初中数学最新八年级数学因式分解 精品.docx
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15.4.1提公因式法（第1课时）
一、教学目标
1.通过与整式乘法比较，经历因式分解概念的形成过程，知道因式分解的意义.
2.公因式是单项式，会用提公因式法分解因式.
二、教学重点和难点
1.重点：
用提公因式法分解因式.
2.难点：
找公因式.
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
师：
前面我们学习了整式的乘法和除法，从这节课开始，我们要学习一个新的内容，什么内容？
因式分解（板书：
因式分解）.
（二）尝试指导，讲授新课
师：
什么是因式分解？
或者说，因式分解是什么意思？
（板书：
整式乘法）因式分解的意思与整式乘法的意思正好相反.
师：
（板书：
x（x+1）=x2+x，并指准）譬如，x（x+1）=x2+x，这是整式乘法，反过来，（板书：
x2+x=x（x+1），并指准）x2+x=x（x+1），这是因式分解.
师：
（指准x2+x=x（x+1））在这个式子中，我们把多项式x2+x分解成了因式x和x+1积的形式，所以叫做因式分解.
师：
（板书：
（x+1）（x-1）=x2-1，并指准），又譬如，（x+1）（x-1）=x2-1这是整式乘法，反过来，（板书：
x2-1=（x+1）（x-1），并指准）x2-1=（x+1）（x-1），这是因式分解.
师：
（指准x2-1=（x+1）（x-1））在这个式子中，我们把多项式x2-1分解成了因式x+1和x-1积的形式，所以也是因式分解.
师：
通过上面两个例子，哪位同学会用自己的语言来概括什么是因式分解？
生：
……（多让几名同学说）
师：
什么是因式分解？
（指准x2+x=x（x+1））把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解.
（师出示下面的板书）
把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解.
师：
大家把因式分解的概念读两遍.（生读）
（三）试探练习，回授调节
1.下面各题，是因式分解的画“√”，不是的画“×”.
（1）x（a-b）=xa-xb；（）
（2）xa-xb=x（a-b）；（）
（3）（x+2）（x-2）=x2-4；（）
（4）x2-4=（x+2）（x-2）；（）
（5）m（a+b+c）=ma+mb+mc；（）
（6）ma+mb+mc=m（a+b+c）；（）
（7）ma+mb+mc=m（a+b）+mc.（）
（四）尝试指导，讲授新课
师：
通过上面的学习，我们知道，因式分解是把一个多项式化成几个因式积的形式，而且我们还知道，因式分解过程与整式乘法正好相反.那么，怎么进行因式分解呢？
因式分解的方法很多，本节课我们先学习因式分解的一种方法，叫做提公因式法（板书课题：
15.4.1提公因式法）.
师：
怎么用提公因式法分解因式呢？
师：
（板书：
ma+mb+mc，并指准）这是一个多项式，这个多项式每项都有一个相同的因式m，ma这一项中有因式m（边讲边用彩笔描m），mb这一项中也有因式m（边讲边用彩笔描m），mc这一项中也有因式m（边讲边用彩笔描m），我们把每项都有的因式m，叫做公因式（板书：
m是公因式）.
师：
（指准式子）所谓提公因式法，就是把公因式m提到括号外面（边讲边板书：
=m（a+b+c），并指准），这样我们就把这个多项式写成了因式m与因式a+b+c乘积的形式，也就是说，我们把这个多项式因式分解了.
师：
下面我们就来看几个利用提公因式法分解因式的例子.
例把下列多项式分解因式：
（1）a3+ac；
（2）8a3+12ac；（3）8a3b2+12ab3c.
师：
（板书：
解：
（1）a3+ac=）用提公因式法分解因式，先要找公因式，（指准式子）这个多项式各项的公因式是什么？
生：
……（多让几名同学回答）
师：
（指准式子）这个多项式各项的公因式是a，a3可以写成a·a2（边讲边板书：
a·a2），ac可以写成a·c（边讲边板书：
+a·c），可见，a是公因式.
