高三数学二轮专题复习专题综合检测二三角函数.docx
《高三数学二轮专题复习专题综合检测二三角函数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学二轮专题复习专题综合检测二三角函数.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高三数学二轮专题复习专题综合检测二三角函数
专题综合检测二三角函数
时间：
120分钟 满分：
150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（文）已知角α的终边经过点P（m，－3），且cosα＝－，则m等于（ ）
A．－ B.
C．－4 D．4
[答案] C
[解析] 由题意可知，cosα＝＝－，
又m<0，解得m＝－4，故选C.
（理）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（x,2）是角θ终边上一点，且cosθ＝，则x的值为（ ）
A．±3 B．－3
C．3 D．±13
[答案] C
[解析] P到原点的距离|PO|＝，由三角函数的定义及题设条件得，解之得x＝3.
2．（2013·海淀区期中）若向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a·b的值为（ ）
A．－B.
C．－1D．1
[答案] A
[解析] ∵|a|＝|b|＝|a＋b|，∴〈a，b〉＝120°，
∴a·b＝1×1×cos120°＝－.
3．（2013·榆林一中模拟）下列函数中，周期为π，且在区间[，]上单调递增的函数是（ ）
A．y＝sin2xB．y＝cos2x
C．y＝－sin2xD．y＝－cos2x
[答案] C
4．（文）（2012·邯郸市模拟）要得到函数y＝cos（－）的图象，只需将函数y＝sin的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[答案] A
[解析] ∵y＝sin＝cos（－）＝cos（－）＝cos[（x－）－]向左平移个单位长度，即得y＝cos（－）的图象．
（理）（2013·天津六校联考）若把函数y＝sinωx的图象向左平移个单位，则与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的值可能是（ ）
A.B.
C.D.
[答案] B
[答案] 由条件知，＝，∴T＝，
又T＝，∴ω＝.
5．（文）（2013·德阳市二诊）若cosθ＋sinθ＝－，则cos（－2θ）的值为（ ）
A.B.
C．－D．－
[答案] D
[解析] 将cosθ＋sinθ＝－两边平方得，
sin2θ＝－，
∴cos（－2θ）＝sin2θ＝－.
（理）（2013·苍南求知中学月考）函数y＝cos2（2x－）的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数是（ ）
A．值域为[0,2]的奇函数
B．值域为[0,1]的奇函数
C．值域为[0,2]的偶函数
D．值域为[0,1]的偶函数
[答案] D
[解析] y＝cos2（2x－）＝，左移个单位后为y＝＋cos4x为偶函数，值域为[0,1]，故选D.
6．（2013·常德市模拟）在△ABC中，若·（－2）＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] ∵·（－2）＝·（－）
＝·（＋）＝0，
∴（－）·（＋）＝0，
∴||2＝||2，
∴||＝||，故选B.
7．（2013·重庆一中月考）已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为（ ）
A.B.
C.D.
[答案] C
[解析] ∵tanα＝，∴tan2α＝＝.
8．（文）（2013·保定市一模）设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（x∈R，ω>0，|φ|<）的部分图象如右图所示，则函数f（x）的表达式为（ ）
A．f（x）＝sin（2x＋）
B．f（x）＝sin（2x－）
C．f（x）＝sin（4x＋）
D．f（x）＝sin（4x－）
[答案] A
[解析] 周期T＝4（－）＝π，故ω＝2，又点（，1）在图象上，代入可得φ＝，故选A.
（理）函数y＝tan（x－）（0A．－8
B．－4
C．4
D．8
[答案] D
[解析] A点坐标为（2,0），即＝（2,0），
由y＝tan（x－）的图象的对称性知A是BC的中点．
∴＋＝2，
∴（＋）·＝2·
＝2×||2＝8.故选D.
9．（2013·新课标Ⅰ文，10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（ ）
A．10B．9
C．8D．5
[答案] D
[解析] 本题考查了倍角公式、余弦定理．由倍角公式得23cos2A＋cos2A＝25cos2A－1＝0，cos2A＝，△ABC为锐角三角形cosA＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－b－13＝0，即5b2－12b－65＝0，解方程得b＝5.
