答案 C
解析 ∵A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},
∴A∩∁RB={x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}
={x|0≤x<2或x>4}.
8.已知集合A={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈R},B={(x,y)|y=x2+1,x,y∈R},则集合A∩B的元素个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
答案 C
解析 集合A表示直线l:
x+y-1=0上的点的集合,集合B表示抛物线C:
y=x2+1上的点的集合.
由
消去y得x2+x=0,
由于Δ>0,所以直线l与抛物线C有两个交点.
即A∩B有两个元素.故选C.
9.设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
;命题q:
函数y=cosx的图象关于直线x=
对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真B.綈q为假
C.p∧q为假D.p∨q为真
答案 C
解析 p是假命题,q是假命题,因此只有C正确.
10.已知p:
∃x∈R,mx2+2≤0,q:
∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2]D.[-1,1]
答案 A
解析 ∵p∨q为假命题,
∴p和q都是假命题.
由p:
∃x∈R,mx2+2≤0为假命题,
得綈p:
∀x∈R,mx2+2>0为真命题,
∴m≥0.①
由q:
∀x∈R,x2-2mx+1>0为假命题,
得綈q:
∃x∈R,x2-2mx+1≤0为真命题,
∴Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1.故选A.
二、填空题
11.已知集合P={x|x(x-1)≥0},Q={x|y=ln(x-1)},则P∩Q=__________.
答案 (1,+∞)
解析 由x(x-1)≥0
可得x≤0或x≥1,
则P=(-∞,0]∪[1,+∞);
又由x-1>0可得x>1,
则Q=(1,+∞),
所以P∩Q=(1,+∞).
12.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件.
答案 充要
解析 m>n>0⇔
>
>0
⇔mx2+ny2=
+
=1表示焦点在y轴上的椭圆,故填充要.
13.由命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求得实数m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是________.
答案 1
解析 根据题意可得:
∀x∈R,x2+2x+m>0是真命题,则Δ<0,即22-4m<0,m>1,故a=1.
14.给出下列四个命题:
①命题“若α=β,则cosα=cosβ”的逆否命题;
②“∃x0∈R,使得
-x0>0”的否定是:
“∀x∈R,均有x2-x<0”;
③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件;
④p:
a∈{a,b,c},q:
{a}⊆{a,b,c},p且q为真命题.
其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号)
答案 ①④
解析 对①,因命题“若α=β,则cosα=cosβ”为真命题,
所以其逆否命题亦为真命题,①正确;
对②,命题“∃x0∈R,使得
-x0>0”的否定应是:
“∀x∈R,均有x2-x≤0”,故②错;
对③,因由“x2=4”得x=±2,
所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③错;
对④,p,q均为真命题,由真值表判定p且q为真命题,故④正确.
15.已知集合M为点集,记性质P为“对∀(x,y)∈M,k∈(0,1),均有(kx,ky)∈M”.给出下列集合:
①{(x,y)|x2≥y},②{(x,y)|2x2+y2<1},③{(x,y)|x2+y2+x+2y=0},④{(x,y)|x3+y3-x2y=0},其中具有性质P的点集序号是________.
答案 ②④
解析 对于①:
取k=
,点(1,1)∈{(x,y)|x2≥y},但(
,
)∉{(x,y)|x2≥y},故①是不具有性质P的点集.
对于②:
∀(x,y)∈{(x,y)|2x2+y2<1},则点(x,y)在椭圆2x2+y2=1内部,所以对0对于③:
(x+
)2+(y+1)2=
,点(
,-
)在此圆上,但点(
,-
)不在此圆上,故③是不具有性质P的点集.
对于④:
∀(x,y)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},对于k∈(0,1),因为(kx)3+(ky)3-(kx)2·(ky)=0⇒x3+y3-x2y=0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},故④是具有性质P的点集.综上,具有性质P的点集是②④.