师：
用提公因式法分解因式的第二步是提公因式，（指准式子）也就是把公因式a提到括号外面，结果等于什么？
（板书：
=，板书后稍停）等于a（a2+c）（边讲边板书：
a（a2+c））.
师：
下面我们看第
（2）小题.
（第
（2）小题的教学过程同上）
师：
下面我们看第（3）小题.
师：
（板书：
（3）8a3b2+12ab3c=）用提公因式法分解因式，先要干什么？
生：
（齐答）找公因式.
师：
（指准式子）这个多项式的公因式是什么？
（让生思考一会儿，再叫学生）
生：
……（多让几名同学回答）
师：
（指准式子）这个多项式各项的公因式应该是4ab2，8a3b2可以写成4ab2·2a2（边讲边板书：
4ab2·2a2），12ab3c可以写成4ab2·3bc（边讲边板书：
+4ab2·3bc）.
师：
用提公因式法分解因式的第二步是干什么？
生：
（齐答）提公因式.
师：
（指准式子）把公因式4ab2提到括号外面，结果等于什么？
生：
等于4ab2（2a2+3bc）.（生答师板书：
=4ab2（2a2+3bc））
师：
从这三个题目，我们可以看出，用提公因式法分解因式有两步，第一步找公因式（板书：
第一步：
找公因式），第二步提公因式（板书：
第二步：
提公因式）.在这两步中，找公因式是关键.那怎么找公因式呢？
师：
（指第
（1）小题）这个多项式比较简单，公因式a一眼看得出来；（指第（3）小题）这个多项式比较复杂，公因式4ab2是怎么找出来的呢？
师：
（指准式子）这项系数是8，这项系数是12，8和12的最大公约数是4，所以公因式的系数是4；这项中有a3，这项中有a，应该取次数低的，所以公因式中有a；这项中有b2，这项中有b3，应该取次数低的，所以公因式中有b2.这样我们找出了公因式4ab2.
师：
（指准式子）总之，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且字母的指数取次数低的.
（五）试探练习，回授调节
2.填空：
（1）ab+ac=a（）；
（2）ac-bc=c（）；
（3）a2+ab=a（）；
（4）6n3+9n2=3n2（）.
3.填空：
（1）多项式ax+ay各项的公因式是；
（2）多项式3mx-6my各项的公因式是；
（3）多项式4a2+10ab各项的公因式是；
（4）多项式15a2+5a各项的公因式是；
（5）多项式x2y+xy2各项的公因式是；
（6）多项式12xyz-9x2y2各项的公因式是.
4.把下列各式分解因式：
（1）4x3-6x2
（2）4a3b+2a2b2
==
==
（3）6x2yz-9xz2（4）12m3n2-18m2n3
==
==
（六）归纳小结，布置作业
师：
本节课我们学习了什么是因式分解，（指准板书）把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解.
师：
本节课我们还学习了用提公因式法分解因式.（指准板书）用提公因式法分解因式有两步，第一步找公因式，第二步提公因式.
（作业：
P167练习1
（1）
（2），P170习题1
（1）
（2））
四、板书设计
整式乘法因式分解例
x（x+1）=x2+xx2+x=x（x+1）
（x+1）（x-1）=x2-1x2-1=（x+1）（x-1）
把……，叫做因式分解
15.4.1提公因式法
ma+mb+mc=m（a+b+c）第一步：
找公因式；
第二步：
提公因式
15.4.1提公因式法（第2课时）
一、教学目标
1.公因式是二项式，会用提公因式法分解因式.
2.培养式的变形能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：
用提公因式法分解因式.
2.难点：
先进行式的变形，再提公因式.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
（1）把一个多项式化成几个因式的形式，叫做因式分解；
（2）用提公因式法分解因式有两步，第一步：
公因式，第二步：
公因式.