10．（文）已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·（＋）（ ）
A．最大值为8B．是定值6
C．最小值为2D．与P的位置有关
[答案] B
[解析]
如图，∵＋＝＝2，△ABC为正三角形，
∴四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，∴在向量上的投影为，又||＝，∴·（＋）＝||·||＝6，故选B.
（理）（2013·榆林一中模拟）如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝120°，则·的值为（ ）
A．－2B．2
C.D．－
[答案] A
[解析] 由条件知＝，＝，·＝2×3cos120°＝－3，
∴·＝（＋）·＝（＋）·
＝（＋－）·
＝（＋·）·
＝（＋）·（－）
＝·－||2＋||2＝－2.
11．（2013·湖南理，3）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于（ ）
A.B.
C.D.
[答案] D
[解析] 由＝，得sinA＝，∵△ABC为锐角三角形．∴A＝.
12．（文）设F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为（ ）
A．0B．1
C.D．2
[答案] A
[解析] 设P（x，y），F1（－，0），F2（，0），
则·＝（－－x，－y）·（－x，－y）＝x2＋y2－3.
∵△F1PF2的面积S＝|||y|＝·2·|y|＝|y|＝1，
∴y2＝.由于点P在椭圆上，
∴＋y2＝1.∴x2＝.
∴·＝x2＋y2－3＝＋－3＝0.故选A.
（理）（2013·内江市模拟）已知椭圆＋＝1（a>b>0），F（c,0）是右焦点，经过坐标原点O的直线l与椭圆交于点A、B，且·＝0，|－|＝2|－|，则该椭圆的离心率为（ ）
A.B.
C.－1D.－1
[答案] D
[解析] ∵|－|＝||，|－|＝||，且|－|＝2|－|，
∴AB＝2AF，∵·＝0，∴FA⊥FB，
∴OF＝OA＝AF，∴A（，－c）在椭圆上，
∴＋＝1，
∴＋＝1，∴e2＋＝1，
∵0二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．）
13．（2013·北京西城一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且＝＝.若c＝10，则△ABC的面积是________．
[答案] 24
[解析] 由＝得acosA＝bcosB，
由正弦定理得sin2A＝sin2B，
由＝知A≠B，∴2A＝π－2B，
∴A＋B＝，∴C＝，
又＝，c＝10，∴b＝6，a＝8，S＝ab＝24.
14．（文）（2013·北京东城区模拟）函数f（x）＝sin（x－）的图象为C，有如下结论：
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点（，0）对称；
③函数f（x）在区间[，]内是增函数．
其中正确的结论序号是________．（写出所有正确结论的序号）
[答案] ①②③
（理）（2013·江西八校联考）已知函数f（x）＝cosxsinx，给出下列四个结论：
①若f（x1）＝－f（x2），则x1＝－x2；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[－，]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x＝对称．
其中正确的结论是________．
[答案] ③④
[解析] f（x）＝sin2x最小正周期T＝π，对称轴x＝＋，k∈Z，令k＝1得x＝；由2kπ－≤2x≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ＋，取k＝0知，f（x）在区间[－，]上为增函数，f（x）为奇函数，当x1＝－x2时，有f（x1）＝f（－x2）＝－f（x2），但f（x1）＝－f（x2）时，由周期性知不一定有x1＝－x2，故正确选项为③④.
15．（2013·重庆一中月考）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·（＋）等于________．
[答案] －
[解析] AM＝1，＝2，∴||＝，||＝，
∴·（＋）＝·
（2）＝－2××＝－.
16．（文）关于平面向量a、b、c，有下列四个命题：
①若a∥b，a≠0，则∃λ∈R，使b＝λa；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③存在不全为零的实数λ，μ，使得c＝λa＋μb；
④若a·b＝a·c，则a⊥（b－c）．
其中正确的命题序号是________．
[答案] ①④
[解析] 逐个判断．由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a·（b－c）＝0，所以a⊥（b－c），所以④正确．故正确命题序号是①④.
