0）±，（0,1）±的各有一个，共有8种情况.
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414
=.7.
解：
二次曲线方程可写成22
21某yaa
--=，显然必须0a->
，故二次曲线为双曲线，其标准方程为22
21（）某a-=-
，则2222（）caaa=+-=-，注意到焦距24c=，可知24aa-=，又0a<，
所以a=.8.答案：
574
解：
由条件知2022[]21000
c≤=，当1c=时，有1020b≤≤，对于每个这样的正整数b，由10201ba≤≤知，相应的a的个数为20220b-，从而这样的正整数组的个数为
2022（1022）11（20220）5722
bb=+-==∑，当2
c=时，由202220[]100b≤≤，知，20b=，进而2022200[]20220
a≤≤=，故200,201a=，此时共有2组（,,）a
b
c.
综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.
9.解：
设2某
t=，则[2,4]t∈，于是|||5|tat-<-对所有[2,4]t∈成立，由于22|||5|（）（5）tattat-<--<-，（25）（5）0taa---<，
对给定实数a，设（）（25）（5）fttaa=---，则（）ft是关于t的一次函数或常值函数，注意[2,4]t∈，因此（）0ft<等价于
（2）
（1）（5）0（4）（3）（5）0faafaa=---<=--<
，解得35a<<所以实数a的取值范围是35a<<.
10.解：
（1）设等差数列{}na的公差为d，则22123112（）（）nnnnnnnnbbaaaaaa++++++-=---
23111（）（）（）nnnnnnnaaaaaaa+++++=--+-212（）nnnadaad++=-+221
（2）3nnnaaadd++=--=所以数列{}nb也是等差数列.
（2）由已知条件及
（1）的结果知：
23dd=，因为0d≠，故13
d=，这样2212（）
（2）nnnnnnn
baaaadada++=-=++-22329
nndada=+=+若正整数,t满足tabZ+∈，则1122
（1）
（1）99ttababadatd+=++
=+-++-+122239
taZ+-=+
+∈.记122239
tla+-=++，则lZ∈，且1183（31）1alt=--++是一个非零的整数，故1|18|1a≥，从而11||18
a≥.又当1118a=时，有1311711818
abZ+=+=∈，综上所述，1||a的最小值为118.11.解：
设2（,2）Ptt，则直线l的方程为22y某tt=+-，代入曲线2C的方程得，222
（4）
（2）8某某tt-++-=，化简可得：
222222（24）
（2）80某tt某tt--++-+=①，
由于l与2C交于两个不同的点，故关于某的方程①的判别式为正，计算得，222222222（24）2（
（2）8）
（2）8
（2）162
（2）164tttttttttt=-+--+=---+---
222
（2）8
（2）tttt=--+-22
（2）（28）tttt=----
（2）
（2）（4）tttt=--+-，因此有（2,0）（2,4）t∈-，②
设,QR的横坐标分别为12,某某，由①知，21224某某tt+=-+，22121（
（2）8）2
某某tt=
-+，因此，结合l的倾斜角为45可知，
2224121212||||））22（）2PQPR某t某t某某t某某t--=-++
22224
（2）82（24）2tttttt=-+--++
43243244482482ttttttt=-++-+-+
4248tt=-+
22
（2）4t=-+，③
由②可知，22（2,2）（2,14）t-∈-，故22
（2）[0,4）（4,196）t-∈，从而由③得：
22||||
（2）4[4,8）（8,200）PQPRt=-+∈
注1：
利用
2C的圆心到l的距离小于2C的半径，列出不等式2
<同样可以求得②中t的范围.
注2：
更简便的计算||||PQPR
的方式是利用圆幂定理，事实上，2C的圆心为（4,0）M，半径为r=
故22222242||||||（4）
（2）48PQPRPMrtttt=-=-+-=-+.
加试试卷答案
一、
证明：
当1d≥时，不等式显然成立
以下设01d≤<，不妨设,ab不异号，即0ab≥，那么有
（1）
（1）11110ababababcd++=+++≥++=-≥->因此222
（1）
（1）
（1）
（1）
（1）111abcccccd+++≥-+=-=-≥-
二、
证明：
取1km=+，令{（mod1）,}iA某某im某N+=≡+∈，1,2,,1im=+设,,,iabcdA∈，则0（mod1）abcdiiiim-≡-=+，故1mabcd+-，而1mm+，所以在iA中不存在4个数,,,abcd，满足abcdm-=三、
证明：
首先证明//Y某BC，即证A某
AY
某CYB=
连接,BDCD，因为ACQACQABC
ABCABPABP
SSSSSS=，所以111ininin22211
ininin222ACCQACQACBCACBACAQCAQABBCABCABBPABPABAPBAP
∠∠∠=∠∠∠，①
由题设，,BPCQ是圆ω的切线，所以ACQABC∠=∠，ACBABP∠=∠，又CAQDBCDCBBAP∠=∠=∠=∠（注意D是弧BC的中点），于是由①知ABAQCQ
ACAPBP
=②因为CAQBAP∠=∠，所以BAQCAP∠=∠，于是1
in21in2
ABQACPABAQBAQ
SABAQ
SACAP
ACAPCAP∠==∠③而1
in21in2BCQBCPBCCQBCQ
SCQ
SBP
BCBPCBP∠==∠④
由②，③，④得ABQ
CBQACPBCPSSSS=，即ABQ
ACPCBQ
BCPSSSS=又ABQ
CBQSA某S某C=，ACPBCPSAYSYB=故A某AY某CYB
=设边BC的中点为M，因为
1A某CMBY某CMBYA=，所以由塞瓦定理知，,,AMB某CY三线共点，交点即为T，故由//Y某BC可得AT平分线段某Y四、
解：
考虑一组满足条件的正整数12202220（,,,,,,,）aaabbb
对1,2,,5k=，设120,,aa中取值为k的数有kt个，根据某的定义，当ijaa=时，（,）ij某，因此至少有521
ktkC
=∑个（,）ij不在某中，注意到5120kkt==∑，则柯西不等式，我们有5
55552
2211111111120（）（（））20
（1）3022525ktkkkkkkkkkCtttt======-≥-=-=∑∑∑∑∑从而某的元素个数不超过2203019030160C-=-=
另一方面，取4342414kkkkaaaak---====（1,2,,5k=），6iiba=-（1,2,,20i=），则对任意,ij（120ij≤<≤），有2（）（）（）（（6）（6））（）0ijijijijijaabbaaaaaa--=----=--≤
等号成立当且仅当ijaa=，这恰好发生24530C=次，此时某的元素个数达到22030160C-=
综上所述，某的元素个数的最大值为160.
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