2.直接写出因式分解的结果：
（1）mx+my=
（2）3x3+6x2=
（3）7a2-21a=
（4）15a2+25ab2=
（5）x2+x=
（6）8a3-8a2=
（7）4x2+10x=
（8）9a4b2-6a3b3=
（9）x2y+xy2-xy=
（10）15a2b-5ab+10b=
3.下列因式分解，分解完的画“√”，没分解完的画“×”.
（1）4m2-2m=2（2m2-m）；（）
（2）4m2-2m=m（4m-2）；（）
（3）4m2-2m=2m（2m-1）.（）
（二）创设情境，导入新课
师：
上节课我们学习了用提公因式法分解因式，本节课我们再来看几个利用提公因式法分解因式的例子.
（二）尝试指导，讲授新课
（师出示例题）
例把下列各式分解因式：
（1）2a（b+c）-3（b+c）；
（2）6（x-2）+x（2-x）.
师：
（板书：
解：
（1）2a（b+c）-3（b+c））这个式子的公因式是什么？
（让生思考一会儿，等到有一部分同学举手，再叫学生）
生：
……（多让几名同学发表看法）
师：
（指准式子）2a（b+c）中有因式b+c，-3（b+c）中也有因式b+c，所以，b+c是这个式子的公因式，把b+c提出来就可以了（边讲边板书：
=（b+c）（2a-3））.
师：
（指准式子）大家看一看，结果是不是这样的？
（稍停片刻）
师：
下面我们再来看第
（2）小题.
师：
（板书：
（2）6（x-2）+x（2-x））这个式子的公因式是什么？
（让生思考一会儿，如果没有学生举手，直接教学）
生：
……
师：
（指准式子）6（x-2）中有因式x-2，x（2-x）中有因式2-x，这两个因式只差一点点，怎么办？
师：
（板书：
2-x=-（x-2），师可根据班级学生情况，对这个等式作必要解释）因为2-x=-（x-2），所以6（x-2）+x（2-x）=6（x-2）-x（x-2）（边讲边板书：
=6（x-2）-x（x-2））.
师：
（指准式子）大家看一看，是不是这样的？
（稍停片刻）
师：
（指6（x-2）-x（x-2））这个式子的公因式是什么？
生：
（齐答）x-2.
师：
（指准式子）x-2是公因式，把x-2提出来就行了，提出来以后的结果是什么？
生：
（x-2）（6-x）.（生答师板书：
=（x-2）（6-x））
（四）试探练习，回授调节
4.直接写出因式分解的结果：
（1）a（x+y）+b（x+y）=
（2）6m（p-3）-5n（p-3）=
（3）x（a+3）-y（3+a）=
（4）m（x2-y2）+n（x2-y2）=
（5）（a+b）2+c（a+b）=
5.把下列式子分解因式：
（1）m（a-b）+n（b-a）
（2）x（a-3）-2（3-a）
==
==
6.判断正误：
下列因式分解，对的画“√”，错的画“×”.
（1）x（a+b）-y（b+a）=（a+b）（x+y）；（）
（2）x（a-b）+y（b-a）=（a-b）（x+y）；（）
（3）x（a-b）-y（b-a）=（x+y）（a-b）；（）
（4）m2（a+b）+m（a+b）=（a+b）（m2+m）.（）
（五）归纳小结，布置作业
师：
上节课我们学的是用提公因式法分解因式，这节课我们学的还是提公因式法分解因式，但这两节课的内容并不是一模一样的，不一样的地方在哪儿？
生：
……（多让几名同学发表看法）
师：
用提公因式法分解因式，关键是找公因式，上节课我们找的公因式是单项式，（指准例题）而这节课我们找的公因式是像b+c,x-2这样的多项式.这就告诉我们，公因式不一定都是单项式，公因式也可以是多项式.