（理）（2012·浙江宁波模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A、B、C成等差数列，且b＝1，则△ABC面积的最大值为________．
[答案]
[解析] 本题考查解三角形的相关知识．由题意得B＝，根据余弦定理cosB＝＝，
∴a2＋c2－1＝ac⇒a2＋c2＝1＋ac≥2ac，∴ac≤1.
S＝acsinB＝ac≤.
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）（文）（2013·天津六校联考）△ABC中，已知A＝45°，cosB＝.
（1）求sinC的值；
（2）若BC＝10，D为AB的中点，求AB、CD的长．
[解析]
（1）∵三角形中，cosB＝，所以B为锐角，
∴sinB＝
所以sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB
＝.
（2）三角形ABC中，由正弦定理得＝，
∴AB＝14，
又D为AB中点，所以BD＝7，
在三角形BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝37，∴CD＝.
（理）设△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，cosB＝，b＝2.
（1）当A＝时，求a的值；
（2）当△ABC面积为3时，求a＋c的值．
[解析]
（1）∵B是△ABC的内角，且cosB＝，（0∴sinB＝＝＝.
由正弦定理得：
＝，
∴a＝＝＝.
（2）由题意得：
S＝acsinB，
∴ac＝3，ac＝10，
又由余弦定理得：
b2＝a2＋c2－2accosB，
∴a2＋c2－ac＝b2，∴a2＋c2＝b2＋ac＝20，
∴（a＋c）2＝a2＋c2＋2ac＝40，
∴a＋c＝2.
18．（本小题满分12分）（文）（2013·德阳市二诊）函数f（x）＝sinωxcosφ－cosωxsinφ（ω>0,0<φ<π）的图象过点（，0），且相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求f（x）的表达式；
（2）试求函数y＝f2（x）＋的单调增区间．
[解析]
（1）由题意y＝sin（ωx－φ），
∵相邻两条对称轴间的距离为，
∴T＝π＝，∴ω＝2，
故f（x）＝sin（2x－φ），
又y＝f（x）的图象过点（，0），
∴2×－φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝－kπ，
又0<φ<π，∴φ＝，
f（x）＝sin（2x－）．
（2）y＝f2（x）＋＝sin2（x－）＋
＝＋＝1－cos（2x－），
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，
解之得kπ＋≤x≤kπ＋，
∴y＝f2（x）＋的增区间为[kπ＋，kπ＋]，（k∈Z）．
（理）（2013·重庆一中月考）已知函数f（x）＝sin（x＋）＋2sin2.
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝1，a＝1，c＝，求b的值．
[解析]
（1）f（x）＝sin（x＋）＋2sin2＝sinx＋cosx＋1－cosx＝sinx－cosx＋1＝sin（x－）＋1，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋得，2kπ－≤x≤2kπ＋，
∴增区间为[2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）．
（2）∵f（A）＝sin（A－）＋1＝1，
∴sin（A－）＝0，∴A＝，
由余弦定理得，12＝b2＋3－2b··，
∴b2－3b＋2＝0，∴b＝1或b＝2.
19．（本小题满分12分）（文）（2013·西城二模）已知函数f（x）＝sinx＋acosx的一个零点是.
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）＝[f（x）]2－2sin2x，求g（x）的单调递增区间．
[解析]
（1）依题意，得f（）＝0，
∴sin＋acos＝－＝0，
∴a＝1.
（2）由
（1）得f（x）＝sinx＋cosx，
∴g（x）＝[f（x）]2－2sin2x
＝（sinx＋cosx）2－2sin2x
＝sin2x＋cos2x＝sin（2x＋）．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z
∴g（x）的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]（k∈Z）．
（理）（2013·保定市一模）已知向量a＝（sin，），b＝（cos，－）（ω>0，x≥0），函数f（x）＝a·b的第n（n∈N*）个零点记作xn（从左向右依次计数），则所有xn组成数列{xn}．
（1）若ω＝，求x2；
（2）若函数f（x）的最小正周期为π，求数列{xn}的前100项和S100.
[解析] f（x）＝a·b＝sincos－＝sinωx－.
（1）当ω＝时，f（x）＝sin（x）－，
令f（x）＝0，得x＝4kπ＋或x＝4kπ＋（k∈Z，x≥0），取k＝0，得x2＝.
（2）因为f（x）最小正周期为π，则ω＝2，故f（x）＝sin2x－，
令f（x）＝0得x＝kπ＋或x＝kπ＋（k∈Z，x≥0），
所以S100＝（kπ＋）＋（kπ＋）]
＝（2kπ＋）＝2π（0＋1＋2＋…＋49）＋50×
＝50×49π＋25π＝2475π.
20．（本小题满分12分）（2013·江西八校联考）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.
（1）证明：
sinα＋cos2β＝0；
（2）若AC＝DC，求β.
[解析]
（1）证明：
∵AB＝AD，∠ABC＝β，∠CAD＝α，
∴2β＝＋α，
∴sinα＋cos2β＝sinα＋cos（＋α）＝sinα－sinα＝0.
（2）在△ABC中，
∵AC＝DC，∴sinβ＝sinα，
∴sinβ＝sinα＝－cos2β＝2sin2β－.
∵β∈（0，），∴sinβ＝，
∴β＝.
21．（本小题满分12分）（2013·惠州质检）已知向量m＝（1，cosA），n＝（sinAcosB，sinB），m·n＝sin2C，且A、B、C分别是△ABC的三边a、b、c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）设sinA、sinC、sinB成等比数列，且·（－）＝8，求边c的值．
[解析]
（1）由题知，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA
＝sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC.
又m·n＝sin2C，∴sin2C＝sinC，
∴sinC（2cosC－1）＝0，∵0∴cosC＝，∴C＝.
（2）∵sinA，sinC，sinB成等比数列，
∴sin2C＝sinA·sinB.
根据正弦定理得，c2＝ab.
∵·（－）＝·＝8，∴bacosC＝8.
∴ab＝16，∴c2＝16，∴c＝4.
22．（本小题满分14分）（文）（2013·江西师大附中、鹰潭一中联考）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0,0<φ<）图象上的任意两点，若|y1－y2|＝2时，|x1－x2|的最小值为，且函数f（x）的图象经过点（0，）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinAsinC＋cos2B＝1，求f（B）的取值范围．
[解析]
（1）由题意知＝，∴T＝π，
又T＝，∴ω＝2，
∵f（0）＝sinφ＝且φ∈（0，），∴φ＝，
从而f（x）＝sin（2x＋）．
（2）∵2sinAsinC＋cos2B＝1，
∴2sinAsinC＝1－cos2B＝2sin2B，即sinAsinC＝sin2B，
∴ac＝b2，
由cosB＝＝≥＝，得B∈（0，]．
∴2B＋∈（，]，从而f（B）＝sin（2B＋）的取值范围为[，1]．
（理）（2013·江西八校联考）已知向量a＝（sinωx,2cosωx），b＝（cosωx，－cosωx）（ω>0），函数f（x）＝a·（b＋a）－1，且函数f（x）的最小正周期为.
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足：
b2＝ac，且边b所对的角为x，若方程f（x）＝k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．
[解析]
（1）∵f（x）＝a·（b＋a）－1
＝（sinωx,2cosωx）·（sinωx＋cosωx,0）－1
＝sin2ωx－cos2ωx－
＝sin（2ωx－）－.
∵T＝＝，∴ω＝2.
（2）由
（1）知，f（x）＝sin（4x－）－，
∵在△ABC中，cosx＝≥＝，
∴0∴f（x）＝sin（4x－）－＝k有两个不同的实数解时，k的取值范围是（－1，）．
一、选择题
1．（文）（2013·天津十二区县联考）将函数y＝cos（x－）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式是（ ）
A．y＝cos（－） B．y＝cos（2x－）
C．y＝sin2xD．y＝cos（－）
[答案] D
[解析] y＝cos（x－）y＝cos（x－）y＝cos（－）．
（理）（2013·眉山市二诊）将函数y＝cos（x＋）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的最小正周期为（ ）
A．πB．2π
C．4πD．8π
[答案] C
[解析] y＝cos（x＋）y＝cos（＋）y＝cos（＋）．
∴最小正周期为T＝＝4π.