（作业：
P167练习1（3）（4），P170习题1（3）（4））
四、板书设计（略）
15.4.2公式法（第1课时）
一、教学目标
1.知道因式分解的平方差公式，会运用公式分解因式.
2.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止.
二、教学重点和难点
1.重点：
运用平方差公式分解因式.
2.难点：
平方差公式的运用.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.直接写出因式分解的结果：
（1）2a2b+4ab2=
（2）12x2yz-8xz2=
（3）2a（x+y）-3b（x+y）=
（4）x（m-n）-y（n-m）=
（二）创设情境，导入新课
师：
前面我们学习了用提公因式法分解因式，（板书：
x2-4，并指准）大家看一看，这个式子能用提公因式法分解因式吗？
（稍停）不能.为什么不能？
因为x2与-4这两项没有公因式，没有公因式就不好用提公因式法分解因式.
师：
那么，对像x2-4这样没有公因式的式子，怎么分解因式呢？
我们可以考虑用另一种方法来分解，什么方法？
公式法（板书课题：
15.4.2公式法）.本节课我们学习用平方差公式来分解因式（板书：
（平方差公式））.
（三）尝试指导，讲授新课
师：
平方差公式我们以前就学过，（板书：
（a+b）（a-b）=）（a+b）（a-b）等于什么？
生：
（齐答）a2-b2.（生答师板书：
a2-b2）
师：
（指（a+b）（a-b）=a2-b2）把这个公式反过来，我们就得到公式a2-b2=（a+b）（a-b）（边讲边板书：
a2-b2=（a+b）（a-b））.
师：
（指（a+b）（a-b）=a2-b2）这是平方差公式，（指a2-b2=（a+b）（a-b））这也是平方差公式，所不同的是，（指准公式）这是整式乘法的平方差公式（板书：
整式乘法），而这是因式分解的平方差公式（板书：
因式分解）
师：
（指a2-b2=（a+b）（a-b））谁会用语言来说说因式分解的平方差公式的意思？
生：
……（让一两名同学说）
师：
（指准a2-b2=（a+b）（a-b））两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
师：
大家跟着老师来说一遍.（指准a2-b2=（a+b）（a-b））两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.（生跟着说，如有必要可再跟说一遍）
师：
（指准a2-b2=（a+b）（a-b））有了这个公式，以后凡是可以写成a2-b2样子的式子，都可以用这个公式来分解因式.
师：
（指x2-4）譬如，x2-4可以写成x2-22（边讲边板书：
=x2-22），利用平方差公式，x2-22等于什么？
（稍停）等于（x+2）（x-2）（边讲边板书：
=（x+2）（x-2））.这样我们就把x2-4分解因式了.
师：
下面我们再来看几个用平方差公式分解因式的例子.
（师出示例1）
例1分解因式：
（1）4x2-9；
（2）（x+p）2－（x+q）2.
师：
（板书：
解：
（1）4x2-9）这个式子怎么用平方差公式分解因式？
大家自己先试一试.
（生尝试，师巡视）
师：
（指准4x2-9）用平方差公式分解因式，先要把这个式子写成a2-b2的样子，4x2-9可以写成（2x）2-32（边讲边板书：
=（2x）2-32）.
师：
（指准（2x）2-32）在这个式子中，我们把2x看成公式中的a，把3看成公式中的b，利用公式，这个式子等于（2x+3）（2x-3）（边讲边板书：
=（2x+3）（2x-3））.
师：
（板书：
（2）（x+p）2－（x+q）2）下面我们来看第
（2）小题.
师：
（指准式子）这个式子怎么用平方差公式分解？
（稍停）我们可以把x+p看成公式中的a，把x+q看成公式中的b，利用公式，（x+p）2－（x+q）2=[（x+p）+（x+q）]
[（x+p）-（x+q）]（边讲边板书：
=[（x+p）+（x+q）][（x+p）-（x+q）]）.