2．（文）已知向量a＝（1,2），b＝（x，－4），若a∥b，则a·b等于（ ）
A．－10B．－6
C．0D．6
[答案] A
[解析] 由a∥b得2x＝－4，x＝－2，a·b＝（1,2）·（－2，－4）＝－10，故选A.
（理）（2012·河南豫北六校精英联考）已知向量a＝（1,1－cosθ）且b＝（1＋cosθ，），a∥b，则锐角θ等于（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．75°
[答案] B
[解析] 本题主要考查向量平行的概念及特殊角的三角函数值．由两向量平行可得＝1－cos2θ，
∴cosθ＝±，
又θ为锐角，∴θ＝45°，故选B.
3．在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC的值为（ ）
A.B.
C.或D．－或
[答案] A
[解析] 由cosA＝>0得A为锐角，且sinA＝，sinB＝，sinA>sinB，因此B为锐角，于是cosB＝，cosC＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝sinAsinB－cosAcosB＝，选A.
4．（文）（2013·大兴区模拟）函数f（x）＝（ ）
A．在（－，）上递增
B．在（－，0]上递增，在（0，）上递减
C．在（－，）上递减
D．在（－，0]上递减，在（0，）上递增
[答案] D
[解析] f（x）＝＝∴选D.
（理）函数f（x）＝tan（－x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ－，kπ＋），k∈Z
B．（kπ－，kπ＋），k∈Z
C．（kπ－，kπ＋），k∈Z
D．（kπ，（k＋1）π），k∈Z
[答案] B
[解析] f（x）＝tan（－x）＝－tan（x－），
所以f（x）的单调递减区间满足不等式
－＋kπ－＋kπ5．（2013·江西八校联考）设f1（x）＝cosx，定义fn＋1（x）为fn（x）的导数，即fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N＋，若△ABC的内角A满足f1（A）＋f2（A）＋…＋f2013（A）＝0，则sinA的值是（ ）
A．1B.
C.D.
[答案] A
[解析] f1（x）＝cosx，f2（x）＝f1′（x）＝－sinx，f3（x）＝f2′（x）＝－cosx，f4（x）＝f3′（x）＝sinx，f5（x）＝f4′（x）＝cosx，…可见fn（x）关于n呈周期出现，周期为4.且f1（x）＋f2（x）＋f3（x）＋f4（x）＝0，
∴f1（A）＋f2（A）＋…＋f2013（A）＝503×0＋f2013（A）＝f1（A）＝cosA＝0，
∴sinA＝1.故选A.
6．（2013·苍南求知中学月考）已知定义在R上的函数f（x）是周期为3的奇函数，当x∈（0，）时，f（x）＝sinπx，则函数f（x）在区间[0,5]上的零点个数为（ ）
A．9 B．8
C．7 D．6
[答案] D
[解析] 由条件知，当x∈（－，）时，f（x）＝sinπx.
∴f（－1）＝f（0）＝f
（1）＝0.
又f（x）的周期为3，
∴f
（2）＝f（3）＝f（4）＝f（5）＝0.
∴f（x）在区间[0,5]上有6个零点．
7．函数y＝sinx（3sinx＋4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（ ）
A．（5，π）B．（4，π）
C．（－1,2π）D．（4,2π）
[答案] B
[解析] 依题意得y＝3sin2x＋2sin2x＝＋2sin2x＝sin（2x－θ）＋（其中tanθ＝），所以M＝4，T＝＝π，结合各选项知，选B.
8．（文）若向量a、b满足a＋b＝（2，－1），a＝（1,2），则向量a与b的夹角等于（ ）
A．45°B．60°
C．120°D．135°
[答案] D
[解析] 依题意得b＝（a＋b）－a＝（1，－3）．
设a、b的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝－.
又0°≤θ≤180°，因此θ＝135°，选D.
（理）（2012·新疆维吾尔自治区检测）已知向量|a|＝2，|b|＝3，a、b的夹角为120°，那么|a－b|等于（ ）
A．19B.
C．7D.
[答案] B
[解析] ∵|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝120°，∴a·b＝|a|·|b|·cos120°＝－3，∴|a－b|2＝|a|2＋|b|
升级会员 