师：
大家看一看，是不是这样的？
（稍停，然后指准式子中的x+p和x+q）a2-b2=（a+b）（a-b）.
师：
（指[（x+p）+（x+q）][（x+p）-（x+q）]）这个式子等于什么？
（稍停）等于（2x+p+q）（p-q）（边讲边板书：
=（2x+p+q）（p-q），如果学生基础较差，可写出去括号这一步）.
（四）试探练习，回授调节
2.分解因式：
（1）x2-25
（2）9-y2
==
==
（3）1-a2（4）4x2-y2
==
==
（5）9a2-4b2（6）0.81m2-16n2
==
==
（7）a2-
b2（8）4x2y2-9z2
==
==
3.分解因式：
（1）（a+b）2-a2
（2）（x+y）2-（x-y）2
==
==
（五）尝试指导，讲授新课
师：
下面我们再来看一道例题.
（师出示例2）
例2分解因式：
x4-y4.
师：
（板书：
解：
x4-y4=，并指准）这个式子怎么利用平方差公式分解因式？
（稍停）哪位同学来说一说看法？
生：
……（让一两名好生发表看法）
师：
x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2（边讲边板书：
（x2）2-（y2）2），这一步很重要，大家要看清楚.（稍停）
师：
（指准（x2）2-（y2）2）我们把x2看成是公式中的a，把y2看成是公式中的b，利用公式得到，这个式子等于（x2+y2）（x2-y2）（边讲边板书：
=（x2+y2）（x2-y2））.
师：
（指准（x2+y2）（x2-y2））到这里，因式分解完成了吗？
（稍停）还没有.为什么？
因为x2-y2还可以继续分解.x2-y2=（x+y）（x-y），所以这个式子等于（x2+y2）（x+y）
（x-y）（边讲边板书：
=（x2+y2）（x+y）（x-y））.
师：
（指准（x+y）（x-y）（x2+y2））到这里，因式分解才算完成，因为x2+y2不能再分解了，x+y也不能再分解了，x-y也不能再分解了.从这个题目，我们可以看到，分解因式必须进行到每个多项式因式都不能再分解为止.
（六）试探练习，回授调节
4.分解因式：
（1）x4-1
（2）-a4+16
==
==
==
（七）归纳小结，布置作业
师：
本节课我们学习了什么？
我们学习了用平方差公式分解因式.（指准公式）把整式乘法的平方差公式反过来，就成了因式分解的平方差公式.（指准例1）用平方差公式分解因式，先要把式子写成a2-b2的形式，然后套公式.
（作业：
P171习题2
（1）（3）（4））
四、板书设计
15.4.2公式法（平方差公式）
整式乘法（a+b）（a-b）=a2-b2例1例2
因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）
x2-4=x2-22=（x+2）（x-2）
15.4.2公式法（第2课时）
一、教学目标
1.知道因式分解的完全平方公式，会运用公式分解因式.
2.培养式子的变形能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：
运用完全平方公式分解因式.
2.难点：
完全平方公式的运用.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积，即a2-b2=
，这个公式叫做因式分解的公式.
2.填空：
在x2+y2，x2-y2，-x2+y2，-x2-y2中，能用平方差公式来分解因式的是
.
3.直接写出因式分解的结果：
（1）4a2-9y2=
（2）16x2-1=
（3）（a+b）2-c2=
（4）x4-y2=
（二）创设情境，导入新课
师：
上节课我们学习了用平方差公式分解因式，这节课我们要学习用完全平方公式分解因式（板书课题：
15.4.2公式法（完全平方公式））.
（三）尝试指导，讲授新课
师：
完全平方公式有两个，这两个公式我们以前就学过.（板书：
（a+b）2=）（a+b）2等于什么？
生：
（齐答）a2+2ab+b2.（生答师板书：
a2+2ab+b2）
师：
（指公式）这是一个公式，另一个公式是（a-b）2=a2-2ab+b2（边讲边板书：
（a-b）2=a2-2ab+b2）.
师：
把这两个公式反过来，我们可以得到什么呢？
生1：
a2+2ab+b2=（a+b）2.（生答师板书：
a2+2ab+b2=（a+b）2）
生2：
a2-2ab+b2=（a-b）2.（生答师板书：
a2-2ab+b2=（a-b）2）
师：
（指公式）这两个公式是完全平方公式，这两个公式也是完全平方公式，所不同的是，这是整式乘法的完全平方公式（板书：
整式乘法），而这是因式分解的完全平方公式（板书：
因式分解）.
师：
（指a2+2ab+b2=（a+b）2）谁会用语言来说这个公式的意思？
生：
……（让一两名好生说）
师：
（指准a2+2ab+b2=（a+b）2）两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方.
师：
大家跟着老师来说一遍.（指准a2+2ab+b2=（a+b）2）两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方.（生跟着说）
师：
（指a2-2ab+b2=（a-b）2）谁会用语言来说这个公式的意思？
生：
……（让一两名中等生说）
师：
（指准a2-2ab+b2=（a-b）2）两个数的平方和减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的差的平方.
师：
（指准公式）有了这两个公式，以后凡是可以写成a2+2ab+b2或者a2-2ab+b2这样的式子，都可以用这两个公式来分解因式.
师：
下面我们来看几个用完全平方公式分解因式的例子.
（师出示例1）
例1分解因式：
（1）16x2+24x+9；
（2）m2+25n2-10mn.
师：
（板书：
解：
（1）16x2+24x+9，并指准）要用完全平方公式来分解因式，首先要把这个多项式写成a2+2ab+b2或者a2-2ab+b2的样子.请大家先试着把这个式子写成a2+2ab+b2的样子.
（生尝试，师巡视）
师：
（指准16x2+24x+9）16x2=（4x）2（边讲边板书：
（4x）2），9=32（边讲边板书：
+32），24x=2·4x·3（边讲边板书：
+2·4x·3，上面的板书连成：
（4x）2+2·4x·3+32）.
师：
（指准（4x）2+2·4x·3+32）在这个式子中，我们把4x看成公式中的a，把3看成公式中的b，这样就写成了a2+2ab+b2的样子.利用完全平方公式，这个式子等于什么？
生：
（4x+3）2（生答师板书：
=（4x+3）2）.
师：
（板书：
（2）m2+25n2-10mn）下面我们来看第
（2）小题.
师：
（指式子）这个式子能写成a2+2ab+b2或者a2-2ab+b2的样子吗？
大家试着写一写.
（生尝试，师巡视）
师：
（指准m2+25n2-10mn）m2就是m2（边讲边板书：
m2），25n2=（5n）2（边讲边板书：
+（5n）2），-10mn=-2·m·5n（边讲边板书：
-2·m·5n，上面的板书连成：
m2+（5n）2-2·m·5n）.
师：
（指准m2+（5n）2-2·m·5n）根据加法交换律，（5n）2与-2·m·5n这两项可以交换位置（边讲边板书：
=m2-2·m·5n+（5n）2）.
师：
（指准m2-2·m·5n+（5n）2）在这个式子中，我们把m看成是公式中的a，把5n看成是公式中的b，这样就写成了a2-2ab+b2的样子.利用完全平方公式，这个式子等于什么？
生：
（m-5n）2.（生答师板书：
=（m-5n）2）
（四）试探练习，回授调节
4.运用完全平方公式分解因式：
（1）a2+2a+1
（2）x2-6x+9
==
==
（3）4x2-20xy+25y2（4）x2+36+12x
==
==
（五）尝试指导，讲授新课
师：
下面我们再来看一道例题.
（师出示例2）
例2因式分解：
（1）-x2+4xy-4y2；
（2）（a+b）2+12（a+b）+36.
（先让生尝试，然后师边讲解边板演，解题格式如课本第169－170页所示，
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